Transcript Document 6265605

7 Convergentie van rijen en
toepassingen
Een rij is een oneindig doorlopende lijst van getallen. Met het begrip ‘convergentie’ van een rij
preciseert men op wiskundige manier de situatie waar de getallen in deze lijst willekeurig dicht
bij een zekere ‘limietwaarde’ komen, als men maar voldoende ver in de lijst kijkt. Dit begrip is
van groot belang bij benaderingen. We zullen in dit hoofdstuk enkele technieken zien om een rij
van benaderingen te maken van een oplossing van een gegeven vergelijking.
Continue functies zijn functies waarvan men de grafiek ‘in een vloeiende lijn kan tekenen’. We
zullen deze eigenschap preciseren en met behulp van convergentie van rijen belangrijke eigenschappen onderzoeken over het gedrag van continue functies.
De resultaten in dit hoofdstuk zijn van fundamenteel belang voor de verdere opbouw van de
analyse. In grote mate steunen zij op diepe eigenschappen van de reële getallen.
Met de resultaten over rijen van reële getallen die we in dit hoofdstuk behandelen, zullen we
volgend verschijnsel kunnen verklaren. Geef op een rekenmachine de startwaarde p0 = 5 in en
maak een rij van getallen (pn ) als volgt:
p
pn = 13 + pn−1
Met andere woorden, je telt bij een term pn−1 uit de rij 13 op en je neemt de wortel uit deze som
als volgende term pn . In de volgende tabel werden de eerste termen uit deze rij weergegeven.
p0 = 5
√
p1 = √p0 + 13 ≈ 4, 242640687
p2 = √p1 + 13 ≈ 4, 15242588
p3 =√ p2 + 13 ≈ 4, 14154873
p4 = √p3 + 13 ≈ 4, 140235347
p5 = √p4 + 13 ≈ 4, 140076732
p6 = √p5 + 13 ≈ 4, 140057576
p7 = p6 + 13 ≈ 4, 140055262
Je stelt vast dat de getallen in deze rij steeds dichter bij een ’limietwaarde’ komen. We zullen op
het einde van dit hoofdstuk aantonen waarom dit zo is en de exacte waarde van deze limietwaarde
kunnen bepalen. We zullen ook kunnen aantonen dat we steeds dichter bij dezelfde limietwaarde
komen, indien we dezelfde procedure herhalen met een andere startwaarde in de plaats van
p0 = 5.
7.1
Convergentie van rijen van reële getallen
Een rij is een oneindige lijst van getallen die de termen van de rij genoemd worden. We noteren
de rij door de opsomming van de termen, gescheiden door komma’s:
r1 , r2 , r3 , . . . , rn , . . .
Voor de n-de term noteren we r (n) of rn . Door met elk natuurlijk getal n een functiewaarde r (n)
to associëren, kan een rij opgevat worden als een afbeelding met N0 als domein. De wiskundige
definitie van een rij is dan ook de volgende.
93
Hoofdstuk 7 Convergentie van rijen en toepassingen
Definitie 7.1. Een rij van reële getallen is een afbeelding N0 → R.
Merk op dat bij een rij de volgorde van de termen belang is.
De rij wordt dikwijls genoteerd als
(rn )n∈N0
of verkort als
(rn )n
Indien men in de definitie N als domein neemt, beginnen de indices of rangnummers bij 0. In
sommige gevallen kan men de rangnummers ook van een groter natuurlijk getal laten beginnen,
dit verandert niks wezenlijks aan de oneindige geordende lijst van getallen die de rij is.
Een rij bevat steeds oneindig veel (niet noodzakelijk verschillende) termen, nl. één term bij elk
natuurlijk getal. Dus zelfs als de termen van een rij vanaf een zeker rangnummer niet meer
veranderen, blijft deze zelfde term zich nog oneindig lang herhalen.
Voorbeeld. De rij met 0 als eerste term en met term 1 vanaf de tweede plaats is de rij
0, 1, 1, 1, 1, 1, ...
Als een expliciet voorschrift voor de functie r (n) voorhanden is, kan elke term van de rij berekend
worden door n in dat voorschrift in te vullen. De rij wordt dan volledig door dat voorschrift
bepaald.
Voorbeeld. De rij (rn )n∈N0 met voorschrift
r (n) = n(n + 1)
is de rij
2, 6, 12, 20, 30, ...
Soms is geen expliciet voorschrift van een rij gegeven, maar wel een zgn. recursief voorschrift:
dit is een formule die toelaat een willekeurige term met index n van de rij te berekenen als alle
(of sommige van de) termen met kleinere index 0, 1, 2, ..., n − 1 gekend zijn.
Voorbeeld. De vierde term van de rij r met recursief voorschrift
2
rn = rn−1
en met eerste term r1 = 2 is het getal 256.
Definitie 7.2. Een rekenkundige rij is een rij waarbij elke term verkregen wordt door bij de vorige
term van de rij een vast getal op te tellen; dit vast getal noemt men het verschil van de rij.
Een rekenkundige rij (rn )n∈N0 met verschil v heeft als voorschrift
rn = r1 + (n − 1)v
en als recursief voorschrift
rn = rn−1 + v .
94
Hoofdstuk 7 Convergentie van rijen en toepassingen
Voorbeeld. De rij
(rn )n∈N0 = 2, 6, 10, 14, 18, ...
met voorschrift
rn = 4n − 2
is een rekenkundige rij met verschil 4.
Definitie 7.3. Een meetkundige rij is een rij waarbij elke term verkregen wordt door de vorige
term van de rij met een vast getal te vermenigvuldigen; dit vast getal noemt men het quotiënt
van de rij.
Een meetkundige rij (rn )n∈N0 met quotiënt q heeft als voorschrift
rn = r1 q n−1
en als recursief voorschrift
rn = rn−1 q.
Voorbeeld. De rij
(rn )n∈N0 = 2, 6, 18, 54, 162, ...
met voorschrift
rn = 2.3n−1
is een meetkundige rij met quotiënt 3.
Stijgende, dalende en begrensde rijen
We noemen een rij stijgend indien geen enkele term strikt kleiner is dan zijn voorganger en dalend
indien geen enkele term strikt groter is dan zijn voorganger.
Definitie 7.4. Een rij (rn ) met de eigenschap rn ≤ rn+1 voor alle n wordt stijgend genoemd.
Een rij (rn ) met de eigenschap rn ≥ rn+1 voor alle n wordt dalend genoemd.
Voorbeeld. De rij rn = (n − 1)/n is stijgend en de rij rn = 1/n is dalend.
Voor een stijgende rij kunnen twee gevallen optreden: ofwel stijgen de termen boven elk reëel
getal uit ofwel blijven alle termen onder een zeker reëel getal.
Definitie 7.5. Een rij (an )n∈N0 heet van boven begrensd indien er een reëel getal M bestaat
zodat
∀n ∈ N0 : an ≤ M
95
Hoofdstuk 7 Convergentie van rijen en toepassingen
Dergelijk getal M wordt dan een bovengrens van de rij genoemd. Een rij (rn ) heet van onder
begrensd indien er een reëel getal N bestaat zodat
∀n ∈ N0 : an ≥ N
Dergelijk getal N wordt dan een ondergrens van de rij genoemd. Een rij heet begrensd indien
ze van boven en van onder begrensd is.
Indien M een bovengrens is van de rij en we tekenen de grafiek van de rij in het xy -vlak, dan
liggen alle punten van deze grafiek op of onder de rechte y = M. In Figuur 7.1 wordt de grafiek
getekend van de rij rn = (2n − 2)/n. Deze rij is stijgend en heeft onder andere M = 2 als
bovengrens. Merk op dat elk reëel getal N met N ≥ 2 een bovengrens is.
rn
M
1
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Figuur 7.1: Een stijgende van boven begrensde rij
Eigenschap 7.1. Een rij (rn ) is begrensd enkel en alleen indien er een reëel getal K bestaat
zodat voor alle n ∈ N0 geldt |rn | ≤ K.
Bewijs. Veronderstel eerst dat N een ondergrens is van de rij en M een bovengrens. Dan geldt
voor alle n ∈ N0 :
rn ≤ M ≤ |M| ≤ |M| + |N|
en
−rn ≤ −N ≤ |N| ≤ |N| + |M|
zodat
|rn | ≤ |M| + |N|
Als er een reëel getal K bestaat zodat voor alle n ∈ N0 geldt |rn | ≤ K, dan is K een bovengrens
van de rij en −K een ondergrens want voor alle n ∈ N0 geldt
rn ≤ |rn | ≤ K
en
rn ≥ −|rn | ≥ −K
96
Hoofdstuk 7 Convergentie van rijen en toepassingen
Convergentie van rijen
Rijen van getallen die convergent zijn, kunnen gebruikt worden om een limietgetal te benaderen.
Convergentie van een rij naar een limietgetal betekent dat, hoe klein de toegelaten afwijking ook
genomen wordt, de termen van de rij vroeg of laat het limietgetal goed genoeg benaderen.
Definitie 7.6. Als r = (rn )n∈N0 een rij van reële getallen is en als l een reëel getal is, dan zeggen
we dat r convergeert naar l als men voor elke reële ε > 0 een rangnummer N kan vinden zodat
alle termen rn met een hoger rangnummer n ≥ N voldoen aan
|rn − l| < ε.
We noteren
lim rn = l
n→+∞
of
rn → l
op voorwaarde dat de rij r naar het reëel getal l convergeert, en we noemen l de limiet van de
rij.
De uitdrukking in symbolen van rn → l is:
∀ε > 0, ∃N ∈ N, ∀n ≥ N : |rn − l| < ε
De ongelijkheid |rn − l| < ε drukt uit dat de term rn met rangnummer n dichter dan ε bij l ligt.
Het is duidelijk dat de convergentie of divergentie van een rij niet afhangt van om het even welk
eindig aantal van eerste termen van de rij. Men kan bewijzen dat een rij reële getallen nooit
naar twee verschillende reële getallen kan convergeren. Merk op dat we enkel spreken van de
‘limiet’ van een rij in het geval waar de rij convergent is naar een reëel getal. Men zegt dat
een rij r convergeert (in R) of convergent is (in R) als ze convergeert naar een zeker reëel getal l. Men zegt dat een rij divergeert of divergent is als ze naar geen enkel reëel getal convergeert.
Voorbeeld. We onderzoeken de convergentie van de rij (rn )n∈N0 met
rn =
3n2 − 1
10n + 5n2
De eerste termen van de rij zijn
r1 =
2
11
26
47
, r2 =
, r3 =
, r4 =
15
40
75
120
maar deze enkele termen geven geen uitsluitsel over de limiet van de rij. We bewijzen aan de
hand van de definitie dat deze rij convergeert en dat de limiet van de rij 35 is. Eerst maken we
97
Hoofdstuk 7 Convergentie van rijen en toepassingen
een afschatting naar boven van de afstand tussen rn , de n-de term van de rij, en 35 :
3n2 − 1
15n2 − 5 − 30n − 15n2 3
3
rn − = − = 5 10n + 5n2 5 5 (10n + 5n2 )
=
1 + 6n
10n + 5n2
≤
7n
7
2
=
≤
2
5n
5n
n
Aangezien nu voor een willekeurig strikt positief getal ε geldt dat
2
<ε
n
als
n>
2
ε
kiezen we een natuurlijk getal N dat strikt groter is dan
getallen n met n ≥ N dat
2
<ε
n
en dus a fortiori
rn − 3 < ε
5
2
ε.
Dan geldt voor alle natuurlijke
Hoe klein het strikt positief getal ε ook gekozen wordt, steeds wordt vanaf een zekere index N
de afstand tussen rn en 35 kleiner dan ε. Dit bewijst dat de rij (rn )n∈N0 naar 53 convergeert.
Figuren 7.2 en 7.3 illustreren meetkundig de betekenis van de convergentie van deze rij naar
de limiet 35 . Stelt men de limiet 53 namelijk voor op de y -as en beschouwt men een oneindig
doorlopende horizontale strook (naar links en naar rechts) met hoogte 2ε rond deze limiet, dan
betekent rn → 53 dat de punten van de rij vanaf een zekere index binnen deze strook zullen liggen.
