Transcript integrales triples sobre rectángulos

INTEGRALES MULTIPLES
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Integrales dobles sobre rectàngulos
Propiedades
Càlculo
Teorema de Fubini
Cambio de variable
La transformaciòn a coordenadas polares
Aplicaciones de las integrales dobles
ROSA N. LLANOS VARGAS
||P||= máx { diagonales de 𝑅𝑖𝑗 , i = 1, 𝑛 ; 𝑗 = 1, 𝑚 }
Sea (𝑥𝑖 , 𝑦𝑗 ) ∈ 𝑅𝑖𝑗 .
Consideremos el prisma que
tiene por base el rectángulo
𝑅𝑖𝑗 y altura f (𝑥𝑖 , 𝑦𝑗 ) ; entonces
el volumen del prisma será
∆𝑖𝑗 𝑉 = f(𝑥𝑖 , 𝑦𝑗 )∆𝑥𝑖 ∆𝑦𝑗
𝑓(𝑥𝑖 , 𝑦𝑗 )
(𝑥𝑖 , 𝑦𝑗 )
La suma de Riemann sobre R, es
𝑛
𝑚
𝑆𝑛 =
f(𝑥𝑖 , 𝑦𝑗 )∆𝑥𝑖 ∆𝑦𝑗
𝑗=1 𝑖=1
Si ||P||→0 , entonces el volumen del sólido es
𝑛
𝑚
lim
𝑃 →0
f(𝑥𝑖 , 𝑦𝑗 )∆𝑥𝑖 ∆𝑦𝑗
𝑗=1 𝑖=1
Definición . Si la función f es continua sobre un rectángulo R, la
integral doble de f sobre R ,es
𝑛
𝑚
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 = lim
𝑃 →0
f(𝑥𝑖 , 𝑦𝑗 )∆𝑥𝑖 ∆𝑦𝑗 … . (1)
𝑗=1 𝑖=1
Si el límite existe. R se llama dominio de integración
En general si D es una región acotada del plano y si f es una función
continua sobre D, entonces la integral doble existe y su valor es el
del límite (1).
Teorema. Si f es una función continua sobre la región acotada D del
Plano, entonces f es integrable sobre D.
Definición. El volumen del sólido debajo de la superficie S: z = f(x , y)
Cuya base es el conjunto acotado D ⊂ 𝑅2 es,
𝑉 𝑆 =
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦
𝐷
Si f y g son funciones integrables sobre la región acotada D ⊂ 𝑅2
1.
𝑑𝑥𝑑𝑦 =
𝐷
𝑑𝐴 = Area de la región plana D,
𝐷
Linealidad
2.
𝑘 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝑘
𝐷
3.
𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 ; k es constante
𝐷
𝑓(𝑥, 𝑦) ± 𝑔(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥𝑑𝑦 =
𝐷
𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 ±
𝐷
𝐷
Monotonía:
4. Si f(x,y) ≤ g(x , y ) sobre D entonces
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 ≤
𝐷
𝑔(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑔(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴
𝐷
Aditividad
5.
Si D = 𝐷1 ∪ 𝐷2 , 𝐷1 ∩ 𝐷2 = ∅ , 𝐷1 𝑦 𝐷2 son acotados, entonces
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 =
𝐷
6.
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 +
𝐷1
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴
𝐷2
Si f (x , y ) > 0 sobre D , entonces
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 > 0
𝐷
7.
Teorema del valor medio .- Si f : 𝐷 ⊂ 𝑅2 → 𝑅 es continua
entonces en el punto 𝑥𝑜 , 𝑦𝑜 ∈ 𝐷 , tenemos:
𝐷
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑓 𝑥𝑜 , 𝑦𝑜 𝐴(𝐷)
donde A(D) es el área de la región D
INTEGRALES ITERADAS.
1. Si D = [ a , b] x [ c , d ] un rectángulo sobre el cual la función f es continua
manteniendo fija la variable x , la función depende de y, e integrando con
respecto a y , se tiene
llamada integral iterada de f
Además
=
TEOREMA DE FUBINI . Si f es continua sobre el rectángulo R= [a , b]x[c, d]
Entonces
2. Si R = { (x,y) ∈ 𝑅2 / 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 ∧ 𝑔1 (𝑥) ≤ 𝑦 ≤ 𝑔2 (𝑥)} , siendo𝑔1 𝑦 𝑔2
funciones continuas en [ a, b ] , f es una función continua sobre R.
