integrales triples sobre rectángulos
Download
Report
Transcript integrales triples sobre rectángulos
INTEGRALES MULTIPLES
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Integrales dobles sobre rectàngulos
Propiedades
Càlculo
Teorema de Fubini
Cambio de variable
La transformaciòn a coordenadas polares
Aplicaciones de las integrales dobles
ROSA N. LLANOS VARGAS
||P||= máx { diagonales de π
ππ , i = 1, π ; π = 1, π }
Sea (π₯π , π¦π ) β π
ππ .
Consideremos el prisma que
tiene por base el rectángulo
π
ππ y altura f (π₯π , π¦π ) ; entonces
el volumen del prisma será
βππ π = f(π₯π , π¦π )βπ₯π βπ¦π
π(π₯π , π¦π )
(π₯π , π¦π )
La suma de Riemann sobre R, es
π
π
ππ =
f(π₯π , π¦π )βπ₯π βπ¦π
π=1 π=1
Si ||P||β0 , entonces el volumen del sólido es
π
π
lim
π β0
f(π₯π , π¦π )βπ₯π βπ¦π
π=1 π=1
Definición . Si la función f es continua sobre un rectángulo R, la
integral doble de f sobre R ,es
π
π
π π₯, π¦ ππ₯ππ¦ = lim
π β0
f(π₯π , π¦π )βπ₯π βπ¦π β¦ . (1)
π=1 π=1
Si el límite existe. R se llama dominio de integración
En general si D es una región acotada del plano y si f es una función
continua sobre D, entonces la integral doble existe y su valor es el
del límite (1).
Teorema. Si f es una función continua sobre la región acotada D del
Plano, entonces f es integrable sobre D.
Definición. El volumen del sólido debajo de la superficie S: z = f(x , y)
Cuya base es el conjunto acotado D β π
2 es,
π π =
π π₯, π¦ ππ₯ππ¦
π·
Si f y g son funciones integrables sobre la región acotada D β π
2
1.
ππ₯ππ¦ =
π·
ππ΄ = Area de la región plana D,
π·
Linealidad
2.
π π(π₯, π¦)ππ₯ππ¦ = π
π·
3.
π(π₯, π¦)ππ₯ππ¦ ; k es constante
π·
π(π₯, π¦) ± π(π₯, π¦) ππ₯ππ¦ =
π·
π(π₯, π¦)ππ₯ππ¦ ±
π·
π·
Monotonía:
4. Si f(x,y) β€ g(x , y ) sobre D entonces
π π₯, π¦ ππ₯ππ¦ β€
π·
π(π₯, π¦)ππ₯ππ¦
π(π₯, π¦)ππ΄
π·
Aditividad
5.
Si D = π·1 βͺ π·2 , π·1 β© π·2 = β
, π·1 π¦ π·2 son acotados, entonces
π π₯, π¦ ππ΄ =
π·
6.
π π₯, π¦ ππ΄ +
π·1
π π₯, π¦ ππ΄
π·2
Si f (x , y ) > 0 sobre D , entonces
π π₯, π¦ ππ΄ > 0
π·
7.
Teorema del valor medio .- Si f : π· β π
2 β π
es continua
entonces en el punto π₯π , π¦π β π· , tenemos:
π·
π π₯, π¦ = π π₯π , π¦π π΄(π·)
donde A(D) es el área de la región D
INTEGRALES ITERADAS.
1. Si D = [ a , b] x [ c , d ] un rectángulo sobre el cual la función f es continua
manteniendo fija la variable x , la función depende de y, e integrando con
respecto a y , se tiene
llamada integral iterada de f
Además
=
TEOREMA DE FUBINI . Si f es continua sobre el rectángulo R= [a , b]x[c, d]
Entonces
2. Si R = { (x,y) β π
2 / π β€ π₯ β€ π β§ π1 (π₯) β€ π¦ β€ π2 (π₯)} , siendoπ1 π¦ π2
funciones continuas en [ a, b ] , f es una función continua sobre R.
Y
X
3. Si R = { (x,y) β π
2 / c β€ π¦ β€ π β§ β1 (π¦) β€ π₯ β€ β2 (π¦)} , siendo β1 π¦ β2
funciones continuas en [ c , d ] , f es una función continua sobre R.