De index vanaf welke dit gebeurt, kan zeer groot zijn en neemt over het algemeen toe als men
een kleinere waarde van ε neemt. Zo liggen de punten van de rij reeds vanaf n = 5 binnen de
ε-strook als ε = 2 en liggen de punten van de rij vanaf n = 8 binnen de ε-strook als ε = 0, 13.
Figuur 7.2: Een horizontale strook rond 3/5 met ε = 0, 2
De volgende eigenschap drukt uit dat een rij r naar een reëel getal l convergeert enkel en alleen
indien de rij van afstanden tussen rn en l naar 0 convergeert.
98
Hoofdstuk 7 Convergentie van rijen en toepassingen
Figuur 7.3: Een horizontale strook rond 3/5 met ε = 0, 13
Eigenschap 7.2. Een rij (rn )n convergeert naar een reëel getal l enkel en alleen indien de rij
(|rn − l|)n naar 0 convergeert.
Bewijs. Het volstaat om uit te drukken dat de rij (|rn − l|)n naar 0 convergeert:
∀ε > 0, ∃N, n ≥ N ⇒ ||rn − l| − 0| < ε
Dit is namelijk equivalent met
∀ε > 0, ∃N, n ≥ N ⇒ |rn − l| < ε
omdat
||rn − l| − 0| = |rn − l|
De volgende eigenschap handelt over het speciale geval dat een rij als limiet het getal 0 heeft.
Ze is een onmiddellijk gevolg van de vorige.
Eigenschap 7.3. Een rij (rn )n convergeert naar 0 enkel en alleen de rij (|rn |)n van de absolute
waarden naar 0 convergeert.
Enkele belangrijke limieten van rijen
We geven hier een overzicht van het convergentiegedrag van enkele in praktijk veel voorkomende
rijen.
• Een constante rij l (dit is een rij waarvan alle termen gelijk zijn aan l) convergeert naar l.
• Een rekenkundige rij convergeert enkel en alleen indien haar verschil 0 is; de rij is dan
constant.
• Een meetkundige rij convergeert enkel in de volgende gevallen:
– als de eerste term 0 is (alle termen zijn dan 0 en de limiet is 0);
– als het quotiënt 1 is (de rij is dan constant);
– als het quotiënt q in ] − 1, 1[ ligt (de limiet is dan 0).
99
Hoofdstuk 7 Convergentie van rijen en toepassingen
In alle andere gevallen is een meetkundige rij divergent.
• Voor elk reëel getal α convergeert de rij met voorschrift
α n
rn = 1 +
n
naar eα :
lim
n→+∞
1+
α n
= eα .
n
• Een rij met voorschrift rn = np voor een p ∈ R heeft volgend convergentiegedrag:
– de rij np is divergent als p > 0,
– limn→+∞ np = 1 als p = 0,
– limn→+∞ np = 0 als p < 0.
Indien een rij niet begrensd is, dan is ze zeker divergent:
Eigenschap 7.4. Als een rij (rn ) convergeert in R, dan is de rij begrensd.
Bewijs. Veronderstel dat de rij naar het reëel getal l convergeert. Dan bestaat er een index N
zodat voor elke n ≥ N geldt
|rn − l| < 1
Voor elke rn met n ≥ N geldt dan
|rn | = |rn − l + l| ≤ |rn − l| + |l| < 1 + |l|
Met K het grootste van de getallen
|r1 |, |r2 |, |r3 |, . . . |rN−1 |, |l| + 1
geldt dan
|rn | ≤ K
voor alle n ∈ N0 .
Het voorbeeld van de rij
0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, . . .
toont dat niet elke begrensde rij convergeert in R.
Convergentie naar ‘oneindig’ van een rij
Als een rij divergent is maar de eigenschap heeft dat de termen, voor steeds grotere rangnummers, willekeurig groot worden (of negatief zijn maar willekeurig groot in absolute waarde), dan
hechten we aan dergelijke rij een veralgemeende betekenis aan het begrip ‘convergentie’:
100
Hoofdstuk 7 Convergentie van rijen en toepassingen
Definitie 7.7. Als r = (rn )n∈N0 een rij is en als voor elk positief reëel getal K een rangnummer
N bestaat zodat rn > K voor alle termen rn met rangnummer n ≥ N, dan zeggen we dat r naar
+∞ convergeert en we noteren
lim rn = +∞.
n→+∞
We zeggen dat een rij r naar −∞ convergeert als de rij met tegengestelde termen, (−rn )n∈N0 ,
naar +∞ convergeert; we noteren dit als
lim rn = −∞.
n→+∞
Voorbeeld. Als p > 0, dan convergeert de rij np naar +∞ en we schrijven dus
lim np = +∞.
n→+∞
Rekenregels voor limieten van rijen
Eigenschap 7.5. Als de rij r naar het reëel getal l1 convergeert en als de rij s naar het reëel
getal l2 convergeert en als voor elke n geldt rn ≤ sn , dan geldt deze ongelijkheid ook voor de
limieten:
l1 ≤ l2
Bewijs. Veronderstel uit het ongerijmde dat l1 > l2 en stel ε = (l1 − l2 )/2 . Omdat rn → l1
geldt vanaf een zekere index N1 dat |rn − l1 | < ε en dus
rn > l1 − ε
Omdat sn → l2 geldt vanaf een zekere index N2 dat |sn − l2 | < ε en dus
sn < l2 + ε
Omdat l1 − ε = l2 + ε zou dan voor elke index die groter is dan N1 en N2 gelden dat sn < rn .
Dit is strijdig met het veronderstelde.
De volgende stelling, die de ‘insluitstelling voor rijen’ genoemd wordt, is in praktijk dikwijls zeer
nuttig. Ze laat toe om de convergentie van een rij af te leiden uit de convergentie van twee
andere rijen, nl. één met grotere termen en één met kleinere termen.
Eigenschap 7.6. Insluitstelling. Als limn→+∞ rn = limn→+∞ sn en als voor de termen van een
rij t geldt dat rn ≤ tn ≤ sn , dan convergeert ook de rij (tn )n en er geldt:
lim rn = lim tn = lim sn
n→+∞
n→+∞
n→+∞
101
Hoofdstuk 7 Convergentie van rijen en toepassingen
Bewijs. Noem l de gemeenschappelijke limiet van de rijen (rn )n en (sn )n en beschouw een
willekeurige ε > 0. Omdat limn→+∞ rn = l geldt vanaf een zeker rangnummer N1 dat |rn −l| < ε
en dus
l − tn ≤ l − rn ≤ |rn − l| < ε
(7.1)
Omdat ook limn→+∞ sn = l geldt vanaf een zeker rangnummer N2 dat |sn − l| < ε en dus
tn − l ≤ sn − l ≤ |sn − l| < ε
(7.2)
Nemen we als rangnummer N het grootste van N1 en N2 , dan gelden voor n ≥ N zowel (7.1)
als (7.2) en dus
|tn − l| < ε
De volgende eigenschap is een onmiddellijk gevolg van de Insluitstelling voor rijen.
Eigenschap 7.7. Indien een rij (rn )n naar 0 convergeert en indien de termen van een rij (sn )n
voldoen aan
|sn | ≤ |rn |
dan convergeert ook de rij (sn )n naar 0.
Bewijs. Het volstaat op te merken dat
−|rn | ≤ sn ≤ |rn |
en dat de twee rijen (|rn |)n en (−|rn |)n allebei naar 0 convergeren.
De volgende eigenschap formuleert enkele goed gekende rekenregels voor limieten van rijen.
102
Hoofdstuk 7 Convergentie van rijen en toepassingen
Eigenschap 7.8. Als de rij r naar het reëel getal l1 convergeert en als de rij s naar het reëel
getal l2 convergeert, dan gelden:
• voor elk reëel getal k convergeert de rij met termen krn naar het reëel getal kl1 :
lim (krn ) = k lim rn
n→+∞
n→+∞
• de rij met termen rn + sn (de som van de rijen r en s) convergeert naar het reëel getal
l1 + l2 :
lim (rn + sn ) = lim rn + lim sn
n→+∞
n→+∞
n→+∞
• de rij met termen rn − sn (het verschil van de rijen r en s) convergeert naar het reëel getal
l1 − l2 :
lim (rn − sn ) = lim rn − lim sn
n→+∞
n→+∞
n→+∞
• de rij met termen rn .sn (het product van de rijen r en s) convergeert naar het reëel getal
l1 .l2 :
lim (rn .sn ) = lim rn . lim sn
n→+∞
n→+∞
n→+∞
Als bovendien de termen sn van s alle verschillend zijn van 0 en als de limiet l2 van s verschillend
is van nul, dan geldt ook:
• de rij met termen rn /sn (het quotiënt van de rijen r en s) convergeert naar het reëel getal
l1 /l2 :
rn
limn→+∞ rn
lim
=
n→+∞ sn
limn→+∞ sn
Bewijs. We bewijzen slechts de laatste eigenschap, de bewijzen van de andere rekenregels zijn
gemakkelijker. Omdat limn→+∞ sn = l2 geldt
|sn − l2 | <
|l2 |
2
vanaf een zekere index N en dus ook
|l2 |
2
Inderdaad geldt voor n ≥ N wegens de driehoeksongelijkheid:
|sn | >
|l2 | = |l2 − sn + sn | ≤ |l2 − sn | + |sn | <
Dan geldt voor n ≥ N:
|l2 |
+ |sn |
2
rn
− l1 = rn l2 − l1 sn sn
l2
|sn ||l2 | <
2
|rn l2 − l1 sn |
l22
103
Hoofdstuk 7 Convergentie van rijen en toepassingen
De rij (rn l2 − l1 sn )n convergeert naar l1 l2 − l1 l2 = 0 en dus geldt
lim rn l2 − l1 sn = 0
n→+∞
en dus ook
lim |rn l2 − l1 sn | = 0
n→+∞
en
2
|rn l2 − l1 sn | = 0
lim
n→+∞ l 2
2
rn
rn l1
−
naar 0 en dus
naar
Dan convergeert ook de rij
sn l2 n
sn n
l1
l2 .
1. We bepalen de limiet van de rij
Voorbeelden.
rn =
3n2 − 1
10n + 5n2
met behulp van Eigenschap 7.8.
n2
1
3n2 − 1
=
lim
3
− lim
2
2
n→+∞ 10n + 5n
n→+∞ 10n + 5n 2
n→+∞ 10n + 5n
lim rn = lim
n→+∞
Voor de eerste limiet geldt
n2
1
1
1
1
=
=
=
= lim
−1
n→+∞ 10n + 5n 2
n→+∞ 10n −1 + 5
limn→+∞ 10n + 5
0+5
5
lim
en voor de tweede
1
=0
n→+∞ 10n + 5n 2
lim
omdat
1
1
≤
2
10n + 5n
n
en
1
=0
n→+∞ n
Zo vinden we voor de limiet van de rij rn
lim
3
1
lim rn = lim 3 − 0 =
n→+∞
n→+∞ 5
5
In Figuur 7.4 worden de eerste negen termen van de rij en de limiet voorgesteld.
2. We onderzoeken de convergentie van de rij (rn )n met
rn = 3 +
(−1)n
n
De eerste termen van de rij zijn
r1 = 2, r2 =
7
8
13
, r3 = , r4 =
2
3
4
104
Hoofdstuk 7 Convergentie van rijen en toepassingen
rn
3/5
..
.
r2
r1
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Figuur 7.4: Een convergente rij naar 3/5
maar deze enkele termen geven geen uitsluitsel over de limiet van de rij. Wel geldt
(−1)n
=0
n→+∞
n
lim
omdat
(−1)n 1
n = n
en
lim
n→+∞
1
=0
n
Zo vinden we voor de limiet van de rij rn
(−1)n
(−1)n
=3+0=3
= 3 + lim
lim rn = lim
3+
n→+∞
n→+∞
n→+∞
n
n
In Figuur 7.5 worden de eerste negen termen van de rij en de limiet voorgesteld.
rn
3
r3
r1
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Figuur 7.5: Een convergente rij naar 3
Limieten van functies en van rijen
We zullen enkele verbanden onderzoeken tussen limieten van rijen en limieten van functies.