Y
X
3. Si R = { (x,y) ∈ 𝑅2 / c ≤ 𝑦 ≤ 𝑑 ∧ ℎ1 (𝑦) ≤ 𝑥 ≤ ℎ2 (𝑦)} , siendo ℎ1 𝑦 ℎ2
funciones continuas en [ c , d ] , f es una función continua sobre R.
NOTA- si f(x , y ) = g ( x ) h ( y ) , sobre R= [ a, b ]x [ c ,d ] entonces
𝑏
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 =
𝐷
𝑑
𝑔 𝑥 𝑑𝑥
𝑎
ℎ 𝑦 𝑑𝑦
𝑐
Si f es una función continua definida sobre la región acotada S de 𝑅2 en R y si
T es una transformación continua definida sobre una región acotada D de 𝑅2
en S; tales que existe 𝑓𝑜 𝑇
D⊂ 𝑅2
(u, v )
T:
T
S ⊂ 𝑅2
( x , y)
𝑥 = 𝑥 𝑢, 𝑣 ⟹ 𝑑𝑥 =
𝑦 = 𝑦 𝑢, 𝑣 ⟹ 𝑑𝑦 =
De donde,
𝜕𝑥
𝑑𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝑑𝑢
𝜕𝑢
f
𝑅
z
𝜕𝑥
+ 𝜕𝑣 𝑑𝑣
+
𝜕𝑦
𝑑𝑣
𝜕𝑣
,
f ( x , y ) = f ( x ( u, v) , y ( u ,v ))
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑥𝑢
𝑦𝑢
𝑥𝑣
𝑦𝑣
𝑑𝑢
𝑑𝑣
𝐽𝑎𝑐𝑜𝑏𝑖𝑎𝑛𝑎 𝑑𝑒 𝑇
El determinante de la matriz jacobiana , denotado por |J(u,v)|, es
𝑥𝑢
𝐽(𝑢, 𝑣) = 𝑦
𝑢
𝑥𝑣
𝑦𝑣 ∈ 𝑅
Entonces
dA = dxdy = |J(u,v)|dudv
De allí que
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 =
𝑆𝑥𝑦
[𝑓 𝑥 𝑢, 𝑣 , 𝑦 𝑢, 𝑣 ]|J(u,v)|𝑑𝑢𝑑𝑣
𝐷𝑢𝑣
LA TRANSFORMACION A COORDENADAS POLARES
𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃
T:
𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃
⟹
𝑥𝑟
𝐽(𝑟, 𝜃 = 𝑦
𝑟
𝑥𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃
=
𝑦𝜃
𝑠𝑒𝑛𝜃
−𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃
=𝑟
𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃
De allí que
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 =
𝑆𝑥𝑦
𝑓 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 . 𝑟. 𝑑𝑟𝑑𝜃
𝐷𝑟𝜃
Esta transformación se utiliza, por lo general, cuando aparece 𝑥 2 + 𝑦 2 en el
integrando o en los límites de integración.
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DOBLE
Si f : D ⊂ 𝑅2 → 𝑅 es continua sobre la región acotada D.
1. 𝐴𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑖ó𝑛 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑎 𝐷
𝐴 𝐷 =
𝑑𝑥𝑑𝑦
𝐷
2. 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑠ó𝑙𝑖𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝐷 𝑦 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑓 𝑥, 𝑦
𝑉 𝑆 =
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴
𝐷
3. Area de la superficie S : z = f (x,y) ,limitada por la curva C. C es la frontera
S. D es la región limitada por la proyección de C sobre el plano XY.
1 + (𝑧𝑥 )2 +(𝑧𝑦 )2 𝑑𝐴
𝐴 𝑆 =
𝐷
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DOBLE
4. Masa. Si R es la región del plano ocupada por una lámina cuya densidad en
cada punto P(x,y) es 𝜌 𝑥, 𝑦 . Entonces la masa de la lámina es:
𝑚=
𝜌 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴
𝑅
5. Centro de masa .
𝑚𝑦
𝑥=
=
𝑚
𝑅
𝑚𝑥
𝑦=
=
𝑚
𝑅
𝑅
𝑅
𝑥𝜌 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴
𝜌 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴
𝑦 𝜌 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴
𝜌 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴
Ejemplos. Dibujar la región de integración y calcular la s integrales dobles siguientes:
1)
4𝜋 𝑦
𝑠𝑒𝑛𝑦
0
0
𝑑𝑥𝑑𝑦
En esta integral x varía entre 0 e y , mientras y varía entre 0 y 4π ; es decir
0≤x ≤ y
0≤ y ≤ 4π
Y
4𝜋 𝑦
𝑠𝑒𝑛𝑦
0
0
𝑑𝑥𝑑𝑦 =
=
=
4𝜋 𝑦
( 0 𝑠𝑒𝑛𝑦 𝑑𝑥)𝑑𝑦
0
4𝜋
𝑦
𝑥𝑠𝑒𝑛𝑦]
𝑑𝑦
0
0
−𝑦𝑐𝑜𝑠𝑦 + 𝑠𝑒𝑛𝑦]4𝜋
0
4π
x=y
= −4𝜋
Luego,
4𝜋 𝑦
𝑠𝑒𝑛𝑦
0
0
0
𝑑𝑥𝑑𝑦 = -4π
Cambiando el orden de la integración:
4𝜋 𝑦
𝑠𝑒𝑛𝑦
0
0
X
4𝜋
4𝜋
0≤x ≤ 4π
𝑑𝑥𝑑𝑦 = 0 ( 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑦 𝑑𝑦)𝑑𝑥 =
= - ( x – senx ) ]4𝜋
0 = - 4𝜋
,
x ≤ y ≤ 4π
4𝜋
4𝜋 𝑑𝑥
(−𝑐𝑜𝑠𝑦)
]
𝑥
0
= −
4𝜋
0
𝑐𝑜𝑠4𝜋 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥
2 2
𝑥 1 + 𝑦 3 𝑑𝑦𝑑𝑥
2)
0 𝑥
2
4
3)
𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑦
0 𝑦2
3
9
𝑦𝑐𝑜𝑠 𝑥 2 𝑑𝑥𝑑𝑦
4)
0 𝑦2
8
2
4
𝑒 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦
5)
0 3𝑦
8
2
6)
0 3𝑦
𝑦
16 +
𝑥7
𝑑𝑥𝑑𝑦
II. Si
2 𝑥2
𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦𝑑𝑥
1 𝑥
+
a) Graficar la región D
4 4
𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦𝑑𝑥
2 𝑥
=
𝐷
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴
b) Calcular como una sola integral
III: Efectuar un cambio de variable para calcular
𝐷
𝑥 − 2𝑦
𝑠𝑒𝑛
𝑑𝑥𝑑𝑦 ; 𝐷: 𝑥 = 0 , 𝑦 = 0,
𝑥 + 2𝑦
Sea la transformación T:
𝑢 = 𝑥 − 2𝑦
⟹𝑥=
𝑣 = 𝑥 + 2𝑦
𝑢+𝑣
2
,𝑦 =
𝑥 + 2𝑦 = 4
𝑣−𝑢
4
y
𝑥𝑢
J(u,v) = 𝑦
𝑢
1
2
𝑥𝑣
𝑦𝑣 = − 1
4
1
2
1
4
1
=4
2
X+2Y=4
Por otro lado, transformando D,
a) x= 0 , y ∈ 0,2 , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑇
0
V = -u , u = -2y , luego u ∈ [-4, 0 ]
4
x
b) y = 0 , x∈ [0 , 4 ] , entonces v= u , u = x luego u∈ [0, 4 ]
V
c) x + 2y = 4 , 𝑥 ∈ 0 , 4
𝑢+𝑣
𝑣−𝑢
+2
= 4 ; 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑣 = 4
2
0 ≤ x≤4 , y , x=
