Transcript บทที่3 Simplex_2

บทที่ 3
กำหนดกำรเชิงเส้น : กำรแก้ปัญหำด้วยวิธีซิมเพล็กซ์
(Simplex Method) (ต่อ)
Operations Research โดย อ. สุ รินทร์ทิพ ศักดิ์ภูวดล
1
กำรแก้ปัญหำกรณี หำค่ำต่ำสุ ด
แนวทางที่ 1 การดาเนินการเหมือนวิธีหาค่ าสูงสุด แต่ พยายามหาตัว
แปรเปลี่ยนที่ทาให้ ค่าสมการเป้าหมายลดลงเร็วที่สุด การพิจารณาค่ า
ต่าสุดคือ ดูว่าสัมประสิทธิ์ C1,C2,C3 ในตารางว่ ามีค่าเป็ น ลบ และ 0
หมดรึยัง ถ้ ายังมีค่าบวกอยู่เราก็ดาเนินการจนกว่ าจะได้ ค่าต่าสุด
2
จงหาค่ าต่าสุดของ Z = -3X1-2X2+5X3
ข้ อจากัด
X1+2X2+X3 <=430
3X1 +2X3 <= 450
X1+4X2
<= 420
X1,X2,X3
>= 0
1) รู ปแบบสมการขยายคือ
Z+3X1+2X2-5X3
=0
X1+2X2+X3 + X4
= 430
3X1 +2X3
+ X5
= 450
X1+4X2
+ X6 = 420
3
ตารางผลลัพธ์ เบือ้ งต้ น
ตัวแปร
มูลฐาน
Z
Z
X1
X2
X3
X4
X5
X6
b
1
3
2
-5
0
0
0
0
X4
X5
X6
0
0
0
1
3
1
2
0
4
1
2
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
อัตราส่วน
430 430/1
450 450/3 ***
420 420/1
2) ให้ X1, X2, X3 = 0, Z=0 , X4 = 430, X5=450, X6=420
3) สัมประสิทธิ์จากสมการเป้าหมายยังเป็ น +
4) ตัวแปรเพิ่ ม (ตัวแปรเข้า) เลือกค่า X1 หรื อ X2 หรื อ X3 ทีเ่ ป็ นค่า + มากทีส่ ดุ ดังนัน้ ตัวแปรเข้าคือ X1
ตัวแปรลด (ตัวแปรออก) เลือกอัตราส่วนที่น้อยที่สดุ คือ 450/3 ดังนันตั
้ วแปรออกคือ X5
สัมประสิทธิ์ของจุดหมุนคือ 3
4
ตารางผลลัพธ์รอบที่ 1
ตัวแปร
มูลฐาน
Z
X1
X2
X3
X4
X5
Z
1
0
2
-7
0
-1
0 -450
X4
X1
X6
0
0
0
0
1
0
2
0
4
1/3
2/3
-2/3
1
0
0
-1/3
1/3
-1/3
0
0
1
X6
b
อัตราส่วน
280 280/2
150
270 270/4***
3) สัมประสิทธิ์จากสมการเป้าหมายยังเป็ น + ยังต้ องดาเนินการต่ อไป
4) ตัวแปรเพิม่ (ตัวแปรเข้ า) เลือกค่ า X2ทีเ่ ป็ นค่ า + มากทีส่ ุด ดังนั้นตัวแปรเข้ าคือ X2
ตัวแปรลด (ตัวแปรออก) เลือกอัตราส่วนที่น้อยที่สดุ คือ 270/4 ดังนันตั
้ วแปรออกคือ X6
สัมประสิทธิ์ของจุดหมุนคือ 4
5
ตารางผลลัพธ์รอบที่ 2
ตัวแปร
มูลฐาน
Z
X1
Z
1
0
X4
X1
X2
0
0
0
0
1
0
X2
X3
X5
0 -20/3
0
-5/6
0
0
1
1
0
0
-1/6 -1/2 145
1/3
0 150
-1/12 1/4 67.5
2/3
2/3
-1/6
X6
b
X4
-1/2 -585
ผลลัพธ์คือ X1 = 150, X2=67.5, X3=0, X4 = 145, X5=0, X6=0
และค่าต่าสุดของ Z คือ = -585
จากตาราง ค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปรในสมการเป้าหมายในตารางเป็ น 0 และ – ผลลัพธ์ที่ได้ คือ
คาตอบที่ต้องการ
6
Big-M Method