Allereerst behandelen we een verband tussen de limiet van een rij limn→+∞ f (n) en de limiet
limx→+∞ f (x) voor een functie f . In Figuur 7.6 worden enkele termen van de rij (f (n))n getekend
voor de functie met voorschrift
2x − 2
f (x) =
x
105
Hoofdstuk 7 Convergentie van rijen en toepassingen
en in Figuur 7.7 worden enkele termen van de rij (f (n))n getekend voor de functie met voorschrift
f (x) = sin x
rn
l
1
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Figuur 7.6: Een convergente rij f (n)
In het eerste geval is de rij (f (n))n convergent en in het tweede geval is de rij (f (n))n divergent.
y
1
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Figuur 7.7: Een divergente rij f (n)
We zullen in het vervolg van dit hoofdstuk werken met reëelwaardige functies f : I → R die
gedefinieerd zijn op een domein I ⊂ R dat een open, halfopen of gesloten interval is,
I = [a, b], I = ]a, b[, I = [a, b[ of I = ]a, b]
met a < b,
of een open of gesloten halfrechte,
I = [a, +∞[, I = ]a, +∞[, I = ] − ∞, b] of I = ] − ∞, b[
met a, b ∈ R,
ofwel een eindige unie van intervallen en halfrechten.
We herhalen dat voor een functie f waarvan het domein een halfrechte [a, +∞[ omvat
lim f (x) = ℓ
x→+∞
betekent
∀ε > 0, ∃b ∈ R : x ≥ b ⇒ |f (x) − ℓ| < ε
Dit wil zeggen dat bij elke ε > 0 alle functiewaarden f (x) dichter dan ε bij de limiet ℓ liggen
voor alle getallen x die groter zijn dan een zeker getal b.
Merk op dat
lim sin(πn) = 0
n→+∞
106
Hoofdstuk 7 Convergentie van rijen en toepassingen
maar dat
lim sin(πx)
x→+∞
niet bestaat. Het is dus zeker niet zo dat uit het bestaan van de limiet van de rij limn→+∞ f (n)
het bestaan van de limiet limx→∞ f (x) volgt. Dit zal wel het geval zijn voor een stijgende functie
f . Het omgekeerde is wel waar: limn→+∞ f (n) bestaat als de limiet limx→∞ f (x) bestaat in R.
Eigenschap 7.9. Veronderstel dat f een functie is waarvoor [1, +∞[ omvat is in het domein.
Beschouw verder de rij (rn ) gedefinieerd door rn = f (n) voor n ∈ N0 .
1. Als limx→+∞ f (x) = ℓ bestaat in R, dan geldt ook
lim rn = ℓ
n→+∞
2. Als de functie f bovendien stijgend is, dan geldt ook
lim f (x) = ℓ
x→+∞
als limn→+∞ rn = ℓ.
Bewijs.
1. Veronderstel dat limx→+∞ f (x) = ℓ en neem ε > 0 willekeurig. Er bestaat een reëel getal
b zodat voor alle x geldt
x ≥ b ⇒ |f (x) − ℓ| < ε
Neem nu een natuurlijk getal N dat groter is dan b. Dan geldt voor alle n groter dan N:
|rn − ℓ| = |f (n) − ℓ| < ε
2. Veronderstel dat f stijgend is en dat limn→+∞ rn = ℓ. De limiet ℓ is duidelijk groter dan
of gelijk aan alle termen van de rij (rn ). Immers, zou ℓ < rk voor een zekere index k, dan
zou voor elke index n ≥ k gelden
rn − ℓ ≥ rk − ℓ
en dus a fortiori
|rn − ℓ| ≥ rk − ℓ
Dit is onmogelijk omdat rk − ℓ > 0 en omdat limn→+∞ rn = ℓ.
De limiet ℓ is ook groter dan of gelijk aan f (x) voor elk reëel getal x ∈ [1, +∞[. Inderdaad,
neem een willekeurig natuurlijk getal n dat groter is dan x en dan geldt
f (x) ≤ f (n) = rn ≤ ℓ
Ten slotte tonen we aan dat limx→+∞ f (x) = ℓ en nemen daarom een willekeurig getal
ε > 0. Omdat limn→+∞ rn = ℓ bestaat er een index N ∈ N0 zodat voor alle n ∈ N0 met
n ≥ N geldt |ℓ − rn | < ε. Dan geldt voor elk reëel getal x dat voldoet aan x ≥ N:
|ℓ − f (x)| = ℓ − f (x)
= ℓ − f (N) + f (N) − f (x)
≤ ℓ − f (N)
= ℓ − rN
= |ℓ − rN | < ε
107
Hoofdstuk 7 Convergentie van rijen en toepassingen
Verschillende technieken om een limiet limx→∞ f (x) te bepalen kunnen dus ook gebruikt worden
om de limiet van een rij limn→+∞ f (n) te vinden.
Voorbeeld. Omdat wegens de stelling van de l’Hôpital geldt
ln x
0
1/x
= lim
= =0
x→∞ 1
x→+∞ x
1
lim
geldt ook
lim
n→+∞
ln n
=0
n
In Figuur 7.8 werd gedeeltelijk de grafiek van de functie f (x) =
termen van de rij (f (n))n voorgesteld.
ln x
x
getekend en werden enkele
!
!
*
"
#
$
%
&
'
(
)
!
"
#
$
%
&
'
(
!
Figuur 7.8: De convergente beeldrij
ln n
n
Er bestaat eveneens een verband tussen een limiet limx→a f (x) van een functie in een reëel getal
en de limiet van een beeldrij (f (rn ))n als de rij (rn )n naar a convergeert. Als (rn )n een rij is in
het domein van een functie f , en we beschouwen van elke term rn het beeld f (rn ), dan vormen
deze beelden een nieuwe rij van reële getallen. Deze rij noemen we de beeldrij van (rn )n door f .
Figuur 7.9 geeft enkele termen weer van de beeldrij van de rij
(−1)n
n
door de functie f met voorschrift
sin x
x
De figuur suggereert dat deze beeldrij naar 1 convergeert. Dit komt doordat de rij (rn )n naar 0
convergeert en doordat
sin x
lim
=1
x→0 x
De algemene situatie wordt in Eigenschap 7.10 behandeld.
We herhalen dat, voor een reëel getal a dat tot het domein I van f behoort of dat een randpunt
van I is,
lim f (x) = ℓ
f (x) =
x→a
108
Hoofdstuk 7 Convergentie van rijen en toepassingen
y
f (r2 )
f (x )
f (r1 )
r1
r3
r4 r2
x
Figuur 7.9: Beeldrij (f (rn ))n
wil zeggen dat de functiewaarden f (x) willekeurig dicht bij de limiet ℓ liggen als x voldoende
dicht bij a en verschillend van a genomen wordt:
∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ I : 0 < |x − a| < δ ⇒ |f (x) − ℓ| < ε
(7.3)
Een punt van I dat geen randpunt is van I, noemen we een inwendig punt van I. Als a een
inwendig punt is van I, dan bestaat er een gesloten interval [a−r, a+r ] met middelpunt a en strikt
positieve lengte 2r dat volledig omvat is in I. Een randpunt van I kan een linkerrandpunt zijn
van I of een rechterrandpunt. Voor een linkerrandpunt a van I bestaat er een gesloten interval
[a, a + r ] met strikt positieve lengte r dat volledig in I omvat is. Voor een rechterrandpunt a van
I bestaat er een gesloten interval [a − r, a] met strikt positieve lengte r dat volledig in I omvat
is. Merk op dat, als a een linkerrandpunt van I is, dat (7.3) zich herleidt tot
∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ I : a < x < a + δ ⇒ |f (x) − ℓ| < ε
In dit geval spreken we van de rechterlimiet van f in a en noteren we
lim f (x) = ℓ
x→a
>
Als a een rechterrandpunt van I is, dan herleidt (7.3) zich tot
∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ I : a − δ < x < a ⇒ |f (x) − ℓ| < ε
109
Hoofdstuk 7 Convergentie van rijen en toepassingen
en spreken we van de linkerlimiet van f in a:
lim f (x) = ℓ
x→a
<
Eigenschap 7.10. Indien
lim f (x) = ℓ
x→a
en (rn )n is een rij in I met termen rn 6= a die convergeert naar a, dan convergeert de beeldrij
van (rn )n door f naar l:
lim f (rn ) = ℓ
n→+∞
Bewijs. Neem ε > 0 willekeurig. We moeten tonen dat vanaf een zeker rangnummer N geldt
|f (rn ) − ℓ| < ε
Omdat
lim f (x) = ℓ
x→a
bestaat er een δ > 0 zodat voor alle elementen van I die verschillen van a en die dichter dan δ
bij a liggen geldt
|f (x) − ℓ| < ε
Omdat limn→+∞ rn = a bestaat er een rangnummer N zodat voor alle rangnummers n ≥ N
geldt
|rn − a| < δ
Dan geldt voor alle rangnummers n ≥ N dat |f (rn ) − ℓ| < ε.
Met behulp van de geziene eigenschappen kunnen we nu nog enkele belangrijke limieten van rijen
behandelen.
Eigenschap 7.11.
ln n
=0
n→+∞ n
√
2. lim n n = 1
1.
lim
n→+∞
3.
4.
5.
lim x 1/n = 1 voor een vast reëel getal x > 0
n→+∞
lim x n = 0 voor een vast reëel getal x met |x| < 1
n→+∞
xn
= 0 voor een vast reëel getal x
n→+∞ n!
lim
Bewijs.
110
Hoofdstuk 7 Convergentie van rijen en toepassingen
2.
lim ln
n→+∞
√
n
1
ln n = 0
n→+∞ n
n = lim ln n(1/n) = lim
n→+∞
wegens 1. en dus, wegens Eigenschap 7.10
lim
n→+∞
√
n
n = lim e (ln n
(1/n) )
n→+∞
3.
1
ln x = 0
n
lim ln x 1/n = lim
n→+∞
= e0 = 1
n→+∞
en dus, wegens Eigenschap 7.10
lim x 1/n = lim e (ln x
n→+∞
1/n )
n→+∞
= e0 = 1
4. We moeten tonen dat er voor elke ε > 0 een natuurlijk getal N bestaat zodat |x n | < ε
voor alle n ≥ N. Neem een willekeurige ε > 0. Omdat ε1/n → 1 wegens 3. en omdat
|x| < 1 bestaat er een natuurlijk getal N zodat ε1/N > |x|. Met andere woorden
|x N | = |x|N < ε
Dan geldt voor alle n ≥ N dat
|x n | ≤ |x N | < ε
5. Wegens Eigenschap 7.4 volstaat het te bewijzen dat
|x|n
=0
n→+∞ n!
lim
We kiezen daarom een natuurlijk getal M zodat M > |x|. Dan geldt |x|/M < 1 en wegens
4. geldt (|x|/M)n → 0. Voor een natuurlijk getal n > M geldt dan
|x|n
n!
=
|x|n
1 · 2 · ... · M · [(M + 1) · (M + 2) · ... · n]
MM
|x|n
|x|n M M
=
≤
=
M!M n
M!
M![M n−M ]
Dus geldt
Omdat
|x|n
MM
0≤
≤
n!
M!
|x|
M
|x|
M
n
n
n
|x|
MM
|x|n
→ 0 en omdat
een constant getal is, geldt
→ 0.
M
M!
n!
