Transcript Géométrie des figures planes - École Secondaire du Mont

Mathématiques CST
Géométrie des
FIGURES PLANES
Réalisé par : Sébastien Lachance
Mathématiques CST
- Géométrie des figures planes  Révision des principales formules
A) Aires de triangles
A) Aires de triangles
bh
A 
2
a  b  sin C
A 
2
Formule de Héron
A  p( p  a)(p  b)(p  c )
(où p est le ½-périmètre du triangle)
B) Aires de quadrilatères
Rectangle
Arectangle  b  h
Carré
Acarré  c2
B) Aires de quadrilatères
Parallélogramme
Aparallélogramme  b  h
Trapèze
Atrapèze 
(B  b )  h
2
B) Aires de quadrilatères
Losange
A losange 
Dd
2
Cerf-volant
A cerf -volant
Dd

2
C) Aires de polygones (à n côtés)
Apolygone régulier
D) Aires de disques
Adisque  r 2
n c a

2
E) Relation de Pythagore
c 2  a2  b2
Les triangles rectangle se
retrouvent aussi à l’intérieur des
pyramides ou des cônes… !
F) Relations métriques (dans les triangles rectangles)
Hauteur relative à l’hypothénuse
h2  c1  c2
F) Relations métriques (dans les triangles rectangles)
Mesure des cathètes
a 2  c1  c
b2  c2  c
a b ch
G) Rapports trigonométriques (dans les triangles rectangles)
sinus A 
mesure du côté opposé à  A
mesure de l’hypoténuse
ou sin A 
a
c
cosinus A 
mesure du côté adjacent à  A
mesure de l’hypoténuse
ou cos A 
b
c
tangenteA 
mesure du côté opposé à  A
mesure du côté adjacent à  A
ou tan A 
a
b
ou tan A 
sin A
cos A
H) Loi des sinus (dans tous les triangles)
C
b
a
B
c
a  b  c
sin A sin B sin C

A
Mathématiques CST
- Géométrie des figures planes  Figures planes équivalentes
Deux figures planes sont équivalentes si elles ont la même aire.
Ex. :
A
D
A
4 cm
2 cm
B
B
A =
A =
A =
3 cm
bxh
2
3x4
2
6 cm2
C
3 cm
A =
bxh
A =
3x2
A =
6 cm2
C
Donc le triangle
ABC et le
rectangle ABCD
sont équivalents.
Exercice : Quelle est la mesure de la grande diagonale du losange ABCD si celui-ci
est équivalent au cerf-volant EFGH ?
E
A
8 cm
13 cm
B
D
4 cm
15 cm
F
G
4 cm
13 cm
C
H
?
Figures équivalentes

Acerf-volant
Alosange = Acerf-volant
Acerf-volant = AEFG + AFGH
AEFG =
p (p – a) (p – b) (p – c)
AEFG =
16 (16 – 4) (16 – 13) (16 – 15)
AEFG =
16 (12) (3) (1)
(formule de Héron où p
est le ½-périmètre)
AEFG = 24 cm2
Comme
Donc
AEFG = AFGH , alors
AFGH = 24 cm2
Acerf-volant = AEFG + AFGH
Acerf-volant = 24 + 24 = 48 cm2
Exercice : Quelle est la mesure de la grande diagonale du losange ABCD si celui-ci
est équivalent au cerf-volant EFGH ?
E
A
8 cm
13 cm
B
D
F
4 cm
15 cm
G
4 cm
13 cm
C
H
?
Figures équivalentes

