Transcript Les figures planes équivalentes

Faire le point sur les figures équivalentes
Pièges et astuces
Il est parfois nécessaire de recourir à des connaissances en géométrie telles que:
– les propriétés des figures planes;
– les propriétés
des figures isométriques;
– les relations métriques dans le triangle rectangle;
– les relations trigonométriques.
Les figures planes équivalentes
Deux figures planes sont équivalentes si elles ont la même aire.
Exemple: Ces deux figures planes ont chacune une aire de 2,25 cm2. Elles sont donc équivalentes.
Remarque: On dit aussi que des figures planes
sont équivalentes si on peut en «découper»
une pour former l’autre.
Le rectangle AEFD est équivalent au
parallélogramme ABCD.
La recherche de mesures manquantes
Dans les figures planes équivalentes, le procédé de
recherche de mesures manquantes s’appuie sur l’égalité
aires.
des
Exemple:
Quelle est la mesure de la grande diagonale du losange
ABCD si celui-ci est équivalent au cerf-volant EFGH?
Étape
1. Calculer l’aire d’une
des deux figures.
Puisque A1 A2,
l’aire de la seconde
figure est
automatiquement
déterminée.
2. Trouver la mesure
manquante en
utilisant la formule
d’aire appropriée.
Démarche
Il est possible de calculer l’aire du triangle EHF à l’aide de la formule
de Héron.
A
EHF
p(p a)(p b)(p c) , où p est le demi-périmètre du triangle
A
EHF
16(16 4)(16 13)(16 15)
A EHF 24 cm2
L’aire du triangle GFH est également de 24 cm2.
Ainsi, l’aire du cerf-volant est de 48 cm2, soit 2 • 24 cm2.
A losange
48
D
D d
2
D 8
2
12 cm
Les propriétés concernant les figures planes équivalentes
Les polygones équivalents à n côtés
De tous les polygones équivalents à n côtés, c’est le polygone régulier qui a le plus petit périmètre.
Exemples:
1)
Dans cet ensemble de triangles
équivalents, c’est le triangle
équilatéral qui a le plus petit
périmètre.
2)
Dans cet ensemble de quadrilatères
équivalents, c’est le carré qui a le
plus petit périmètre.
Les polygones réguliers convexes équivalents
De deux polygones réguliers convexes équivalents, c’est le polygone qui a le plus de côtés qui a le plus
petit périmètre. À la limite, c’est le disque équivalent qui a le plus petit périmètre.
Exemple: Dans cet ensemble de polygones réguliers convexes
équivalents, c’est l’octogone
régulier qui a le plus petit périmètre.