NOTA- si f(x , y ) = g ( x ) h ( y ) , sobre R= [ a, b ]x [ c ,d ] entonces
π
π π₯, π¦ ππ΄ =
π·
π
π π₯ ππ₯
π
β π¦ ππ¦
π
Si f es una función continua definida sobre la región acotada S de π
2 en R y si
T es una transformación continua definida sobre una región acotada D de π
2
en S; tales que existe ππ π
Dβ π
2
(u, v )
T:
T
S β π
2
( x , y)
π₯ = π₯ π’, π£ βΉ ππ₯ =
π¦ = π¦ π’, π£ βΉ ππ¦ =
De donde,
ππ₯
ππ’
ππ’
ππ¦
ππ’
ππ’
f
π
z
ππ₯
+ ππ£ ππ£
+
ππ¦
ππ£
ππ£
,
f ( x , y ) = f ( x ( u, v) , y ( u ,v ))
ππ₯
=
ππ¦
π₯π’
π¦π’
π₯π£
π¦π£
ππ’
ππ£
π½ππππππππ ππ π
El determinante de la matriz jacobiana , denotado por |J(u,v)|, es
π₯π’
π½(π’, π£) = π¦
π’
π₯π£
π¦π£ β π
Entonces
dA = dxdy = |J(u,v)|dudv
De allí que
π π₯, π¦ ππ₯ππ¦ =
ππ₯π¦
[π π₯ π’, π£ , π¦ π’, π£ ]|J(u,v)|ππ’ππ£
π·π’π£
LA TRANSFORMACION A COORDENADAS POLARES
π₯ = ππππ π
T:
π¦ = ππ πππ
βΉ
π₯π
π½(π, π = π¦
π
π₯π
πππ π
=
π¦π
π πππ
βππ πππ
=π
ππππ π
De allí que
π π₯, π¦ ππ₯ππ¦ =
ππ₯π¦
π ππππ π, ππ πππ . π. ππππ
π·ππ
Esta transformación se utiliza, por lo general, cuando aparece π₯ 2 + π¦ 2 en el
integrando o en los límites de integración.
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DOBLE
Si f : D β π
2 β π
es continua sobre la región acotada D.
1. π΄πππ ππ ππ ππππóπ πππππ π·
π΄ π· =
ππ₯ππ¦
π·
2. ππππ’πππ πππ π óππππ ππ πππ π π· π¦ πππ‘π’ππ π π₯, π¦
π π =
π π₯, π¦ ππ΄
π·
3. Area de la superficie S : z = f (x,y) ,limitada por la curva C. C es la frontera
S. D es la región limitada por la proyección de C sobre el plano XY.
1 + (π§π₯ )2 +(π§π¦ )2 ππ΄
π΄ π =
π·
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DOBLE
4. Masa. Si R es la región del plano ocupada por una lámina cuya densidad en
cada punto P(x,y) es π π₯, π¦ . Entonces la masa de la lámina es:
π=
π π₯, π¦ ππ΄
π
5. Centro de masa .
ππ¦
π₯=
=
π
π
ππ₯
π¦=
=
π
π
π
π
π₯π π₯, π¦ ππ΄
π π₯, π¦ ππ΄
π¦ π π₯, π¦ ππ΄
π π₯, π¦ ππ΄
Ejemplos. Dibujar la región de integración y calcular la s integrales dobles siguientes:
1)
4π π¦
π πππ¦
0
0
ππ₯ππ¦
En esta integral x varía entre 0 e y , mientras y varía entre 0 y 4Ο ; es decir
0β€x β€ y
0β€ y β€ 4Ο
Y
4π π¦
π πππ¦
0
0
ππ₯ππ¦ =
=
=
4π π¦
( 0 π πππ¦ ππ₯)ππ¦
0
4π
π¦
π₯π πππ¦]
ππ¦
0
0
βπ¦πππ π¦ + π πππ¦]4π
0
4Ο
x=y
= β4π
Luego,
4π π¦
π πππ¦
0
0
0
ππ₯ππ¦ = -4Ο
Cambiando el orden de la integración:
4π π¦
π πππ¦
0
0
X
4π
4π
0β€x β€ 4Ο
ππ₯ππ¦ = 0 ( π₯ π πππ¦ ππ¦)ππ₯ =
= - ( x β senx ) ]4π
0 = - 4π
,
x β€ y β€ 4Ο
4π
4π ππ₯
(βπππ π¦)
]
π₯
0
= β
4π
0