Dlosange
Alosange =
48 =
Alosange = Acerf-volant
Dxd
2
Dx8
2
96 =
Dx8
12 =
D
Réponse : La grande diagonale
mesure 12 cm.
Mathématiques CST
- Géométrie des figures planes  Propriétés des figures planes équivalentes
De tous les polygones équivalents à n côtés, c’est le polygone
régulier qui a le plus petit périmètre.
Ex. #1 : Parmi ces triangles équivalents, c’est le triangle équilatéral qui a le
plus petit périmètre.
Mathématiques CST
- Géométrie des figures planes  Propriétés des figures planes équivalentes
De tous les polygones équivalents à n côtés, c’est le polygone
régulier qui a le plus petit périmètre.
Ex. #2 : Parmi ces quadrilatères équivalents, c’est le carré qui a le plus petit
périmètre.
Mathématiques CST
- Géométrie des figures planes  Propriétés des figures planes équivalentes
De tous les polygones réguliers équivalents, c’est le polygone
qui a le plus petit côté qui a le plus petit périmètre.
À la limite, c’est le disque équivalent qui a le plus petit
périmètre.
Ex. : Parmi ces polygones réguliers équivalents, c’est l’hexagone qui a le
plus petit périmètre.
Mathématiques CST
- Géométrie des figures planes  Transformations dans le plan cartésien
A) Translation
On note t(a, b) la translation qui applique un déplacement de :
a unités horizontalement
b unités verticalement
Donc pour chaque point P (x, y) , l’image devient P’ (x + a, y + b) pour
une translation t(a, b) .
t (a, b) :
P (x, y)
P’ (x + a, y + b)
Exemple #1 : t(2. 5)
2 unités horizontalement (vers la droite)
5 unités verticalement (vers le haut)
O’ (2, 5)
A’ (-3, 3)
+5
+5 1
+2
+2
O1 (0, 0)
A (-5, -2)
O’ est l’image de O.
O (0, 0)
A’ est l’image de A.
A (-5, -2)
O’ (0 + 2, 0 + 5)
A’ (-5 + 2, -2 + 5)
O’ (2, 5)
A’ (-3, 3)
Exemple #2 : Où se retrouve le triangle ABC suite à la translation t(-3, 2) ?
A’ (-5, 6)
+2
A (-2, 4)
-3
B’ (-5, 0)
+2
1
-3
+2
B (-2, -2)
t (-3, 2) :
A (-2, 4)
B (-2, -2)
C (3, -2)
C’ (0, 0)
1
-3
C (3, -2)
A’ (-2 – 3, 4 + 2)
B’ (-2 – 3, -2 + 2)
C’ (3 – 3, -2 + 2)
A’ (-5, 6)
B’ (-5, 0)
C’ (0, 0)
Exemple #3 : Trouver l’image du quadrilatère ABCD si on lui applique une
translation t(7, -5) .
A (3, 5) + 7
+7
B (4, 2)
A’ (10, 0)
1
D (-2, -2)
-5
-5
1+ 7
B’ (11, -3)
+7
-5
C (3, -4)
D’ (5, -7)
-5
C’ (10, -9)
t (7, -5) :
A (3, 5)
B (4, 2)
C (3, -4)
D (-2, -2)
A’ (3 + 7, 5 – 5)
B’ (4 + 7, 2 – 5)
C’ (3 + 7, 4 – 5)
D’ (-2 + 7, -2 – 5)
A’ (10, 0)
B’ (11, -3)
C’ (10, -9)
D’ (5, -7)
Exemple #4 : Le triangle A’B’C’ a subi une translation t(-3, -2). Quelles
étaient les coordonnées du triangle ABC ?
A (-2, 4)
A’ (-5, 2)
+2
+3
1
1
B (-2, -2)
+2
+3
B’ (-5, -4)
t-1(3, 2) :
A’ (-5, 2)
B’ (-5, -4)
C’ (0, -4)
C (3, -2)
+3
+2
C’ (0, -4)
A (-5 + 3, 2 + 2)
B (-5 + 3, -4 + 2)
C (0 + 3, -4 + 2)
A (-2, 4)
B (-2, -2)
C (3, -2)
Mathématiques CST
- Géométrie des figures planes B) Réflexion (ou symétrie)
On note sx la réflexion par rapport à l’axe des abscisses (ou « x »).
Pour chaque point P (x, y) , l’image par sx devient P’ (x, - y).
sx :
P (x, y)
P’ (x, - y)
Exemple : sx
A (2, 3)
1
1
A’ (2, -3)
sx :
A (2, 3)
A’ (2, -3)
On note sy la réflexion par rapport à l’axe des ordonnées (ou « y »).
Pour chaque point P (x, y) , l’image par sy devient P’ (- x, y).
sy :
P (x, y)
P’ (- x, y)
Exemple : sy
sy :
A (2, 3)
A’ (-2, 3)
A’ (-2, 3)
A (2, 3)
1
1
Exemple : Trouver l’image du quadrilatère ABCD si on lui applique une
réflexion sy .
B’
B
A’
A
C’
C
D’
D
1
1
sy :
A (-2, 6)
B (2, 9)
C (6, 4)
D (5, 1)
A’ (2, 6)
B’ (-2, 9)
C’ (-6, 4)
D’ (-5, 1)
Mathématiques CST
- Géométrie des figures planes C) Homothétie
On note h(O, k) l’homothétie de centrée à l’origine O et de rapport k.
Pour chaque point P (x, y) , l’image par h(O, k) devient
P’ (kx, ky).
h(O, k) : P (x, y)
P’ (kx, ky)
Exemple #1 : Trouver l’image du triangle ABC si on lui applique une