กรณี การใช้ วิธี Simplex ธรรมดาไม่สามารถหาผลลัพธ์ได้ จาเป็ นที่จะต้ อง
ใช้ วิธีอื่นเช่น Big-M Method หรื อ Two-phase Method
ขัน้ ตอนของ Big-M Method มีดังนี ้
ขัน้ ที่ 1 เขียนรูปแบบปั ญหาเดิมให้ อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน คือ เขียน
ข้ อจากัดให้ อยู่ในรูปสมการที่สมมูลกัน
ขัน้ ที่ 2 เติมตัวแปรเทียม (R) เข้ าทางซ้ ายของสมการที่ได้ จาก
ข้ อจากัดเดิม ซึ่งอยู่ในรูป >= หรือ = , และ R >= 0
7
ขัน้ ที่ 3 กาหนดค่ า M ที่เป็ นบวก และมีค่ามากๆให้ เป็ นสัมประสิทธิ์
ของ R ในสมการเป้าหมาย
ถ้ าสมการเป้าหมายต้ องการค่ าสูงสุด จะกาหนด (+M) เท่ าของ R
ในทางซ้ ายของสมการเป้าหมาย
ถ้ าสมการเป้าหมายต้ องการค่ าต่าสุด จะกาหนด (-M) เท่ าของ R
ในทางซ้ ายของสมการเป้าหมาย
ขัน้ ที่ 4 ให้ ตัวแปรเทียม(R) เป็ นคาตอบมูลฐานเริ่มต้ นที่เป็ นไปได้
และในสมการเป้าหมายมีตวั แปรเทียมอยู่ ต้ องทาสัมประสิทธิ์
ของ R ในสมการเป้าหมาย 0 แล้ วจึงสร้ างตาราง Simplex เริ่มต้ น
8
ขัน้ ที่ 5 พิจารณาตัวแปรเข้ า และตัวแปรออก เพื่อปรับปรุ งค่ าของตัว
แปรให้ ได้ ผลตามเป้าหมาย โดยใช้ หลักการ Simplex
9
ตัวแปรเพิ่มใน Simplex Method
รู ปสมการหรื ออสมการ
ตัวแปรเพิ่ม
<=
>=
=
+S
-S+R
+R
S = slack variable (ตัวแปรขาด)
R = artificial variable (ตัวแปรเทียม)
10
หลักการหาคาตอบ
ในการแก้ ปัญหากาหนดการเชิงเส้ นที่อาศัยตัวแปรเทียม (Artificial Variables
:R) เป็ นคาตอบเริ่มต้ นนัน้ ถ้ าปั ญหานัน้ มีคาตอบ ค่ าตัวแปรเทียม(R)ใน
ตารางสุดท้ ายของ Simplex จะเป็ น 0 เสมอ และถ้ าค่ าตัวแปรเทียม(R)ไม่ เป็ น
0 แสดงว่ าปั ญหานัน้ ไม่ มีคาตอบ เพราะข้ อจากัดบางข้ อจากัดไม่ เป็ นจริง
การหาค่ าสูงสุด(Maximize) จะได้ คาตอบที่ดีท่ สี ุดเมื่อ
สัมประสิทธิ์ตัวแปรเปลี่ยน (Decision variable) และตัวแปรขาด(slack
variable) จากสมการเป้าหมาย จะต้ องมีค่าเป็ น บวก หรื อ 0
การหาค่ าต่าสุด(Minimize) จะได้ คาตอบที่ดีท่ สี ุดเมื่อ
สัมประสิทธิ์ตัวแปรเปลี่ยน (Decision variable) และตัวแปรขาด(slack
variable) จากสมการเป้าหมาย จะต้ องมีค่าเป็ น ลบ หรื อ 0
สาหรั บตัวแปรเทียมเมื่อออกจากการเป็ นตัวแปรมูลฐานแล้ ว จะไม่
มีการพิจารณาเข้ าเป็ นตัวแปรมูลฐานอีก
11

จงหำค่ำสูงสุ ดของ
ข้อจำกัด X1
Z= 3X1 +5X2
<=4
2X2 <= 12
3X1 + 2X2 = 18
X1,X2 >=0
12
ขัน้ ที่ 1 เขียนสมการให้ อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน
สมการขยาย
Z- 3X1 - 5X2