Pero
𝑢+4
2
Entonces 0 ≤
𝐷
4
=
𝑣
2
0
4 1
−2𝑣
0
0
𝑢+𝑣
2
=
𝑢+4
2
𝑥 − 2𝑦
𝑑𝑥𝑑𝑦 =
𝑥 + 2𝑦
𝑢 1
𝑠𝑒𝑛
. . 𝑑𝑢𝑑𝑣
𝑣 4
𝑐𝑜𝑠
𝑢
𝑣
v=- u
≤ 4 ; 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 − 4 ≤ 𝑢 ≤ 4
𝑠𝑒𝑛
=
4
4
1
]𝑣0 𝑑𝑣 = − 2
4
𝑣
0
𝑠𝑒𝑛
𝐷𝑢𝑣
v=u
0
U
𝑢 1
. . 𝑑𝑢𝑑𝑣
𝑣 4
; 𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑞𝑢𝑒 − 𝑣 ≤ 𝑢 ≤ 𝑣 ,
1
0≤𝑣 ≤4
𝑐𝑜𝑠1 − cos 0 𝑑𝑣 = 4 (1 − 𝑐𝑜𝑠1)𝑣 2 ]40 = 4(1-cos1)
INTEGRALES TRIPLES SOBRE RECTÁNGULOS
Si f : R ⇾ IR es una función continua sobre R
siguiendo el método del cálculo integral,
luego de definir una partición sobre cada
uno de los intervalos [ a , b ], [ c , d ] ,
[ u , v ] en m, n y l subintervalos, respectivamente, entonces R queda dividido en mnl
pequeños paralelepípedos de la forma
B ijk = [ xi-1 , xi ]x[yj-1 , yj ]x[zk-1 , zk ]
Cuyo volumen es
Δijk V= Δi x Δj y Δk z
INTEGRAL TRIPLE
INTEGRAL TRIPLE
PROPIEDADES DE LA INTEGRAL TRIPLE
Las Propiedades del 1 al 6 de las integrales dobles se generalizan para las integrales
Triples, en general sobre un sólido Q , se tiene:
1)
2)
𝑄
𝑘 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 ± 𝑐 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑉 = 𝑘
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉 =
𝑄1
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉 +
donde Q = 𝑄1 ∪ 𝑄2 .
𝑄1 y 𝑄2 se llaman «solapamientos»
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 ± 𝑐
𝑄2
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉
𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧)
CÁLCULO DE INTEGRALES TRIPLES – INTEGRAL ITERADA
dV
EVALUACIÓN DE INTEGRALES ITERADAS
Si R es el rectángulo R = [a, b] x [c , d] x [u , v ] sobre el cual f
es integrable, entonces
𝑣
𝑑
𝑏
𝑣
𝑏
𝑑
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 =
𝑢
𝑐
𝑎
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑧 = 𝑒𝑡𝑐
𝑢
𝑎
𝑐
REGIONES DE INTEGRACIÓN
1. Si R : 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 , ∅1 𝑥 ≤ 𝑦 ≤ ∅2 𝑥 ,
𝛾1 (𝑥, 𝑦) ≤ 𝑧 ≤ 𝛾2 (𝑥, 𝑦)
La región de integración R ,es proyectada
Sobre el plano XY.
