Transcript Cinemática directa. posicionamiento de un brazo

INTELIGENCIA ARTIFICIAL
Cinemática Directa
Mg. Samuel Oporto Díaz
Mapa Conceptual del Curso
Coordinación
y
Sincronización
Robótica de
Manipuladores
Robótica
Móvil
Inteligencia y
Conocimiento
Agentes
Procesamiento
de Imágenes
Patrones
Redes
Neuronales
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Tabla de Contenido
1. REPRESENTACIÓN POSICIÓN Y ORIENTACIÓN
2. TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS
3. Parámetros Denavit-Hartenber
3 /44
Objetivos
Al final del curso el alumnos estará en capacidad de:
• Describir y analizar movimientos rígidos.
• Describir las ecuaciones cinemáticas de un manipulador y
operar con los resultados de las ecuaciones.
• Resolver problemas de cinemática inversa
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REPRESENTACION DE
POSICION Y ORIENTACION EN
EL ESPACIO
5 /44
Orientación de los ejes en 3-D
Z+
X+
Y+
Z
Z
Y
Y
Regla de la mano derecha
Z
X
X
Y
X
6 /44
Ejercicio 1
• Para los siguientes sistemas de referencia, indique la
orientación de los ejes (el lado positivo).
Y
X
Y
Z
X
Z
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Sistema de Referencia
• Es el sistema de coordenadas con respecto al cual se
realizan los cálculos.
• Se hace uso del sistema de coordenadas cartesianas.
{A}
x
Xi
z
y
Ix
Pf
z
X’
x
y
{B}
x
Px
β
Pi
Yi
Y’
{C}
8 /44
Movimiento del efector final
• La manipulación de piezas mediante un robot implica
conocer la posición del efector final y la orientación que
tiene, con respecto a la base del robot.
z
z
y
x
y
x
POSICION
ORIENTACION
9 /44
POSICION
• Una vez que se establece un sistema de coordenadas,
podemos localizar cualquier punto en el espacio con un
vector de posición (3x1).
• Se indica con un superíndice el sistema de coordenadas al
cual dicho vector es referido.
A
P=
px
py
pz
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ORIENTACION
• Para describir la orientación de un cuerpo respecto de un
sistema de coordenadas dado, se le asigna solidariamente
a este, otro sistema de coordenadas.
• Luego se da la “descripción” de este sistema de
coordenadas “relativa” al sistema de coordenadas de
referencia.
• Existen varios métodos para representar la orientación:
–
–
–
–
–
Matriz de Rotación.
Ángulos de Euler (ZXZ y ZYZ)
Roll, pitch y yaw.
Vector -ángulo (o par de rotación).
Cuaternios.
11 /44
Giro en ángulo positivo
Eje +
θ+
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ORIENTACION
13 /44
ORIENTACION
La orientación de B con respecto a
A es representado por:
Z
θ
θ
Y
14 /44
Coordenadas Homogéneas
• Las matrices que indican la posición y orientación de un
espacio no es suficiente para describir un espacio.
• Por lo que es necesario incluir algunos conceptos
adicionales.
• La nueva matriz incluye la perspectiva y la escala.
• T=
R3x3
f1x3
p3x1
w1x1
=
Rotación
Perspectiva
Traslación
Escalado
15 /44
TRANSFORMACION DE
COORDENADAS
16 /44
TRASLACION
• Cómo expresar la traslación de sistemas de coordenadas:
• Sea el espacio {B} que se desplaza P con respecto al
espacio {A}
ZB
{B}
{A}
ZA
YB
P
YA
XA
XB
A
B
T=
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
px
py
pz
1
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Ejercicio 2
Sea el espacio {A} y el vector AP = [2 3 4]T.
1. Indique la matriz de transformación para trasladar el
espacio {A} en una distancia dada por el ventor P.
Esta matriz permite trasladar cualquier punto en el espacio
{B} hacia el espacio {A}.
2. Indique la ubicación, en el espacio {A} de los siguientes
puntos dados en el espacio {B}.
[1 2 3]T, [3 4 5]T, [3 2 1]T
3. Indique la ubicación, en el espacio {B} de los siguientes
puntos dados en el espacio {A}.
[1 2 2]T, [3 3 5]T, [3 2 2]T
18 /44
Ejercicio 2
• Matriz de transformación de
B hacia A.
A
T=
B
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
2
3
4
1
3
5
7
1
1
0
= 0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
2
3
4
1
1
2
3
1
5
7
9
1
1
0
= 0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
2
3
4
1
3
4
5
1
5
5
5
1
1
0
= 0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
2
3
4
1
3
2
1
1
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Ejercicio 2
• Matriz de transformación de
A hacia B.
B
T=
A
1
0
0
0
0
1
0
0
0 -2
0 -3
1 -4
0 1
3
5
7
1
1
0
= 0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
2
3
4
1
1
2
3
1
5
7
9
1
1
0
= 0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
2
3
4
1
3
4
5
1
5
5
5
1
1
0
= 0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
2
3
4
1
3
2
1
1
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Ejercicio 3
• Cierto sistema, se traslada en P1, luego se traslada en P2 y
luego en P3, para obtener finalmente el sistema {B}.
P1 = [-3, 3, 2]T, P2 = [2, 4 -1]T, P3 = [0, -2, 4]T
• Indique la ubicación, en el espacio {A} de los siguientes
puntos dados en el espacio {B}.
[1 2 3]T, [3 4 5]T, [3 2 1]T
• Indique la ubicación, en el espacio {B} de los siguientes
puntos dados en el espacio {A}.
[-1 2 3]T, [2 2 2]T, [3 -2 1]T
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ROTACION
• Cómo expresar la rotación de coordenadas.