πππ 4π β πππ π₯ ππ₯
2 2
π₯ 1 + π¦ 3 ππ¦ππ₯
2)
0 π₯
2
4
3)
π₯π πππ₯ ππ₯ππ¦
0 π¦2
3
9
π¦πππ π₯ 2 ππ₯ππ¦
4)
0 π¦2
8
2
4
π π₯ ππ₯ ππ¦
5)
0 3π¦
8
2
6)
0 3π¦
π¦
16 +
π₯7
ππ₯ππ¦
II. Si
2 π₯2
π(π₯, π¦) ππ¦ππ₯
1 π₯
+
a) Graficar la región D
4 4
π(π₯, π¦) ππ¦ππ₯
2 π₯
=
π·
π π₯, π¦ ππ΄
b) Calcular como una sola integral
III: Efectuar un cambio de variable para calcular
π·
π₯ β 2π¦
π ππ
ππ₯ππ¦ ; π·: π₯ = 0 , π¦ = 0,
π₯ + 2π¦
Sea la transformación T:
π’ = π₯ β 2π¦
βΉπ₯=
π£ = π₯ + 2π¦
π’+π£
2
,π¦ =
π₯ + 2π¦ = 4
π£βπ’
4
y
π₯π’
J(u,v) = π¦
π’
1
2
π₯π£
π¦π£ = β 1
4
1
2
1
4
1
=4
2
X+2Y=4
Por otro lado, transformando D,
a) x= 0 , y β 0,2 , πππ‘πππππ ππ π
0
V = -u , u = -2y , luego u β [-4, 0 ]
4
x
b) y = 0 , xβ [0 , 4 ] , entonces v= u , u = x luego uβ [0, 4 ]
V
c) x + 2y = 4 , π₯ β 0 , 4
π’+π£
π£βπ’
+2
= 4 ; ππ πππππ π£ = 4
2
0 β€ xβ€4 , y , x=
Pero
π’+4
2
Entonces 0 β€
π·
4
=
π£
2
0
4 1
β2π£
0
0
π’+π£
2
=
π’+4
2
π₯ β 2π¦
ππ₯ππ¦ =
π₯ + 2π¦
π’ 1
π ππ
. . ππ’ππ£
π£ 4
πππ
π’
π£
v=- u
β€ 4 ; ππ πππππ β 4 β€ π’ β€ 4
π ππ
=
4
4
1
]π£0 ππ£ = β 2
4
π£
0
π ππ
π·π’π£
v=u
0
U
π’ 1
. . ππ’ππ£
π£ 4
; ππ’ππ π‘π ππ’π β π£ β€ π’ β€ π£ ,
1
0β€π£ β€4
πππ 1 β cos 0 ππ£ = 4 (1 β πππ 1)π£ 2 ]40 = 4(1-cos1)
INTEGRALES TRIPLES SOBRE RECTÁNGULOS
Si f : R βΎ IR es una función continua sobre R
siguiendo el método del cálculo integral,
luego de definir una partición sobre cada
uno de los intervalos [ a , b ], [ c , d ] ,
[ u , v ] en m, n y l subintervalos, respectivamente, entonces R queda dividido en mnl
pequeños paralelepípedos de la forma
B ijk = [ xi-1 , xi ]x[yj-1 , yj ]x[zk-1 , zk ]
Cuyo volumen es
Ξijk V= Ξi x Ξj y Ξk z
INTEGRAL TRIPLE
INTEGRAL TRIPLE
PROPIEDADES DE LA INTEGRAL TRIPLE
Las Propiedades del 1 al 6 de las integrales dobles se generalizan para las integrales
Triples, en general sobre un sólido Q , se tiene:
1)
2)
π
π π π₯, π¦, π§ ± π π(π₯, π¦, π§) ππ = π
π π₯, π¦, π§ ππ =
π1
π π₯, π¦, π§ ππ +
donde Q = π1 βͺ π2 .
π1 y π2 se llaman «solapamientos»
π π₯, π¦, π§ ± π
π2
π π₯, π¦, π§ ππ
π(π₯, π¦, π§)
CÁLCULO DE INTEGRALES TRIPLES β INTEGRAL ITERADA
dV
EVALUACIÓN DE INTEGRALES ITERADAS
Si R es el rectángulo R = [a, b] x [c , d] x [u , v ] sobre el cual f
es integrable, entonces
π£
π
π
π£
π
π
π π₯, π¦, π§ ππ₯ ππ¦ ππ§ =
π’
π
π
π π₯, π¦, π§ ππ¦ ππ₯ ππ§ = ππ‘π
π’
π
π
REGIONES DE INTEGRACIÓN
1. Si R : π β€ π₯ β€ π , β
1 π₯ β€ π¦ β€ β
2 π₯ ,
πΎ1 (π₯, π¦) β€ π§ β€ πΎ2 (π₯, π¦)
La región de integración R ,es proyectada
Sobre el plano XY.
