Transcript Teoría

Coordenadas polares
Coordenadas polares y cartesianas
Ecuación de una recta
Ecuación de un círculo
Curvas en polares
Áreas en coordenadas polares
Coordenadas polares. Áreas en coordenadas
polares
Coordenadas polares
Para definir las coordenadas polares en el plano necesitamos un
punto al que llamaremos origen y una línea a la que llamaremos eje
polar.
P(r, θ)
r
θ
Eje Polar
Ángulo polar
El ángulo polar θ de un punto P, P ≠ origen es el
ángulo que hay entre el eje polar y la línea que
une el origen con el punto P. Los valores positivos
del ángulo indican ángulos medidos en sentido
antihorario desde el eje polar.
Un ángulo positivo.
Coordenadas polares
Las coordenadas polares(r,θ) del punto P,
P ≠ origen, indican la distancia r entre el punto P y el origen y el
ángulo polar θ del punto P. Cualquier (0, θ) representa el origen.
Coordenadas polares. Áreas en coordenadas
polares
Coordenadas polares y cartesianas
(x,y)
r
θ
x
y
A partir del triángulo rectángulo que se ve
en la figura se establecen las siguientes
relacionesentre las coordenadas cartesianas
(x,y) y las coordenadas polares (r,θ). Se
supone que el origen de las coordenadas
polares coincide con el de las cartesianas y
que además el eje polar es el eje X.
x = r cos(θ)
r2 = x2 + y2
y = r sen(θ)
tan(θ) = y/x
Usando estas ecuaciones se puede pasar fácilmente de unas
coordenadas a otras.
Coordenadas polares. Áreas en coordenadas
polares
Ecuación de una recta
La ecuación general de una recta en coordenadas cartesianas
es de la forma ax + by + c = 0 .
Si la recta en cuestión pasa por el origen, c = 0. En este
caso la ecuación de la recta en polares es
tan(θ) = -a/b.
Si la recta no pasa por el origen, hay que substituir x = r cos(θ) e
y = r sen(θ) en la ecuación de la recta.
Se tiene a r cos(θ) + b r sen(θ) = c.
La ecuación de la recta en coordenadas polares es:
r = - c/(a cos(θ) + b sen(θ)).
Nota: La ecuación de una línea general en las coordenadas polares
es bastante complicada en general.
Coordenadas polares. Áreas en coordenadas
polares
Ecuación de un círculo
La ecuación de un círculo de radio r0 y con centro en el
origen en cartesianas es x2 + y2 = r02.
En coordenadas polares la ecuación del círculo es bastante
más simple:
r = r0.
Coordenadas polares. Áreas en coordenadas
polares
Curvas en coordenadas polares
Definición
Una curva en coordenadas polares está formada por los
puntos (r,θ) que satisfacen una ecuación F(r,θ) = 0.
A menudo se puede despejar r y representar la curva en
coordenadas polares en la forma r = f(θ)
Trazado de curvas polares en
Maple
Usando la opción “coords = polar” en el
comando de una parcela a las curvas se
las define en las coordenadas polares. Para
el comando de Maple
plot([sin(4*t),t,t=0..2*Pi],coords=polar);
produce la siguiente figura.
Coordenadas polares. Áreas en coordenadas
polares
Áreas en coordenadas polares
Para calcular el área que encierra una curva en coordenadas polares
se repiten los mismos pasos que con las curvas en cartesianas.
Se divide el área por medio de la líneas que parten del origen
(argumento constante) y así se consigue una aproximación a través
de la suma de Riemann para la zona del dominio en cuestión.
Dividir un dominio en polares
en varias secciones, cuya área
se aproximará por áreas de las
secciones circulares .
Curva polar
r = 1 + sen(θ)
Aproximar las áreas de las
secciones por las áreas de las
secciones de los círculos.
Coordenadas polares. Áreas en coordenadas
polares
Áreas en coordenadas polares
Fórmula
El área encerrada por la curva de ecuación en
coordenadas polares r = f(θ) entre los argumentos
θ = a y θ = b viene dado por
b
2
1
A    f    d
2
a
Ejemplo
es decir
b
A
1 2
a 2r d
El área encerrada por la curva r = 1 + sen(θ) se
calcula de la siguiente manera (véase figura)
1
A
2
1

2
2
 1  s e n  
2
d
0
2
 1  2 s e n    s e n  
2
0
Coordenadas polares. Áreas en coordenadas
polares
3
d 
2
Cálculo en una variable
Autor: Mika Seppälä
Traducción al español:
Félix Alonso
Gerardo Rodríguez
Agustín de la Villa