111
Hoofdstuk 7 Convergentie van rijen en toepassingen
7.2
De volledigheid van de reële getallen
De ’volledigheid’ is een belangrijke eigenschap van de van de reële getallen. Deze eigenschap
laat toe om in bepaalde gevallen te besluiten dat een rij convergeert, zonder de limiet te moeten
vinden. Ook ligt de volledigheid van de reële getallen aan de grondslag van enkele belangrijke
eigenschappen van reëelwaardige functies. Zo zullen we verder in dit hoofdstuk dankzij de
volledigheid van de reële getallen kunnen aantonen dat elke continue functie met als domein een
gesloten interval met zekerheid een kleinste en een grootste waarde bereikt. De volledigheid van
de reële getallen is een diepe eigenschap met wortels tot in de constructie van de reële getallen.
Deze constructie van de reële getallen maakt deel uit van een gevorderde wiskundige studie die
verder gaat dan deze cursus. In deze tekst zullen wij zonder bewijs de ’eigenschap van de geneste
intervallen’ aannemen en hieruit hierop steunen om de volledigheid van de reële getallen af te
leiden. De eigenschap van de geneste intervallen wordt geformuleerd met behulp van een rij
([an , bn ])n∈N0 van ineenpassende gesloten intervallen of geneste gesloten intervallen. Dergelijke
rij bestaat uit een oneindige lijst
[a1 , b1 ], [a2 , b2 ], [a3 , b3 ], . . . , [an , bn ], [an+1 , bn+1 ], . . .
van gesloten intervallen in R waarbij elk interval uit de lijst omvat is in het vorige interval in de
lijst:
[a1 , b1 ] ⊃ [a2 , b2 ] ⊃ [a3 , b3 ] ⊃ . . . ⊃ [an , bn ] ⊃ [an+1 , bn+1 ] ⊃ . . .
De eerste vier intervallen van een typische rij van ineenpassende gesloten intervallen worden
voorgesteld in Figuur 7.10.
x
c
a1
a2
a3 a4
b4 b3
b2
b1
Figuur 7.10: Een rij van ineenpassende gesloten intervallen
Een fundamentele eigenschap van de reële getallen is dat de doorsnede van een rij van ineenpassende gesloten intervallen nooit leeg is: er bestaat steeds een getal dat tot elk van de intervallen
uit de rij behoort. We kunnen deze eigenschap in deze cursus niet bewijzen.
Eigenschap 7.12. Eigenschap van de geneste intervallen
Indien ([an , bn ])n∈N0 een rij van ineenpassende gesloten intervallen in R is, dan bestaat er minstens
één reëel getal c dat behoort tot alle intervallen in de rij:
∃c ∈ R, ∀n ∈ N0 : c ∈ [an , bn ]
Uiteraard hoeft het punt c in de doorsnede van alle intervallen niet uniek te zijn. De lengtes van
al de intervallen [an , bn ] zou groter dan een vast strikt positief getal kunnen blijven en in dat
geval zouden er oneindig veel reële getallen tot alle intervallen behoren. Indien de lengtes van
de intervallen [an , bn ] een rij vormen die naar nul convergeert, dan is het punt c wel uniek. Het
is bovendien de limiet van elke rij (rn )n die ontstaat door in elk interval [an , bn ] een willekeurige
term rn te kiezen. Dit tonen we aan in de volgende eigenschap.
112
Hoofdstuk 7 Convergentie van rijen en toepassingen
r1
r4
r3
r2
x
c
a1
a2
a3 a4
b4 b3
b2
b1
Figuur 7.11: Een rij (rn )n in geneste intervallen
Eigenschap 7.13. Indien ([an , bn ])n∈N een rij van ineenpassende gesloten intervallen in R is, en
indien de lengtes bn − an van de intervallen een rij vormen die voldoet aan
lim bn − an = 0
n→+∞
dan bestaat er juist één reëel getal c dat behoort tot alle intervallen in de rij. Bovendien geldt
c = lim rn
n→+∞
voor elke rij (rn )n waarbij rn ∈ [an , bn ].
Bewijs. Kies een getal c dat behoort tot elk van de intervallen [an , bn ] (dergelijk getal bestaat
wegens Eigenchap 7.12) en beschouw een rij (rn )n waarbij rn ∈ [an , bn ]. Voor een willekeurige
ε > 0 bestaat er een rangnummer N zodat de lengtes bn − an van de intervallen [an , bn ] met
n ≥ N strikt kleiner zijn dan ε. Omdat de getallen rn en c beide behoren tot [an , bn ], is hun
afstand dus ook strikt kleiner dan ε. Zo hebben we getoond dat
∃N, ∀n ≥ N : |rn − c| < ε
Dit wil zeggen dat de rij (rn )n naar c convergeert.
Ondermeer is dan c de limiet van de rij (an )n van de beginpunten van de intervallen [an , bn ].
Als nu c en c ′ twee getallen zijn die beide behoren tot elk van de intervallen [an , bn ], dan is
zowel c als c ′ limiet van de rij (an )n , maar deze rij kan slechts naar één limiet convergeren en
dus c = c ′ .
Het vervolg van deze sectie handelt over de zgn. ‘volledigheid’ van de reële getallen. Dit is een
eigenschap van de orde op de reële getallen die R onderscheidt van andere getallenverzamelingen
zoals Q.
Definitie 7.8. Als V een verzameling van reële getallen is dan noemt men bovengrens van V elk
reëel getal u met de eigenschap dat geen enkel getal van V strikt groter is dan u. Met andere
woorden is u een bovengrens van V indien
∀x ∈ V : x ≤ u
Analoog noemt men een reëel getal l een ondergrens van V indien
∀x ∈ V : x ≥ l
Een verzameling V van reële getallen noemt men van boven begrensd (resp. van onder begrensd)
indien V een bovengrens (resp. een ondergrens) heeft. Men noemt V begrensd indien V zowel
van boven als van onder begrensd is.
113
Hoofdstuk 7 Convergentie van rijen en toepassingen
Voorbeelden.
1. De verzameling Z− heeft geen ondergrens en is dus niet van onder begrensd.
2. Elk negatief reëel getal is een ondergrens van R+
0 . Het getal 0 is de grootste van al de
+
ondergrenzen van R0 want geen enkel strikt positief reëel getal is een ondergrens van R+
0.
Inderdaad bestaat er voor elk strikt positief reëel getal a een getal x ∈ R+
met
x
<
a.
0
De verzameling R+
is
niet
van
boven
begrensd.
Inderdaad
is
geen
enkel
reëel
getal
een
0
+
bovengrens van R+
0 want voor elk reëel getal a bestaat er x ∈ R0 met x > a.
3. Elk reëel getal is een ondergrens en een bovengrens van de verzameling ∅. De lege verzameling heeft bijgevolg geen grootste ondergrens en geen kleinste bovengrens.
Definitie 7.9. Als een verzameling V van reële getallen een kleinste bovengrens heeft, noemen
we dit getal het supremum van V . Als een verzameling V van reële getallen een grootste
ondergrens heeft, noemen we dit getal het infimum van V . We noteren deze getallen met
sup V en inf V
als ze bestaan.
Voorbeelden.
1. De grootste ondergrens van [−2, 3[ en van ] − 2, 3[ is −2 en de kleinste bovengrens van
[−2, 3[ en van ] − 2, 3[ is 3:
inf[−2, 3[ = inf ] − 2, 3[ = −2 en sup[−2, 3[ = sup ] − 2, 3[ = 3
2. De verzameling
heeft
√
V = {x ∈ R|x 2 < 7}
√
7 als kleinste bovengrens en − 7 als grootste ondergrens:
√
√
inf V = − 7 en sup V = 7
De vorige voorbeelden tonen aan dat het supremum of het infimum van een verzameling V al
of niet tot V kan behoren. Als het supremum van V tot V behoort, is sup V het grootste getal
in V en noemen we sup V het maximum van V . We noteren ook max V voor dit getal. Als het
infimum van V tot V behoort, is inf V het kleinste getal in V en noemen we inf V het minimum
van V . We noteren min V voor dit getal.
Voorbeelden.
+
+
1. De verzameling R+
0 heeft geen minimum: het infimum 0 van R0 behoort niet tot R0 . De
+
verzameling R0 heeft evenmin een maximum.
2. Het supremum van [−2, 3[ is 3 en behoort niet tot de verzameling. Bijgevolg heeft [−2, 3[
geen maximum. Het infimum van [−2, 3[ is −2 en behoort tot de verzameling. Bijgevolg
is −2 het minimum van [−2, 3[.
114
Hoofdstuk 7 Convergentie van rijen en toepassingen
Hierna formuleren we de ‘volledigheid van R‘ aan de hand van suprema en infima. Deze fundamentele eigenschap van de orde op de reële getallen volgt uit de eigenschap van de geneste
intervallen.
Stelling 7.1. Volledigheid van R
Elke niet lege en van boven begrensde verzameling in R heeft een supremum. Elke niet lege van
onder begrensde verzameling in R heeft een infimum.
Bewijs. We beschouwen een niet lege en van boven begrensde verzameling A van reële getallen
en we bewijzen dat A een kleinste bovengrens heeft. Neem een bovengrens u1 van A en een
element a1 van A. Dan geldt zeker a1 ≤ u1 . In het geval waar a1 = u1 behoort de bovengrens u1
tot A en is deze dus het maximum. Dan is u1 het maximum en dus ook de kleinste bovengrens
van A. We behandelen nu het geval a1 < u1 en stellen l = u1 −a1 . We tonen dat er, vertrekkende
van het interval [a1 , u1 ], een rij ([an , un ])n van ineenpassende gesloten intervallen bestaat waarbij
voor elke n ∈ N0
• an een element van A is,
• un een bovengrens van A is,
• un − an ≤
l
2n−1
Duidelijk voldoet [a1 , u1 ] aan de drie eigenschappen. Veronderstel dat reeds intervallen
[a1 , u1 ], [a2 , u2 ], . . . , [an , un ]
gekozen zijn die alle aan de drie gevraagde eigenschappen voldoen. Voor de keuze van het volgende interval [an+1 , un+1 ] uit de rij, beschouwen we het midden mn van [an , un ] en onderscheiden
we twee gevallen. Indien mn een bovengrens is van A, kiezen we
[an+1 , un+1 ] = [an , mn ]
Indien mn geen bovengrens is van A, bestaat er een element an+1 ∈ A met an+1 > mn . Omdat
un een bovengrens is van A, is an+1 ≤ un . We kiezen dan
un+1 = un
Merk op dat in beide gevallen de lengte van [an+1 , un+1 ] hoogstens gelijk is aan de helft van de
lengte van [an , un ] en dus
un+1 − an+1 ≤
1
1 l
l
(un − an ) ≤
= (n+1)−1
n−1
2
22
2
De lengte van de intervallen in de geconstrueerde rij ([an , un ])n van ineenpassende gesloten
intervallen convergeert naar 0 en dus bestaat er wegens Eigenschap 7.13 een uniek getal u dat
tot al deze intervallen behoort. Nog wegens Eigenschap 7.13 geldt
u = lim un = lim an
n→+∞
n→+∞
Er rest ons nog slechts te tonen dat u de kleinste bovengrens is van A. Zou u geen bovengrens
zijn van A, dan bestaat er een getal a in A met u < a. Maar dan is un < a vanaf een zeker
rangnummer en dit is onmogelijk omdat un een bovengrens is van A. Zou u ′ een bovengrens
zijn van A die strikt kleiner is dan u, dan geldt an > u ′ vanaf een zeker rangnummer. Dit is
onmogelijk omdat u ′ een bovengrens is van A.
115
Hoofdstuk 7 Convergentie van rijen en toepassingen
De rationale getallen vormen een getallenverzameling die ‘niet volledig’ is in de zin dat niet elke
niet lege en van boven begrensde verzameling een supremum in Q heeft. Bijvoorbeeld is de
verzameling
A = {q ∈ Q|q < π}
wel van boven begrensd in Q maar ze heeft geen kleinste bovengrens in Q. Elk rationaal getal
u dat voldoet aan u > π is een bovengrens van A in Q maar tussen al deze bovengrenzen is er
geen kleinste bovengrens die tot Q behoort.