homothétie h(O, 2) .
B’
B
A’
1
A
C
C’
1
h(O, 2) :
A (2, 1)
B (2, 5)
C (4, 1)
A’ (2 x 2, 2 x 1)
B’ (2 x 2, 2 x 5)
C’ (2 x 4, 2 x 1)
A’ (4, 2)
B’ (4, 10)
C’ (8, 2)
Exemple #2 : Trouver l’image du triangle ABC si on lui applique une
homothétie h(O, ½) .
B
B’
1
A
A’
1
C’
C
h(O, ½) :
A (-8, -2)
B (-2, 10)
C (6, -6)
A’ (½ x -8, ½ x -2)
B’ (½ x -2, ½ x 10)
C’ (½ x 6, ½ x -6)
A’ (-4, -1)
B’ (-1, 5)
C’ (3, -3)
Mathématiques CST
- Géométrie des figures planes D) Rotations (autour de l’origine O)
Rotation de 90o
Pour chaque point P (x, y) , l’image par r(O, 90o) devient P’ (- y, x).
r(O, 90o) : P (x, y)
P’ (- y, x)
Rotation de 180o
Pour chaque point P (x, y) , l’image par r(O, 180o) devient P’ (- x, - y).
r(O, 180o) : P (x, y)
P’ (- x, - y)
Rotation de 270o
Pour chaque point P (x, y) , l’image par r(O, 270o) devient P’ (y, - x).
r(O, 270o) : P (x, y)
P’ (y, - x)
Rotation de 90o
Pour chaque point P (x, y) , l’image par r(O, 90o) devient P’ (- y, x).
r(O, 90o) : P (x, y)
P’ (- y, x)
Exemple : r(O, 90o)
B
r(O, 90o) :
A (3, 2)
B (3, 10)
C (7, 2)
C’
A’ (-2, 3)
B’ (-10, 3)
C’ (-2, 7)
B’
A’
90o A
1
1
C
Rotation de 180o
Pour chaque point P (x, y) , l’image par r(O, 180o) devient P’ (- x, - y).
P’ (- x, - y)
r(O, 180o) : P (x, y)
Exemple : r(O, 180o)
B
r(O, 180o) :
A (3, 2)
B (3, 10)
C (7, 2)
C’
A’ (-3, -2)
B’ (-3, -10)
C’ (-7, -2)
B’
A’ 180
o
A
1
C’
A’
B’
1
C
Rotation de 270o
Pour chaque point P (x, y) , l’image par r(O, 270o) devient P’ (y, - x).
P’ (y, - x)
r(O, 270o) : P (x, y)
Exemple : r(O, 270o)
B
r(O, 270o) :
A (3, 2)
B (3, 10)
C (7, 2)
C’
A’ (2, -3)
B’ (10, -3)
C’ (2, -7)
B’
A’
A
C
270o 1
C’
A’
1
A’
C’
B’
B’
Mathématiques CST
- Géométrie des figures planes E) Dilatation ou contraction
Dilatation : Figure étirée horizontalement ou verticalement.
Contraction : Figure rétrécie horizontalement ou verticalement.
Pour chaque point P (x, y) , l’image par une
contraction ou une dilatation devient P’ (ax, by).
P (x, y)
P’ (ax, by)
Si a = b, alors on a une homothétie.
où a ≠ 0 et b ≠ 0.
Exemple #1 : Trouver l’image du quadrilatère ABCD si on lui applique la
(x, 2y)
règle de transformation suivante : (x, y)
B’
C’est une dilatation
verticale !
B
A’
A
1
C
C’
1
D
D’
A (-4, 1)
B (0, 4)
C (4, -1)
D (3, -4)
A’ (-4, 2 x 1)
B’ (0, 2 x 4)
C’ (4, 2 x -1)
D’ (3, 2 x -4)
A’ (-4, 2)
B’ (0, 8)
C’ (4, -2)
D’ (3, -8)
Exemple #2 : Trouver l’image du triangle ABC si on lui applique la règle
(½ x , y)
de transformation suivante : (x, y)
B B’
C’est une contraction
horizontale !
1
A
A’
1
C’
A (-8, -2)
B (-2, 10)
C (6, -6)
A’ (½ x -8, -2)
B’ (½ x -2, 10)
C’ (½ x 6, -6)
C
A’ (-4, -2)
B’ (-1, 10)
C’ (3, -6)
Mathématiques CST
- Géométrie des figures planes F) Compositions de transformations
On utilise le symbole  , qui se lit « rond », pour lier une série de
transformations consécutives.
On lit les transformations de DROITE à GAUCHE.
Ex. : sx  h(O, 2)  t(2, -5)
À l’objet initial, on applique :  t(2, -5)
 h(O, 2)
 sx
Exemple : Trouver l’image du triangle ABC suite à la composition de
transformations suivante : h(O, ⅓)  sy  t(4, -7)
t (4, -7) :
A (-10, 16)
B (-7, 22)
C (-4, 19)
A’ (-10 + 4, 16 – 7)
B’ (-7 + 4, 22 – 7)
C’ (-4 + 4, 19 – 7)
A’ (-6, 9)
B’ (-3, 15)
C’ (0, 12) A
sy :
A’ (-6, 9)
B’ (-3, 15)
C’ (0, 12)
C
B’
C’
A’
A’’ (6, 9)
B’’ (3, 15)
C’’ (0, 12)
A’’’(⅓ x 6, ⅓ x 9)
B’’’ (⅓ x 3, ⅓ x 15)
C’’’ (⅓ x 0, ⅓ x 12)
B’’
C’’
B’’’
C’’’
2
A’’’
2
h(O, ⅓) :
A’’ (6, 9)
B’’ (3, 15)
C’’ (0, 12)
B
A’’’ (2, 3)
B’’’ (1, 5)
C’’’ (0, 4)
A’’
Mathématiques CST
- Géométrie des figures planes G) Isométries et similitudes
ISOMÉTRIES
Conserve les distances. La figure reste inchangée (angles
et segments).
Translations, réflexions, rotations.
SIMILITUDES
La figure change de dimension. Seulement les angles
restent inchangés.
Homothéties