X1
+S1
2X2 +S2
3X1 + 2X2
X1,X2 >=0, S1,S2>=0
=0
=4
= 12
= 18
ขัน้ ที่ 2 ให้ R >= 0 บวกเข้ าทางซ้ ายของสมการข้ อจากัด จะได้
3X1 + 2X2 + R
= 18
13
ขัน้ ที่ 3 ถ้ าสมการเป้าหมายต้ องการค่ าสูงสุด จะกาหนด (+M) เท่ า
ของ R ในทางซ้ ายของสมการเป้าหมาย
เปลี่ยนสมการเป้าหมายการหาค่าสูงสุดของของ Z- 3X1 -5X2= 0
เป็ น Z- 3X1 -5X2 + MR =0 เมื่อ M เป็ นค่าบวกมากๆ ดังนันค่
้ าสูงสุดของ Z จะมีได้ ก็ต่อเมื่อ R=0
จะได้
สมการขยาย Z- 3X1 -5X2
+MR = 0
X1
+S1
=4
2X2 +S2
= 12
3X1 + 2X2
+R = 18
X1,X2 >=0, S1,S2>=0, R>=0
14
ขัน้ ที่ 4 คาตอบมูลฐานเริ่มต้ นที่เป็ นไปได้ คือ (X1,X2,S1,S2,R)=(0,0,4,12,18)
โดยที่ตัวแปรเดิม X1,X2 เป็ น 0 และ S1,S2,R เป็ นตัวแปรมูลฐานเริ่มต้ น
จากนัน้ ทาสัมประสิทธิ์ของ R ในสมการเป้าหมายเป็ น 0 โดย
แทนค่ า R= 18-3X1-2X2 ในสมการเป้าหมาย
จะได้
Z- 3X1-5X2+M(18-3X1-2X2)
=0
Z- 3X1-5X2+18M-3MX1-2MX2 = 0
Z-(3M+3)X1-(2M+5)X2 = -18M
ดังนัน้
สมการขยาย Z-(3M+3)X1-(2M+5)X2
= -18M
X1
+S1
=4
2X2 +S2
= 12
3X1 + 2X2
+R = 18
15
ขัน้ ที่ 5 สร้ างตาราง Simplex เริ่มต้ น (ตารางผลลัพธ์ เบือ้ งต้ น)
ตัวแปร
มูลฐาน
Z
Z
S1
S2
R
0
0
0
1
X1
b
X2
S1
S2
-3M-3 -2M-5
0
0
0 -18M
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
0
3
0
2
2
R
อัตราส่วน
4 4/1= 4 ***
12 18 18/3 = 6
16
สร้ างตารางผลลัพธ์ รอบที่ 1
ตัวแปร
มูลฐาน
Z
Z
X1
1
0
-2M-5
X1
S2
R
0
0
0
1
0
0
0
2
2
X2
S1
S2
b
R
3M+3 0
0
-6M+12
1
0
-3
0
0
1
4
12
6
0
1
0
อัตราส่วน
12/2=6
6/2=3 ***
17
สร้ างตารางผลลัพธ์ รอบที่ 2
ตัวแปร
มูลฐาน
Z
Z
X1
X2
S1
1
0
0
-9/2 0
X1
S2
X2
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
3
-3/2
S2
0
1
0
R
b
M+5/2
27
0
-1
1/2
4
6
3
อัตราส่วน
4/1 = 4
6/3 = 2***
-
18
สร้ างตารางผลลัพธ์ รอบที่ 3
ตัวแปร
มูลฐาน
Z
Z
X1
X2
S1
1
0
0
0
X1
S1
X2
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
1
0
R
b
3/2
M+1
36
-1/3
1/3
1/2
1/3
-1/3
0
2
2
6
S2
เมื่อพิจารณาสัมประสิทธิ์ตัวแปรเปลี่ยน (Decision variable) และตัว
แปรขาด(slack variable) มีค่าเป็ น บวก หรื อ 0 ทุกตัว
ผลลัพธ์ คอื X1=2, X2=6, S1=2, S2=0, R=0 และ Z=36
19
จงหำค่ำต่ำสุ ดของ
Z
ข้อจำกัด 3X1 +X2
= 4X1 +X2
=3
4X1 +3X2 >= 6
X1 +2X2 <= 3
X1,X2 >=0
20
ขัน้ ที่ 1 เขียนสมการให้ อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน
สมการขยาย Z -4X1 - X2
=0
3X1 + X2
=3
4X1 + 3X2 – S1 = 6
X1 + 2X2 +S2 = 3
X1,X2
>= 0
S1,S2
>= 0
ขัน้ ที่ 2 ให้ R1,R2 >= 0 บวกเข้ าทางซ้ ายของสมการข้ อจากัด จะได้
3X1 +X2
+R1
=3
4X1 +3X2 – S1
+R2 = 6
21
ขัน้ ที่ 3 ถ้ าสมการเป้าหมายต้ องการค่ าต่าสุด จะกาหนด (-M) เท่ า
ของ R ในทางซ้ ายของสมการเป้าหมาย
เปลี่ยนสมการเป้าหมายการหาค่าต่าสุดของ Z -4X1 - X2
=0
เป็ น Z -4X1 - X2 -MR1-MR2 = 0
เมื่อ M เป็ นค่าบวกมากๆ
จะได้ สมการขยาย
Z -4X1 - X2
-MR1-MR2 = 0
3X1 +X2
+R1
=3
4X1 +3X2 – S1
+R2 = 6
X1 +2X2 +S2
=3
X1,X2
>= 0
S1,S2
>= 0
R1,R2
>= 0
22
ขัน้ ที่ 4 คาตอบมูลฐานเริ่มต้ นที่เป็ นไปได้ คือ (X1,X2,S1,R1,R2,S2)=(0,0,0,3,6,3)
จากนัน้ ทาสัมประสิทธิ์ของ R ในสมการเป้าหมายเป็ น 0 โดย
แทนค่ า R1 = 3-3X1-X2
จาก
R2 = 6 - 4X1 -3X2 + S1 ในสมการเป้าหมาย
Z -4X1 - X2 -MR1-MR2 = 0
จะได้ Z -4X1 - X2 -M(3-3X1-X2 ) -M(6 - 4X1 -3X2 + S1) = 0
Z- 4X1-X2-3M+3MX1+MX2 -6M + 4MX1+3MX2-MS1 = 0
Z+(7M-4)X1+(4M-1)X2-MS1 = 9M
23
ดังนัน้ จะได้ สมการขยายดังนี ้
Z+(7M-4)X1+(4M-1)X2-MS1
= 9M
3X1 +X2
+R1
=3
4X1 +3X2
– S1 +R2 = 6
X1 +2X2
+S2 = 3
24
ขัน้ ที่ 5 สร้ างตาราง Simplex เริ่มต้ น (ตารางผลลัพธ์ เบือ้ งต้ น)
ตัวแปร
มูลฐาน
Z
Z
R1
R2
S2
0
0
0
1
X2
S1
R1 R2 S2
b
7M-4 4M-1
-M
0
0
9M
0
-1
0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
3
6
3
X1
3
4
1
1
3
2
0
อัตราส่วน
3/3= 1 ***
6/4
3
25
สร้ างตารางผลลัพธ์ รอบที่ 1
ตัวแปร Z
มูลฐาน
X1
X2
S1
R1
Z
1
0 (5M+1)/3 -M (4-7M)/3 0
X1
R2
S2
0
0
0
1
0
0
1/3
5/3
5/3
0
-1
0
1/3
-4/3
-1/3
b
R2 S2
0
1
0
0
4+2M
0
0
1
1
2
2
อัตรา
ส่วน
3
6/5 ***
6/5
26
สร้ างตารางผลลัพธ์ รอบที่ 2
ตัวแปร Z X1
มูลฐาน
X2
S1
R1
R2
S2
b
Z
1
0
0
1/5 8/5-M -1/5-M 0
18/5
X1
X2
S2
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1/5 3/5
-3/5 -4/5
1 1
3/5
6/5
0
-1/5
3/5
-1
0
0
1
อัตรา
ส่วน
3
0***
27
สร้ างตารางผลลัพธ์ รอบที่ 3
ตัวแปร Z X1
มูลฐาน
X2
S1
R1
R2
S2
b
Z
1
0
0
0 7/5-M
-M
-1/5
18/5
X1
X2
S1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0 2/5
0 -1/5
1 1
0
0
-1
-1/5
3/5
1
3/5
6/5
0
พิจารณา สัมประสิทธิ์ตัวแปรเปลี่ยน (Decision variable) และตัวแปรขาด(slack variable)
จะต้ องมีค่าเป็ น ลบ และ 0 ทุกตัว
ผลลัพธ์ คือ X1= 3/5, X2= 6/5, S1=0, S2=0, R1=0, R2=0, Z=18/5
28