• Se implementará la función R( eje, ángulo)
• La función indica la orientación del nuevo sistema de
referencia con respecto al primero, cuando se rota cierto
eje en cierto ángulo.
• La rotación positiva se considera tomando en consideración
la regla de la mano derecha.
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Rotación en el eje X
• Definir las matrices de
rotación para los ejes X, Y,
Z
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Ejercicio 4
• El sistema {A}, se rota 60º, alrededor del eje Z, calcule la
ubicación en el sistema {A} del punto P = [2, 3, 4]T, dado en
el sistema {B}
24 /44
Ejercicio 4
Z
Y
Y
X
60º
Rot(z, π/3) =
X
60º
cπ/3 -sπ/3
cπ/3 cπ/3
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
cπ/3 -sπ/3
cπ/3 cπ/3
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
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Ejercicio 5
• El sistema {A}, se rota 60º, alrededor del eje X, luego 60º
alrededor del eje Y y luego 60º alrededor del eje Z. Calcule
la ubicación en el sistema {A} del punto P = [2, 3, 4]T, dado
en el sistema {B}
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Parámetros Denavit-Hartenber
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Conceptos de robótica
• Cadena cinemática abierta formada por eslabones y
articulaciones:
– Rotación
– Prismáticas
• Estudio cinemático
• Estudio dinámico
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Conceptos de geometría espacial
• Consideraremos como sistemas de referencia los formados
por tres ejes rectilíneos (X,Y,Z):
– Ortogonales (perpendiculares 2 a 2)
– Normalizados (las longitudes de los vectores básicos de
cada eje son iguales)
– Dextrógiros (el tercer eje es producto a vectorial de los
otros 2)
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Conceptos de geometría espacial
• Las coordenadas de un punto P(x,y,z), son las
proyecciones de dicho punto perpendicular a cada eje.
• Utilización de las llamadas coordenadas generalizadas:
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Traslaciones y Rotaciones
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Matriz de Transformación T
• Matriz de dimensión 4X4 que representa la transformación
de un vector de coordenadas homogéneas de un sistema
de coordenadas a otro.
• relaciona el sistema de referencia solidario al punto
terminal con un sistema de referencia fijo (mundo).
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Cinemática directa
• Encontrar la forma explicita de la función que relaciona el
espacio de articulaciones del robot (dimensiones de los
eslabones y giros relativos) con el espacio cartesiano de
posiciones/orientaciones.
(x, y, z, α, β, γ) = f (q1,q2,...,qn)
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Resolución cinemática directa
Sn = T . S0
• Sn es el origen del sistema de referencia del extremo del
robot (pinza) en coordenadas generalizadas
• S0 es el origen del sistema de referencia de la base del
robot.
34 /44
Cinemática inversa
• Consiste en determinar la configuración que debe adoptar
un robot para una posición y orientación del extremo
conocidas.
• No existe solución única.
(q1,q2,...,qn) = f(x, y, z, α, β, γ)
35 /44
Obtención de la matriz T
• Sencillo para cadenas cinemáticas abiertas de cualquier
número de grados de libertad, pero complejo para el caso
de cadenas cinemáticas cerradas.
• Parámetros de D-H.
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Algoritmo
• Elegir un sistema de coordenadas fijo (X0, Y0, Z0) asociado
a la base del robot
• Localizar el eje de cada
articulación Z:
• Si la articulación es
rotativa, el eje será el
propio eje de giro.
• Si es prismática, el eje
lleva a dirección de
deslizamiento.
37 /44
Algoritmo
• Situar los ejes X el la
línea normal común a
Zi-1 y Zi.
• Si
estos
son
paralelos, se elige la
línea normal que
corta ambos ejes
• El eje Yi debe
completar el triedro
dextrógiro
38 /44
Algoritmo
• Parámetros de D-H:
• αi: ángulo entre el eje Zi-1 y Zi, sobre el plano perpendicular
a Xi. El signo lo da la regla de la mano derecha (rmd).
• ai: distancia entre los ejes Zi-1 y Zi, a lo largo de Xi. El signo
lo define el sentido de Xi.
• θi: ángulo que forman los ejes Xi-1 y Xi, sobre el plano
perpendicular a Zi,. El signo lo determina la rmd.
• di: distancia a los largo del eje Zi-1 desde el origen del
sistema Si-1 hasta la intersección del eje Zi, con el eje Xi. En
el caso de articulaciones prismáticas será la variable de
desplazamiento.
39 /44
Algoritmo
• αi: ángulo entre el eje Zi-1 y Zi, sobre el plano perpendicular
a X. El signo lo da la regla de la mano derecha (rmd).
40 /44
Algoritmo
• ai: distancia entre los ejes Zi-1 y Zi, a lo largo de Xi. El signo
lo define el sentido de Xi.
41 /44
Algoritmo
• θi: ángulo que forman los ejes Xi-1 y Xi, sobre el plano
perpendicular a Zi,. El signo lo determina la rmd.
42 /44
Algoritmo
• di: distancia a los largo del eje Zi-1 desde el origen del
sistema Si-1 hasta la intersección del eje Zi, con el eje Xi. En
el caso de articulaciones prismáticas será la variable de
desplazamiento.
43 /44
Ejemplo
44 /44
Obtención de T
• Matriz de transformación desde el sistema i-1 hasta el i.
45 /44
Resolución cinemática directa
• Resolución cinemática directa Sn = T . S0
• Sn es el origen del sistema de referencia de la pinza en
coordenadas generalizadas
• S0 es el origen del sistema de referencia de la base del
robot.
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Puma 560
47 /44
Bibliografía
• John Craig, “Introduction to robotics,” Addison Wesley.
• G. Dudek and M. Jenkin, “Computational Principles of
Mobile Robotics,” Cambridge University Press.
48 /44
PREGUNTAS
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