Begrensde stijgende rijen en begrensde dalende rijen
De volledigheid van R garandeert dat elke stijgende en van boven begrensde rij convergeert,
alsook elke dalende en van onder begrensde rij. Dit wordt getoond in de volgende stelling.
Stelling 7.2. Indien een stijgende rij van reële getallen convergeert in R, dan is de limiet van
de rij het supremum van de verzameling van alle termen van de rij. Een stijgende rij van reële
getallen convergeert in R als en slechts als ze van boven begrensd is.
Indien een dalende rij van reële getallen convergeert in R, dan is de limiet van de rij het infimum
van de verzameling van alle termen van de rij. Een dalende rij van reële getallen convergeert in
R als en slechts als ze van onder begrensd is.
Bewijs. Neem een stijgende rij (rn ) van reële getallen. Als de rij niet van boven begrensd is,
is ze niet begrensd is ze divergent wegens Eigenschap 7.4. Veronderstel nu dat dat de rij van
boven begrensd is. De niet-lege verzameling {rn |n ∈ N0 } der termen van de rij is dan van boven
begrensd en niet leeg, noem L het supremum van deze verzameling. Dan geldt in elk geval
rn ≤ L voor alle n. Neem dan een willekeurig getal ε > 0. Omdat L de kleinste bovengrens
is van de verzameling van alle termen van de rij, is het getal L − ε geen bovengrens van de
verzameling van alle termen van de rij. Bijgevolg bestaat er een index N zodat voor de term rN
van de rij geldt
rN > L − ε
Voor alle n met n ≥ N geldt nu
rn ≥ rN > L − ε
en dus
L − rn < ε
Voor alle n met n ≥ N geldt dus
|L − rn | < ε
Indien een stijgende rij niet van boven begrensd is, is ze dus divergent. Er geldt dat dat de rij
naar +∞ convergeert. Inderdaad, omdat de rij niet van boven begrensd is bestaat er geen getal
M bestaat zodat rn ≤ M voor alle n. Met andere woorden geldt
∀M ∈ R, ∃N ∈ N0 : rN > M
Omdat de rij stijgend is, geldt dan ook rn ≥ rN voor alle n ≥ N. Dus
∀M ∈ R, ∃N ∈ N0 , ∀n ≥ N : rn > M
116
Hoofdstuk 7 Convergentie van rijen en toepassingen
y
f (x ) =
1
x2
1/n2
1/4
1
1/9
2
3
n−1
n
x
Figuur 7.12: Een stijgende van boven begrensde rij
en dit betekent dat de rij convergeert naar +∞.
Met de vorige stelling kan men van een stijgende en van boven begrensde rij dus besluiten dat
de rij convergeert, zonder de limiet te moeten kennen. Dit is nuttig bij bepaalde rijen waarvan
het moeilijk is de limiet te bepalen. Volgend voorbeeld behandelt dergelijke rij.
Voorbeeld. De rij
s 1
1
1
1 1
rn = 6 1 + + +
+
+ ... + 2
4 9 16 25
n
is duidelijk stijgend. Voor elke n ∈ N0 met n ≥ 2 geldt door vergelijking met de oppervlakte
onder de grafiek van f (x) = 1/x 2 (zie Figuur 7.12):
Z n
1 1
1
1
1
1
+ +
+
+ ... + 2 ≤
dx
2
4 9 16 25
n
x
1
=1−
1
≤1
n
Bijgevolg geldt
√
6 (1 + 1) = 2 3
√
De rij (rn ) is dus ook van boven begrensd door 2 3. Wegens Stelling 7.2 is (rn ) convergent in
R. Stelling 7.2 zegt echter niet welke de waarde van de limiet is, alleen dat voor de limiet geldt
√
lim rn ≤ 2 3
rn ≤
p
n→+∞
Euler bewees dat de limiet van de rij π is. De termen van de rij (rn ) kunnen dus voor grote
waarden van n als benadering van π gebruikt worden:
s 1
1
1
1 1
π ≈ 6 1+ + +
+
+ ... + 2
4 9 16 25
n
117
Hoofdstuk 7 Convergentie van rijen en toepassingen
7.3
Continuïteit
Continuïteit is een eigenschap van functies die wiskundig uitdrukt dat de grafiek ‘geen sprongen
vertoont’ of ‘in een vloeiende lijn kan getekend worden.’ Continue functies zijn in de analyse heel
belangrijk: we zullen bijvoorbeeld de oppervlakte kunnen berekenen van gebieden die begrensd
worden door grafieken van continue functies en voor continue functies bestaan er verschillende
benaderingstechnieken.
We herhalen dat een functie f : I → R continu is in een punt x0 van haar domein als
lim f (x) = f (x0 ),
x→x0
dus als de limiet van f voor x gaande naar x0 bestaat en gelijk is aan de functiewaarde van f in
x0 :
∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ I : 0 < |x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − f (x0 )| < ε
In het bijzonder noemen we f continu in een linkerrandpunt x0 van haar domein I als
lim f (x) = f (x0 )
x→x0
>
en continu in een rechterrandpunt x0 van I als
lim f (x) = f (x0 )
x→x0
<
We zeggen kortweg dat f : I → R continu is indien f continu is in elk punt x0 van haar domein
I. We noemen f discontinu in een punt x0 van I indien f niet continu is in x0 . In Figuur 7.13(a)
wordt de grafiek afgebeeld van de continue functie
(
1
e− x 2 als x 6= 0
f : R → R : x 7→
0 als x = 0
en in Figuur 7.13(b) wordt de grafiek afgebeeld van de continue functie
ex als x ≤ 0
f : R → R : x 7→
cos x als x > 0
y
y
1
1
f (x0 )
y = f (x )
x
x0
f (x0 )
x0
(a)
y = f (x )
x
(b)
Figuur 7.13: Continue functies met domein I = R
In Figuur 7.14(a) wordt de grafiek afgebeeld van de functie
ex als x ≤ 0
f : R → R : x 7→
sin x als x > 0
118
Hoofdstuk 7 Convergentie van rijen en toepassingen
Deze functie is niet continu in 0 want de linkerlimiet
lim f (x) = 1
x→0
<
verschilt van de rechterlimiet
lim f (x) = 0
x→0
>
. In Figuur 7.14(b) wordt de grafiek afgebeeld van de functie
1 als − 1 ≤ x < 0, 5
f : [−1, 1] → R : x 7→
−1 als 0, 5 ≤ x ≤ 1
Deze functie is niet continu in 0,5.
! " "! #
!
$# %
y
1
f (0)
y = f (x )
x
(a)
(b)
Figuur 7.14: Discontinue functies
In Figuur 7.15(a) wordt de grafiek afgebeeld van de continue functie
p
f : [1, 2] → R : x 7→ −x 2 + 3x − 2
met als domein het gesloten interval I = [1, 2] en in Figuur 7.15(b) wordt de grafiek afgebeeld
van de continue functie
1
f :]1, 2[→ R : x 7→ √
2
−x + 3x − 2
met als domein het open interval I =]1, 2[
We herinneren eraan dat rationale functies, exponentiële en logaritmische functies, goniometrische functies, wortelfuncties alsook alle samenstellingen van deze functies continu zijn in alle
punten van hun domein.
De volgende eigenschap drukt uit dat limieten van convergente rijen bewaard worden door continue functies. Ze wordt ook wel de continue functie-eigenschap voor rijen genoemd.
119
Hoofdstuk 7 Convergentie van rijen en toepassingen
y
y
2
1
y = f (x )
y = f (x )
1
x
1
2
(a)
x
1
2
(b)
Figuur 7.15: Continue functies met een interval I als domein
Eigenschap 7.14. Als (rn ) een rij is met rn → x0 en als f : I → R een functie is, continu in x0 ,
met rn ∈ I voor alle n, dan geldt
f (rn ) → f (x0 )
of met andere woorden
lim f (rn ) = f (x0 )
n→+∞
Bewijs. Zij ε > 0. Kies eerst δ > 0 zodat voor alle x ∈ I geldt
|x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − f (x0 )| < ε
en vervolgens een natuurlijk getal N zodat voor alle n geldt
n ≥ N ⇒ |rn − x0 | < δ
Dan geldt voor alle n met n ≥ N dat
|f (rn ) − f (x0 )| < ε
Voorbeeld.
lim
n→+∞
omdat
lim
n→+∞
r
4n + 1
=2
n
4 + 1/n
4n + 1
= lim
=4
n→+∞
n
1
120
Hoofdstuk 7 Convergentie van rijen en toepassingen
en omdat de functie f : R+ → R : x 7→
met a = 4 dat
r
√
x continu is in 1. Inderdaad levert vorige eigenschap
√
4n + 1
→ 4=2
n
Op Figuur 7.14(b) stel je vast dat de functiewaarde in x = 0, 5 strikt negatief is, f (0, 5) =
−1, terwijl ‘in de omgeving van x0 = 0, 5’ ook strikt positieve waarden aangenomen worden.
Inderdaad is de functiewaarde f (x) strikt positief als x < x0 . We zullen in de volgende eigenschap
aantonen dat dit onmogelijk is indien f continu is in x0 . Eerst formaliseren we wat bedoeld wordt
met ‘een omgeving’ van een punt x0 . Nog steeds is, zoals eerder afgesproken, I een interval of
een halfrechte.
Definitie 7.10. Indien x0 een punt is dat behoort tot I dan noemen we omgeving van x0 in I
elke verzameling van de vorm
Or = {x ∈ I| |x − x0 | ≤ r } = {x ∈ I| x0 − r ≤ x ≤ x0 + r }
waarbij r een strikt positief reëel getal is.
Een omgeving Or van x0 in I bestaat dus uit die punten van I die voldoende dicht bij x0 liggen,
namelijk op een afstand van ten hoogste r . Indien x0 een randpunt is van I, dan is Or een
gesloten interval met lengte r en indien x0 geen randpunt is van I dan is, voor r voldoende klein,
Or een gesloten interval met lengte 2r . Typische omgevingen worden weergegeven in Figuur
7.16.
Or
I
x0 + r
x0
(a)
Or
x0 − r
I
x0 + r
x0
(b)
Or
I
x0 − r
x0
(c)
Figuur 7.16: Omgevingen van x0 in I
Eigenschap 7.15. Als f : I → R continu is in x0 ∈ I en f (x0 ) 6= 0, dan bestaat er een omgeving
Or van x0 in I zodat f (x) voor alle punten x ∈ Or hetzelfde teken heeft als f (x0 ).
Bewijs. We formuleren het bewijs van deze eigenschap in het geval dat f (x0 ) strikt positief is.
Veronderstel, uit het ongerijmde, dat er geen omgeving van x0 in I bestaat zodat f (x) voor alle
121
Hoofdstuk 7 Convergentie van rijen en toepassingen
y
f (Or )
Or
1 x0
x
2
Figuur 7.17: Een continue functie in x0 is begrensd op een omgeving van x0
punten in deze omgeving strikt positief is. Voor elke n ∈ N0 beschouwen we de omgeving O 1 .
n
Voor elke n ∈ N0 bestaat er dan een getal rn ∈ O 1 zodat f (rn ) ≤ 0. Omdat de rij O 1
n
n n
een rij van ineenpassende gesloten intervallen is waarvan de lengte naar 0 convergeert, is x0 het
enige getal dat tot al deze omgevingen behoort en is de rij (rn )n convergent naar x0 wegens
Eigenschap 7.13. De beeldrij (f (rn )) convergeert wegens de continuïteit van f in x0 naar f (x0 ).
Omdat f (rn ) ≤ 0 voor elke n zou dan gelden
f (x0 ) = lim f (rn ) ≤ 0,
n→+∞
strijdig met de onderstelling.
Merk op dat, indien f continu is in x0 en f (x0 ) = 0, dan kan er een tekenverandering plaatsvinden
in x0 maar het kan ook zijn dat er geen tekenverandering plaatsvindt. Een voorbeeld hiervan
is de functie in Figuur 7.13(a): de functiewaarde in x0 = 0 is 0 maar er zijn geen negatieve
functiewaarden.