π
β
2 π₯
πΎ2 (π₯,π¦)
π π₯, π¦, π§ ππ =
π
π π₯, π¦, π§ ππ§ ππ¦ ππ₯
π
β
1 π₯
πΎ1 (π₯,π¦)
πππππ ππππππππ ππ πππππππππÓπ
X= f(y,z)
Y=f(x,z)
Ejemplo 1
Proyectando sobre el plano XY, hacemos z = 0 , entonces
y = π₯ 2 , ππππ π¦ = 4 , πππ‘πππππ π₯ = β2 β¨ π₯ = 2
y
ο΄
-2β€ π₯ β€ 2
ο³
π₯2 β€ π¦ β€ 4
ο²
β π¦
β π₯2
β€π§β€
π¦
β π₯2
y
ο±
οο΄
οο³
οο²
οο±
ο±
οο±
οο²
x
ο²
ο³
ο΄
Ejemplo 2
Determinar el sólido cuyo volumen es dado por la integral
1 π¦ 1βπ¦ 2
ππ§ππ₯ππ¦
0 0
0β€ π¦ β€ 1
0β€xβ€y
0 β€ z β€ 1 - π¦2
0
TEOREMA DE FUBINI PARA INTEGRALES TRIPLES
Si suponemos que la región de integración es de la primera forma
Q: aβ€ π₯ β€ π , π1 π₯ β€ π¦ β€ π2 π₯ , πΎ1 π₯, π¦ β€ πΎ2 π₯, π¦ , πππ‘πππππ βΆ
π
,π2 π₯
πΎ2 π₯,π¦
π π₯, π¦, π§ ππ₯ππ¦ππ§ =
π
π π₯, π¦, π§ ππ§ ππ¦ ππ₯
π
,π1 π₯
πΎ1 π₯,π¦
πΎ2 π₯,π¦
=
π π₯, π¦, π§ ππ§ ππ¦ ππ₯
π·
πΎ1 π₯,π¦
Cambio de Variable
πΉ π’, π£, π€ = π₯, π¦, π§ = (π₯ π’, π£, π€ ,y π’, π£, π€ , z π’, π£, π€ )
CAMBIOS DE VARIABLES: JACOBIANOS
CAMBIO DE VARIABLES EN INTEGRALES TRIPLES
COORDENADAS CILINDRICAS
rsenπ
CAMBIO A COORDENADAS CILINDRICAS
DIFERENCIAL DE VOLUMEN EN COORDENADAS CILINDRICAS
La integral triple en coordenadas cilíndricas
π π₯, π¦, π§ ππ =
π
π₯π¦π§
π ππππ π, ππ πππ, π§ . π. ππππππ§
π·πππ§
Coordenadas Esféricas
X= ππππ ππ πππ , π¦ = ππ ππππ πππ π§ = ππππ π
F(π , π , π ) = π₯, π¦ π§ = (ππππ ππ πππ, ππ ππππ πππ , ππππ π )
π(π₯, π¦, π§)
= β π2 π ππ π
π(π , π , π)
CAMBIO A COORDENADAS ESFERICAS
DIFERENCIAL DE VOLUMEN EN COORDENADAS ESFÉRICAS
z = 1 - π₯2 , π₯ + π¦ = 1 , π₯ = π¦ = π§ = 0
y + z = 2 , x = 4 - π¦2 , π₯ = π¦ = π§ = 0
MOMENTOS DE INERCIA DE UNA REGIÓN SÓLIDA
Cambio de Variable
πΉ π’, π£, π€ = π₯, π¦, π§ = (π₯ π’, π£, π€ ,y π’, π£, π€ , z π’, π£, π€ )
CAMBIOS DE VARIABLES: JACOBIANOS
CAMBIO DE VARIABLES EN INTEGRALES TRIPLES
COORDENADAS CILINDRICAS
rsenπ
CAMBIO A COORDENADAS CILINDRICAS
La integral triple en coordenadas cilíndricas
π π₯, π¦, π§ ππ =
π
π₯π¦π§
π ππππ π, ππ πππ, π§ . π. ππππππ§
π·πππ§
Coordenadas Esféricas
X= ππππ ππ πππ , π¦ = ππ ππππ πππ π§ = ππππ π
F(π , π , π ) = π₯, π¦ π§ = (ππππ ππ πππ, ππ ππππ πππ , ππππ π )
π(π₯, π¦, π§)
= β π2 π ππ π
π(π , π , π)
z = 1 - π₯2 , π₯ + π¦ = 1 , π₯ = π¦ = π§ = 0
y + z = 2 , x = 4 - π¦2 , π₯ = π¦ = π§ = 0