𝑏
∅2 𝑥
𝛾2 (𝑥,𝑦)
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉 =
𝑅
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥
𝑎
∅1 𝑥
𝛾1 (𝑥,𝑦)
𝐎𝐓𝐑𝐀𝐒 𝐑𝐄𝐆𝐈𝐎𝐍𝐄𝐒 𝐃𝐄 𝐈𝐍𝐓𝐄𝐆𝐑𝐀𝐂𝐈Ó𝐍
X= f(y,z)
Y=f(x,z)
Ejemplo 1
Proyectando sobre el plano XY, hacemos z = 0 , entonces
y = 𝑥 2 , 𝑝𝑒𝑟𝑜 𝑦 = 4 , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥 = −2 ∨ 𝑥 = 2
y

-2≤ 𝑥 ≤ 2

𝑥2 ≤ 𝑦 ≤ 4

− 𝑦
− 𝑥2
≤𝑧≤
𝑦
− 𝑥2
y








x



Ejemplo 2
Determinar el sólido cuyo volumen es dado por la integral
1 𝑦 1−𝑦 2
𝑑𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦
0 0
0≤ 𝑦 ≤ 1
0≤x≤y
0 ≤ z ≤ 1 - 𝑦2
0
TEOREMA DE FUBINI PARA INTEGRALES TRIPLES
Si suponemos que la región de integración es de la primera forma
Q: a≤ 𝑥 ≤ 𝑏 , 𝜑1 𝑥 ≤ 𝑦 ≤ 𝜑2 𝑥 , 𝛾1 𝑥, 𝑦 ≤ 𝛾2 𝑥, 𝑦 , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ∶
𝑏
,𝜑2 𝑥
𝛾2 𝑥,𝑦
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 =
𝑄
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥
𝑎
,𝜑1 𝑥
𝛾1 𝑥,𝑦
𝛾2 𝑥,𝑦
=
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥
𝐷
𝛾1 𝑥,𝑦
Cambio de Variable
𝐹 𝑢, 𝑣, 𝑤 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 = (𝑥 𝑢, 𝑣, 𝑤 ,y 𝑢, 𝑣, 𝑤 , z 𝑢, 𝑣, 𝑤 )
CAMBIOS DE VARIABLES: JACOBIANOS
CAMBIO DE VARIABLES EN INTEGRALES TRIPLES
COORDENADAS CILINDRICAS
rsen𝜃
CAMBIO A COORDENADAS CILINDRICAS
DIFERENCIAL DE VOLUMEN EN COORDENADAS CILINDRICAS
La integral triple en coordenadas cilíndricas
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉 =
𝑅𝑥𝑦𝑧
𝑓 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃, 𝑧 . 𝑟. 𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝑧
𝐷𝑟𝜃𝑧
Coordenadas Esféricas
X= 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜑 , 𝑦 = 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜃𝑠𝑒𝑛𝜑 𝑧 = 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜑
F(𝜌 , 𝜃 , 𝜑 ) = 𝑥, 𝑦 𝑧 = (𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜑, 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜃𝑠𝑒𝑛𝜑 , 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜑 )
𝜕(𝑥, 𝑦, 𝑧)
= − 𝜌2 𝑠𝑒𝑛 𝜑
𝜕(𝜌 , 𝜃 , 𝜑)
CAMBIO A COORDENADAS ESFERICAS
DIFERENCIAL DE VOLUMEN EN COORDENADAS ESFÉRICAS
z = 1 - 𝑥2 , 𝑥 + 𝑦 = 1 , 𝑥 = 𝑦 = 𝑧 = 0
y + z = 2 , x = 4 - 𝑦2 , 𝑥 = 𝑦 = 𝑧 = 0
MOMENTOS DE INERCIA DE UNA REGIÓN SÓLIDA
Cambio de Variable
𝐹 𝑢, 𝑣, 𝑤 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 = (𝑥 𝑢, 𝑣, 𝑤 ,y 𝑢, 𝑣, 𝑤 , z 𝑢, 𝑣, 𝑤 )
CAMBIOS DE VARIABLES: JACOBIANOS
CAMBIO DE VARIABLES EN INTEGRALES TRIPLES
COORDENADAS CILINDRICAS
rsen𝜃
CAMBIO A COORDENADAS CILINDRICAS
La integral triple en coordenadas cilíndricas
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉 =
𝑅𝑥𝑦𝑧
𝑓 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃, 𝑧 . 𝑟. 𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝑧
𝐷𝑟𝜃𝑧
Coordenadas Esféricas
X= 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜑 , 𝑦 = 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜃𝑠𝑒𝑛𝜑 𝑧 = 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜑
F(𝜌 , 𝜃 , 𝜑 ) = 𝑥, 𝑦 𝑧 = (𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜑, 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜃𝑠𝑒𝑛𝜑 , 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜑 )
𝜕(𝑥, 𝑦, 𝑧)
= − 𝜌2 𝑠𝑒𝑛 𝜑
𝜕(𝜌 , 𝜃 , 𝜑)
z = 1 - 𝑥2 , 𝑥 + 𝑦 = 1 , 𝑥 = 𝑦 = 𝑧 = 0
y + z = 2 , x = 4 - 𝑦2 , 𝑥 = 𝑦 = 𝑧 = 0