De functie in Figuur 7.15(b) is continu op het open interval I =]1, 2[ maar is niet begrensd op I.
De aangenomen functiewaarden worden inderdaad willekeurig groot en hebben geen bovengrens.
We zullen in Eigenschap 7.17 aantonen dat een functie wel steeds ’begrensd is op een omgeving’
van elk punt waarin ze continu is. Dit wordt geïllustreerd op Figuur 7.17: elk punt x0 ∈ I heeft
een omgeving Or in I zodat f begrensd is op Or . Eerst drukken we in de volgende definitie
precies uit wat het betekent dat ’f begrensd is op een omgeving van x0 ’.
Definitie 7.11. We zeggen dat een functie f : I → R begrensd is indien de verzameling van de
aangenomen functiewaarden
f (I) = {f (x)|x ∈ I}
122
Hoofdstuk 7 Convergentie van rijen en toepassingen
een begrensde verzameling getallen is. Als f continu is in x0 en Or is een omgeving van x0 in I,
dan zeggen we dat f begrensd is op Or indien de verzameling van de aangenomen functiewaarden
in Or
f (Or ) = {f (x)|x ∈ Or }
een begrensde verzameling getallen is.
Eigenschap 7.16. Als f : I → R continu is in x0 ∈ I, dan is f begrensd op een zekere omgeving
Or van x0 in I.
Bewijs. Omdat f continu is in x0 weten we
∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ I : |x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − f (x0 )| < ε
Passen we dit toe met ε = 1, dan bestaat er dus een δ > 0 zodat alle punten x van I die dichter
dan δ bij x0 liggen voldoen aan
|f (x) − f (x0 )| < 1
(7.4)
Kiezen we r < δ, dan liggen alle punten van de omgeving Or van x0 dichter dan δ bij x0 en dus
voldoen deze punten ook aan (7.4). Bijgevolg geldt voor deze punten
f (x0 ) − 1 < f (x) < f (x0 ) + 1
De verzameling van alle functiewaarden f (x) met x ∈ Or is dus een begrensde verzameling
getallen.
Indien de functie f : I → R niet continu is in een punt x0 ∈ I, dan is f niet noodzakelijk begrensd
op alle omgevingen van x0 , maar ook is het mogelijk dat f toch begrensd op elke omgeving Or
van x0 . Dit wordt geïllustreerd door de volgende voorbeelden.
Voorbeelden.
1. De functie
f : [−1, 1] → R : x 7→
1
−1
als − 1 ≤ x < 0, 5
als 0, 5 ≤ x ≤ 1
waarvan de grafiek afgebeeld is in Figuur 7.18(a), is niet continu in 0,5. Toch is f begrensd
op elke omgeving Or van x0 = 0,5.
2. De functie f , waarvan de grafiek afgebeeld is in Figuur 7.18(b), is niet continu in x0 . Deze
functie is niet begrensd op om het even welke omgeving Or van x0 .
De functie f in Figuur 7.18(b) bereikt op het gesloten interval Or wel een kleinste functiewaarde
maar geen grootste functiewaarde. Dit is te wijten aan het feit dat f niet continu is in elk punt
van Or . In de volgende belangrijke stelling tonen we inderdaad aan dat elke functie die continu
is op een interval een kleinste en grootste functiewaarde bereikt.
Stelling 7.3. Als a < b en als f : [a, b] → R continu is, dan bereikt f op [a, b] een maximale en
minimale waarde.
123
Hoofdstuk 7 Convergentie van rijen en toepassingen
y
y
y = f (x )
1
1
Or
x0
x
−1
y = f (x )
f (x0 )
Or
x0
−1
(a)
x
(b)
Figuur 7.18: Begrensdheid van een discontinue functie
Bewijs. We bewijzen eerst, uit het ongerijmde, dat de verzameling f ([a, b]) van alle functiewaarden f (x) met x ∈ [a, b] een begrensde verzameling is. Onderstel daarom dat de verzameling
f ([a, b]) van de functiewaarden niet begrensd is. Stel l = b − a de lengte van [a, b]. We
vertrekken van het interval [a1 , b1 ] = [a, b] en construeren een rij van ineenpassende gesloten
intervallen ([an , bn ])n door uit elk interval in de rij op geschikte wijze één van de twee helften te
kiezen. Veronderstel dat gesloten intervallen [a1 , b1 ], ], [a2 , b2 ], . . . , [an−1 , bn−1 ] reeds gekozen
zijn zodat
l
bn−1 − an−1 = n−2
2
en
f is niet begrensd op [an−1 , bn−1 ]
Beschouw het midden mn−1 van het interval [an−1 , bn−1 ]. Als f begrensd zou zijn op de twee
helften [an−1 , mn−1 ] en [mn−1 , bn−1 ], dan zou f ook begrensd zijn op [an−1 , bn−1 ], strijdig met
de constructie. Bijgevolg is f niet begrensd op minstens één van de helften [an−1 , mn−1 ] en
[mn−1 , bn−1 ]. We kiezen voor het volgende interval [an , bn ] in de rij een helft van [an−1 , bn−1 ]
zodat f niet begrensd is op deze helft. Zo wordt bij elk volgend interval in de rij de lengte
gehalveerd en gelden dus bij constructie
bn − an =
l
2n−1
en
f is niet begrensd op [an , bn ]
voor elke n ∈ N0 . De rij ([an , bn ])n is een rij van ineenpassende gesloten intervallen waarvan de
lengte naar 0 convergeert:
l
=0
lim (bn − an ) = lim
n→+∞
n→+∞ 2n−1
124
Hoofdstuk 7 Convergentie van rijen en toepassingen
Wegens Eigenschap 7.13 bestaat er juist één getal x0 dat tot alle intervallen uit de rij behoort.
Wegens Eigenschap 7.16 heeft dit punt x0 een omgeving Or in [a, b] zodat f begrensd is op Or .
Dit levert een contradictie: nemen we namelijk n voldoende groot zodat
l
2n−1
<r
dan is het interval [an , bn ] omvat in Or . Maar f is niet begrensd op [an , bn ], dus kan f onmogelijk
begrensd zijn op Or . De beeldverzameling f ([a, b]) is dus begrensd en we hebben zo reeds
aangetoond dat elke continue functie op [a, b] begrensd is.
Wegens Stelling 7.1 heeft de verzameling van de functiewaarden f ([a, b]) een kleinste bovengrens
M. Dit getal is dus groter dan of gelijk aan alle functiewaarden uit [a, b]:
∀x ∈ [a, b] : f (x) ≤ M
We tonen nu nog dat M als functiewaarde bereikt wordt door f . Zou dit niet het geval zijn, dan
zou
∀x ∈ [a, b] : f (x) < M
en dan zou de functie
g : [a, b] → R : x 7→
1
M − f (x)
continu zijn als quotiënt met niet nulle noemer van continue functies op [a, b]. Aangezien we
reeds weten dat elke continue functie op [a, b] begrensd is, is ook g begrensd en onder andere
bestaat er dan een strikt positief getal K zodat
∀x ∈ [a, b] :
Maar dan geldt voor alle x ∈ [a, b]
1
≤K
M − f (x)
1
K
en is M − 1/K dus een bovengrens van f ([a, b]), strikt kleiner dan M. Dit is onmogelijk want
M is de kleinste bovengrens.
Analoog kan men aantonen dat het infimum van de verzameling van de functiewaarden, de
kleinste waarde is die door f bereikt wordt.
7.4
f (x) ≤ M −
Nulpunten en benaderingsmethoden
Sommige vergelijkingen, die van een bijzondere gedaante zijn, kunnen exact opgelost worden
met algebraïsche technieken. Een goed gekend voorbeeld hiervan is de vierkantsvergelijking
ax 2 + bx + c = 0
waarvan de oplossingen in een formule uitgedrukt kunnen worden. De meeste vergelijkingen
echter kunnen niet exact opgelost worden. Een voorbeeld van dergelijke vergelijking is
e−x = x
(7.5)
e−x − x = 0
(7.6)
Deze vergelijking is equivalent met
125
Hoofdstuk 7 Convergentie van rijen en toepassingen
y
3
2
1
x
x0
1
−1
−1
f (x ) = ex − x
Figuur 7.19: Grafiek van de functie f (x) = e−x − x
en de oplossingen bepalen van (7.5) komt dus neer op het bepalen van de nulpunten van de
functie met voorschrift
f (x) = e−x − x
Op de grafiek van deze functie, getekend in Figuur 7.19, zien we dat deze functie een uniek
nulpunt x0 heeft en bijgevolg is dit de unieke oplossing van de vergelijking (7.5). Zelfs al kan
deze oplossing x0 niet exact bepaald worden, voor de praktijk is het belangrijk om benaderde
waarden van x0 te kunnen vinden die x0 benaderen binnen een gegeven nauwkeurigheid. Eveneens is het belangrijk dat deze benaderingen kunnen uitgerekend worden door computers. De
numerieke analyse is de tak van de wiskunde die zich met dergelijke benaderingsmethoden bezighoudt. Dikwijls gaat het om benaderingsmethoden die ‘iteratief’ en ‘algoritmisch’ zijn: een
vaste procedure wordt herhaaldelijk toegepast om telkens uit een vorige benadering de volgende
benadering te bepalen die hopelijk dichter bij de gezochte oplossing ligt. Interessant is het te
weten onder welke voorwaarden een benaderingsmethode ‘convergeert’, dat wil zeggen dat de
methode een rij van benaderingen genereert die convergeert naar de gezochte oplossing.
De numerieke analyse valt buiten deze cursus maar in dit hoofdstuk zullen we toch enkele zeer
eenvoudige benaderingsmethoden behandelen. Deze zullen ons inzage geven in enkele bijkomende
en zeer belangrijke eigenschappen van continue functies waaronder de ‘tussenwaardestelling.’
We zullen het belangrijke resultaat bewijzen dat elke continue functie minstens één nulpunt heeft
tussen a en b als f (a) en f (b) verschillend teken hebben. Het is belangrijk op te merken dat
een continue functie tussen a en b meerdere nulpunten kan hebben, zelfs oneindig veel zoals in
Figuur 7.20.
Stelling 7.4. Als a < b en als f : [a, b] → R continu is, en indien f (a)f (b) < 0 (dit wil zeggen
dat f (a) en f (b) een verschillend teken hebben), dan bestaat er minstens één punt c ∈]a, b[
met f (c) = 0.
Bewijs. Stel l = b − a. Onderstel, uit het ongerijmde, dat f (x) 6= 0 voor alle x ∈]a, b[. We
126
Hoofdstuk 7 Convergentie van rijen en toepassingen
b
a
x
y = f (x )
Figuur 7.20: Een continue functie met oneindig veel nulpunten
construeren een rij ([an , bn ])n van ineenpassende gesloten intervallen met de eigenschappen
bn − an =
l
2n−1
en
f (an )f (bn ) < 0
De tweede voorwaarde drukt uit dat f (an ) en f (bn ) niet nul zijn en een verschillend teken hebben.
Als we [a1 , b1 ] = [a, b] stellen, dan zijn beide voorwaarden duidelijk voldaan. Veronderstel dat
reeds intervallen
[a1 , b1 ], [a2 , b2 ], [a3 , b3 ], . . . , [an−1 , bn−1 ]
gekozen zijn die alle voldoen aan de twee eigenschappen. Het midden mn−1 van [an−1 , bn−1 ]
voldoet aan f (mn−1 ) 6= 0. Afhankelijk van het teken van f (mn−1 ) kiezen we voor [an , bn ] die
helft van [an−1 , bn−1 ] zodat f (an ) en f (bn ) een verschillend teken hebben. Dan is ook de eerste
voorwaarde voldaan want
bn − an =
1
1 l
l
(bn−1 − an−1 ) =
= n−1
n−2
2
22
2
De rij ([an , bn ])n is een rij van ineenpassende gesloten intervallen waarbij de rij van lengtes van de
intervallen naar 0 convergeert. Wegens Eigenschap 7.13 bestaat er een uniek punt c dat tot elk
van de intervallen [an , bn ] behoort. Wegens de onderstelling is f (c) 6= 0 en wegens Eigenschap
7.15 bestaat er een omgeving Or van c in [a, b] zodat f een vast teken heeft op Or . Maar als
n voldoende groot genomen wordt zodat
l
2n−1
<r
dan is [an , bn ] omvat in Or . Dan kan f onmogelijk een vast teken hebben op Or want f (an ) en
f (bn ) hebben een verschillend teken.
Een onmiddellijk gevolg van Stelling 7.4 is de zgn. ‘tussenwaardestelling voor continue functies’.
Stelling 7.5. Tussenwaardestelling voor continue functies Indien a < b en als f : [a, b] → R
continu is, dan wordt elk getal tussen f (a) en f (b) door f aangenomen als functiewaarde.
Bewijs. Als f (a) = f (b) dan is er niets te bewijzen. We bewijzen het resultaat nu in het geval
dat f (a) 6= f (b) en veronderstellen dat bijvoorbeeld f (a) < f (b). Neem een reëel getal γ dat
strikt gelegen is tussen f (a) en f (b). De functie g : [a, b] → R gedefinieerd door
g(x) = f (x) − γ
127
Hoofdstuk 7 Convergentie van rijen en toepassingen
y
f (b)
y = f (x )
γ
f (a)
x
a
c b
Figuur 7.21: De tussenwaardestelling voor continue functies
is continu op [a, b] en heeft functiewaarden g(a) = f (a) − γ en g(b) = f (b) − γ in a en b die
verschillen van teken. Wegens Stelling 7.4 bestaat er een nulpunt c van g tussen a en b. Maar
g(c) = 0
betekent
f (c) = γ
en f neemt dus het getal γ als functiewaarde aan op [a, b].
De bisectiemethode
De techniek die in het bewijs van Eigenschap 7.20 gebruikt werd is de basis voor de zgn. ‘bisectiemethode.’ Deze methode levert een rij (pn )n van benaderingen van een nulpunt c van een
functie f . Men veronderstelt dat men weet dat het gezochte nulpunt c ligt tussen twee eerste
benaderingen a en b waarin f een verschillend teken heeft. We nemen aan deze eerste twee
benaderingen voldoende goed zijn zodat er tussen a en b geen ander nulpunt van f buiten c
ligt. Men neemt [a, b] als eerste interval [a1 , b1 ] waarvan men weet dat het c bevat en als eerste
benadering p1 neemt men het midden van dit interval:
p1 =
a1 + b1
2
Indien f (p1 ) = 0, dan is c = p1 en is het nulpunt gevonden. Indien f (p1 ) 6= 0, dan neemt men
als tweede interval [a2 , b2 ] één van de helften van [a1 , b1 ]: men neemt precies die helft zodat f
een verschillend teken heeft in de eindpunten. De lengte van het interval wordt in deze eerste
stap gehalveerd:
l
b2 − a2 =
2
128
Hoofdstuk 7 Convergentie van rijen en toepassingen
met l = b − a. Het halveringsproces wordt iteratief verdergezet. Indien reeds door herhaalde
halvering de intervallen [a1 , b1 ], [a2 , b2 ], . . . , [an−1 , bn−1 ] gekozen zijn zodat
bn−1 − an−1 =
l
2n−2
en zodat f een verschillend teken heeft in de eindpunten,
f (an−1 ) f (bn−1 ) < 0,
dan stelt men de volgende benadering pn van het gezochte nulpunt gelijk aan het midden van
[an−1 , bn−1 ]:
an−1 + bn−1
pn =
2
Als f (pn ) = 0, dan is pn het gezochte nulpunt. We stoppen dan de procedure en stellen pk = c
voor alle k ≥ n. Indien f (pn ) 6= 0, dan neemt men als volgende interval [an , bn ] één van de
helften van [an−1 , bn−1 ]: men neemt precies die helft zodat f een verschillend teken heeft in de
eindpunten. De lengte van het interval wordt in zo gehalveerd:
bn − an =
1
1 l
l
(bn−1 − an−1 ) =
= n−1
n−2
2
22
2
Het halveringsproces wordt iteratief verdergezet. Er ontstaat zo een rij van ineenpassende
gesloten intervallen waarvan de lengte naar nul convergeert en een rij (pn )n van benaderingen
van het gezochte nulpunt c. Figuur 7.22 illustreert de methode.
De bisectiemethode heeft het voordeel dat ze een rij (pn )n oplevert die met zekerheid convergeert
naar het gezochte nulpunt c. Deze convergentie volgt uit Eigenschap 7.13. Verder heeft
de bisectiemethode de interessante eigenschap dat bij elke benadering pn een foutafschatting
beschikbaar is. Inderdaad liggen bij elke n zowel het gezochte nulpunt c als de benadering pn in
het interval [an , bn ] dat lengte l/2n−1 heeft en bijgevolg
|pn − c| ≤
l
2n−1
De secantmethode
De secantmethode is een numerieke benaderingsmethode voor nulpunten van een continue functie. Net zoals bij de bisectiemethode veronderstellen we dat twee eerste benaderingen a en b
van een nulpunt c gekend zijn, dat f (a) en f (b) een verschillend teken hebben en dat er tussen
a en b geen andere nulpunten van f liggen. Weer wordt er een rij (pn )n van opeenvolgende
benaderingen van c volgens een zekere procedure gedefinieerd. Als eerste benaderingen p0 en
p1 nemen we a en b. We beschouwen dan de rechte die (a, f (a)) en (b, f (b)) verbindt, een zgn.
’secantlijn’, en nemen als p2 het snijpunt van deze rechte met de x-as. Als f (p2 ) = 0, dan is
het nulpunt gevonden: p2 is dan het gezochte nulpunt. Als f (p2 ) 6= 0 dan zet men de rocedure
verder met de rechte door (p1 , f (p1 )) en (p2 , f (p2 )): het snijpunt van deze rechte met de x-as
nemen we als volgende benadering p3 . Als f (p3 ) = 0, dan is p3 het gezochte nulpunt en als
f (p3 ) 6= 0 zetten we de procedure verder met de rechte door (p2 , f (p2 )) en (p3 , f (p3 )).
Steeds wordt de volgende benadering pn+1 bepaald aan de hand van de vorige twee benaderingen
pn en pn−1 . We beschouwen de rechte door (pn−1 , f (pn−1 )) en (pn , f (pn )): het snijpunt van
129
Hoofdstuk 7 Convergentie van rijen en toepassingen
y = f (x )
p1
x
p3 p4 p2
a
b
Figuur 7.22: De bisectiemethode
deze rechte met de x-as nemen we als volgende benadering pn+1 . De rechte door (pn−1 , f (pn−1 ))
en (pn , f (pn )) heeft als vergelijking
y − f (pn ) =
f (pn ) − f (pn−1 )
(x − pn )
pn − pn−1
Het snijpunt met de x-as voldoet bijgevolg aan
−f (pn ) =
f (pn ) − f (pn−1 )
(x − pn )
pn − pn−1
of
x = pn −
Deze x-waarde levert de benadering pn+1 :
f (pn ) (pn − pn−1 )
f (pn ) − f (pn−1 )
pn+1 = pn −
f (pn ) (pn − pn−1 )
f (pn ) − f (pn−1 )
(7.7)
Als f (pn+1 ) = 0, dan is pn+1 het gezochte nulpunt. Als f (pn+1 ) = 0 dan zet men de procedure
verder met de rechte door (pn , f (pn )) en (pn+1 , f (pn+1 )). Zo ontstaat dus een rij van benaderingen (pn )n die men als rij van benaderingen van het nulpunt wil gebruiken.
We merken op dat, in tegenstelling tot de bisectiemethode, de secantmethode niet onvoorwaardelijk een rij van benaderingen genereert. Zo is het bijvoorbeeld mogelijk dat twee opeenvolgende benaderingen pn−1 en pn dezelfde functiewaarde hebben. In dat geval heeft de rechte door
(pn−1 , f (pn−1 )) en (pn , f (pn )) geen snijpunt met de x-as en loopt de procedure vroegtijdig af.
Behoudens deze gevallen, kan men wel onderzoeken wanneer (pn )n een rij van benaderingen is
die naar het nulpunt c convergeert. Als de secantmethode een goed gedefinieerde rij (pn )n levert
en als deze rij convergeert in R en als bovendien de rij
pn − pn−1
n→+∞ f (pn ) − f (pn−1 )
lim
convergeert in R naar een niet nul getal, dan is het gezochte nulpunt c de limiet van (pn )n .
Inderdaad, uit (7.7) volgt dan
130
Hoofdstuk 7 Convergentie van rijen en toepassingen
x
p2 p3
a = p0
b = p1
y = f (x )
Figuur 7.23: De secantmethode
pn − pn−1
n→+∞ f (pn ) − f (pn−1 )
lim pn+1 = lim pn − lim f (pn ) lim
n→+∞
n→+∞
n→+∞
en dus
lim f (pn ) = 0
n→+∞
Omdat
f
lim pn
n→+∞
is dan
f
= lim f (pn )
n→+∞
lim pn
n→+∞
=0
en bijgevolg is limn→+∞ pn het nulpunt c. De rij (pn )n bekomen met de secantmethode kan dan
gezien worden als een rij van benaderingen van het nulpunt.
Figuur 7.23 illustreert de secantmethode.
De Picard-methode
De Picard-methode is een iteratieve benaderingsmethode voor fixpunten van een continue functie. Een fixpunt van een functie f is een getal c in het domein zodat c samenvalt met de
functiewaarde van f in c, m.a.w. f (c) = c. Een fixpunt c van f laat zich herkennen door
het feit dat de grafiek van f in (c, f (c)) de eerste bissectrice snijdt. We tonen eerst de ‘Brouwer fixpuntstelling’, die voor bepaalde continue functies het bestaan van minstens een fixpunt
garandeert, en bespreken nadien de Picard-methode.
Eigenschap 7.17. Brouwer fixpuntstelling Indien f : [a, b] → [a, b] een continue functie is,
dan heeft f in [a, b] minstens één fixpunt.
Bewijs. Merk op dat de veronderstellingen onder andere impliceren dat voor elke x ∈ [a, b] ook
de functiewaarde f (x) tussen a en b ligt. Indien f (a) = a of f (b) = b, dan is a of b een fixpunt
van f en is er niets te bewijzen. We veronderstellen dus dat f (a) > a en f (b) < b. De functie
g : [a, b] → R gedefinieerd door
g(x) = f (x) − x
131
Hoofdstuk 7 Convergentie van rijen en toepassingen
is continu op [a, b] en neemt in de eindpunten a en b functiewaarden aan met een verschillend
teken:
g(a) = f (a) − a > 0 en g(b) = f (b) − b < 0
Wegens Stelling 7.4 heeft g minstens een nulpunt c in [a, b]. Dit nulpunt c van g voldoet aan
g (c) = 0
of
f (c) = c
en is dus een fixpunt van f .
De methode van Picard is een methode om een rij te construeren die convergeert naar een
fixpunt van een continue functie. Bij deze methode vertrekt men van een willekeurig punt p0
van het domein [a, b] van een continue functie f : [a, b] → R en men construeert een rij (pn )n
door elke volgende term pn+1 te definiëren als de functiewaarde van de vorige term pn ,
pn+1 = f (pn )
Deze rij is slechts goed gedefinieerd indien elke functiewaarde f (pn ) tot het domein van f
behoort, m.a.w. moet gelden
∀n ∈ N : a ≤ f (pn ) ≤ b
Indien de rij (pn )n die zo ontstaat convergeert naar een limiet x0 ∈ [a, b], dan is deze limiet een
fixpunt van f . Inderdaad volgt uit de continuïteit van f
f (x0 ) = f
lim pn = lim f (pn ) = lim pn+1 = lim pn = x0
n→+∞
n→+∞
n→+∞
n→+∞
De limiet
x0 = lim pn
n→+∞
is bijgevolg een fixpunt van f . Merk op dat het voor dit besluit geen rol speelt welk getal p0 we
als eerste benadering van het fixpunt nemen. Deze methode om een fixpunt te benaderen heet
de ’Picard-methode’.
In Figuur 7.24 werd de grafiek getekend van de functie met voorschrift f (x) = cos x op het
interval [a, b] = [0, 1]. We zien dat deze een uniek fixpunt c heeft. Dit fixpunt is het enige getal
dat gelijk is aan zijn eigen cosinus:
c = cos c
We kunnen dit fixpunt niet exact bepalen maar de methode van Picard laat wel toe dit fixpunt
te benaderen met een rij van opeenvolgende benaderingen. Op de figuur wordt als startwaarde
p0 = 0, 3 genomen. Elke volgende benadering pn+1 met de Picard-methode wordt bekomen door
van de vorige benadering pn het beeld te nemen door f :
pn+1 = cos pn
Van deze volgende benadering pn+1 wordt dan opnieuw de functiewaarde genomen en dit levert
dan weer de volgende benadering:
pn+2 = cos pn+1
Je stelt op Figuur 7.24 vast dat de methode van Picard in dit geval een rij (pn ) geeft die
convergeert naar het unieke fixpunt c van de functie cosinus. De bijgaande tabel geeft de eerste
benaderingen p0 , ... p6 van het fixpunt c. De getallen werden afgerond op drie decimalen.
132
Hoofdstuk 7 Convergentie van rijen en toepassingen
y
1
y = cos x
x
p2 p4
p0
c
p3
p11
Figuur 7.24: De Picard-methode
p0 = 0, 300
p1 = cos p0 ≈ 0, 955
p2 = cos p1 ≈ 0, 577
p3 cos p2 ≈ 0, 837
p4 cos p3 ≈ 0, 669
p5 cos p4 ≈ 0, 7840, 784
p6 cos p5 ≈ 0, 708
cos p0
cos p1
cos p2
cos p3
cos p4
cos p5
cos p6
≈ 0, 955
≈ 0, 577
≈ 0, 837
≈ 0, 669
≈ 0, 784
≈ 0, 708
≈ 0, 760
Voorbeeld. We hernemen het voorbeeld uit de inleiding van dit hoofdstuk. De rij (pn ) heeft als
startwaarde p0 = 5 en elke volgende term pn wordt berekend uit de vorige term als volgt:
p
pn = 13 + pn−1
Berekening op een rekenmachine van de eerste termen van deze recursief gedefinieerde rij laat
vermoeden dat deze rij convergeert naar een limiet in de buurt van 4, 140055. We kunnen
inderdaad aantonen dat deze rij convergeert en de exacte limiet bepalen.
De rij (pn ) is geconstrueerd volgens de Picard-methode: de startwaarde is p0 = 5 en elke
volgende term pn is de functiewaarde pn = f (pn−1 ) van de vorige term pn−1 door de functie met
voorschrift
√
f (x) = 13 + x
Deze functie heeft als domein [−13, +∞[ en haar grafiek werd getekend in Figuur 7.25. Op
deze figuur zien we dat de functie f een uniek fixpunt c heeft aangezien de grafiek juist één
snijpunt heeft met de eerste bissectrice. We tonen eerst aan dat de rij (pn ) convergeert naar c
en berekenen achteraf de exacte waarde van c.
Omdat c het fixpunt is van f valt c samen met zijn functiewaarde:
c=
√
13 + c
(7.8)
De startwaarde p0 ligt op een zekere vaste afstand d = |c − p0 | verwijderd van het fixpunt. In
het iteratief proces is de afstand van pn tot c ten hoogste de helft van de afstand van pn−1 tot
c:
133
Hoofdstuk 7 Convergentie van rijen en toepassingen
y
y=
√
13 + x
x
c
−13
Figuur 7.25: De Picard-methode
√
√
|c − pn | = | 13 + c − 13 + pn−1 |
|c − pn−1 |
√
13 + c + 13 + pn−1
=
√
≤
1
√ |c − pn−1 |
2 13
1
|c − pn−1 |
2
Zo vinden we voor de afstand |c − pn | tussen het fixpunt c en de n-de term uit de rij van
benaderingen
≤
|c − pn | ≤
1
1
1
1
|c − pn−1 | ≤ 2 |c − pn−2 | ≤ · · · ≤ n |c − p0 | = n d
2
2
2
2
Omdat
lim
n→+∞
1
d =0
2n
geldt dan ook
lim |c − pn | = 0
n→+∞
en dit betekent dat de rij (pn ) convergeert naar het fixpunt c.
Vertrekken we nu niet noodzakelijk van de startwaarde p0 = 5 maar van een willekeurige andere
positieve startwaarde, dan levert de Picard-methode op dezelfde manier een rij die convergeert
naar het fixpunt van f .
Uit (7.8) kunnen we ook de exacte waarde van het fixpunt c bepalen:
√
c = 13 + c ⇔ c 2 = 13 + c en c ≥ 0
√
De discriminant van de vierkantsvergelijking c 2 = 13+c is 53 en c is dus gelijk aan de positieve
wortel van deze vierkantsvergelijking
√
1 + 53
≈ 4, 140054945
c=
2
Dit fixpunt wordt soms ook genoteerd als
s
r
q
p
√
13 + 13 + 13 + 13 + 13 + . . .
134
Hoofdstuk 7 Convergentie van rijen en toepassingen
7.5
Oefeningen bij Hoofdstuk 7
1. Bepaal een expliciet voorschrift van volgende rijen. Welke zijn rekenkundige rijen? Welke
zijn meetkundige rijen?
1, 3, 5, 7, . . .
1, 3, 9, 27, . . .
2, 6, 10, 14, 18, . . .
−2, 2, −2, 2, −2, . . .
1 1 1
e. 1, , , , . . .
2 3 4
1 1 1 1
f. , , , , . . .
2 √4 8 16 √
2 2
8 4
g. −
,− ,−
,− ,...
3
3
3
3
a.
b.
c.
d.
5 8 11 14
h. 2, , , , , . . .
2 3 4 5
1 1
1 1
i. 1, − , , − , , . . .
4 9 16 25
1 2 4 8 16
j. , , , , , . . .
9 12 15 18 21
1 1 1 1
k. 1, , , ,
,...
2 6 24 120
l. 0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, . . .
2. Bepaal de limiet, indien hij bestaat, van volgende rijen.
2n + 1
n+1
1
7
b. 5 −
2− 3
3n
n
a.
c.
(n + 1)4
(2n − 1)3
d. sin(2πn)
3n−1
3n − 1
(−1)n
f.
n+1
2n − 1
g.
2n
2 n
h. 1 +
n
e.
3. Toon voor een convergente rij (rn ) dat voor elke ǫ > 0 er een N ∈ N0 bestaat zodat voor
elke m, n ≥ N geldt dat |rm − rn | < ǫ.
4. Toon dat de limiet van een rij uniek is. Met andere woorden als rn → L1 en rn → L2 dan
geldt L1 = L2 .
5. Bereken de limiet van volgende rijen.
n
1
a. rn = 2 +
10
1 − 2n
b. rn =
1 + 2n
n2 − 2n + 1
c. rn =
n−1
d. rn = 1 + (−1)n
1
n+1
1−
e. rn =
2n
n
n+1
(−1)
f. rn =
2n − 1
r
2n
g. rn =
n+1
h. rn = sin
π 1
+
2
n
sin n
n
n
j. rn = n
2
ln(n + 1)
√
k. rn =
n
i. rn =
l. rn = 81/n
7 n
m. rn = 1 +
n
√
n
n. rn = 10n
135
Hoofdstuk 7 Convergentie van rijen en toepassingen
o. rn
p. rn
q. rn
r. rn
s. rn
t. rn
u. rn
1/n
3
=
n
ln n
= 1/n
n
√
n
= 4n n
n!
= n
n
= ln n − ln(n + 1)
√
n
= 32n+1
n!
= 6n
10
1/(ln n)
1
v. rn =
n
3n + 1 n
w. rn =
3n − 1
1/n
xn
x. rn =
,x > 0
2n + 1
3n 6n
2−n n!
1
n2
sin
z. rn =
2n − 1
n
y. rn =
6. Bepaal volgende limieten.
1
n
5
b. rn = cos
n
d. rn = Bgsin
a. rn = sin
c. rn = tan
n2
n
n+1
1
n
2p 2
n +7
f. rn =
n
e. rn = tan
1
+1
7. Bepaal van volgende functies, indien mogelijk, de waarde a ∈ R zodat de functie f continu
wordt.
x−1
√
x 6= 1
x− 4 x
a. f : ]0, 2[→ R : x 7→
a
x =1
5 cos x
π
4x−2π x 6= 2
b. f : R → R : x 7→
a
x = π2
1
(1 + |x|) x x 6= 0
c. f : R → R : x 7→
a
x =0
x
x 6= 0
1−2|x|
d. f : R → R : x 7→
a
x =0
2
sin 3x
x 6= 0
x2
e. f : R → R : x 7→
a
x =0
8. Bepaal voor de volgende continue functies op het aangeduide gesloten interval het maximum en het minimum zonder de afgeleide te bepalen.
a. f (x) =
2
x − 5, −2 ≤ x ≤ 3
3
b. f (x) = −x − 4, −4 ≤ x ≤ 1
2
c. f (x) = x − 1, −1 ≤ x ≤ 2
d. f (x) = 4 − x 2 , −3 ≤ x ≤ 1
e. f (x) = −
1
1
≤x ≤2
,
2
x
2
1
f. f (x) = − , −2 ≤ x ≤ −1
x
√
g. f (x) = 3 x, −1 ≤ x ≤ 8
2
h. f (x) = −3x 3 , −1 ≤ x ≤ 1
p
i. f (x) = 4 − x 2 , −2 ≤ x ≤ 1
p
√
j. f (x) = − 5 − x 2 , − 5 ≤ x ≤ 0
π
5π
k. f (x) = sin x,
≤x ≤
2
6
136
Hoofdstuk 7 Convergentie van rijen en toepassingen
l. f (x) = tan x, −
m. f (x) = csc x,
π
π
≤x ≤
3
4
2π
π
≤x ≤
3
3
π
π
≤x ≤
3
6
o. f (x) = 2 − |x|, −1 ≤ x ≤ 3
n. f (x) = sec x, −
p. f (x) = |x − 5|, 4 ≤ x ≤ 7
9. Bepaal de oplossingen van de vergelijking x 4 − 2x 3 − 4x 2 + 4x + 4 = 0 met behulp van de
bisectiemethode op volgende intervallen
a. [−2, −1]
c. [2, 3]
b. [0, 2]
d. [−1, 0]
10. Gebruik de bisectiemethode om een oplossing te vinden van de vergelijking x = tan x tot
op 2 decimalen nauwkeurig op het interval [4, 4.5]
11. Gebruik de bisectiemethode om oplossingen van volgende vergelijkingen te vinden.
a. x − 2−x = 0
b.
ex
c.
ex
+
2−x
−
x2
0≤x ≤1
cos x − 6 = 0
+ 3x − 2 = 0
1≤x ≤2
0≤x ≤1
137
Hoofdstuk 7 Convergentie van rijen en toepassingen
12. Vind een benadering tot op 4 decimalen nauwkeurig voor volgende uitdrukkingen met de
bisectiemethode.
√
√
b. 3
a. 3 25
13. Gebruik de secantmethode om de wortels van volgende vergelijkingen te benaderen tot op
4 decimalen nauwkeurig in het gegeven interval.
a. x 3 − 2x 2 − 5 = 0,
b.
x3
+
3x 2
[1, 4]
− 1 = 0,
[−4, 0]
π
c. x − 0,8 − 0, 2 sin x = 0,
0, 2
14. Voor welke x-waarde snijdt de grafiek van cos x de eerste bissectrice? Benader tot op 4
decimalen nauwkeurig.
a. Herhaal de vraag met e x en de tweede bissectrice.
b. Herhaal de vraag met e x en de rechte 1 − x.
138