Transcript Integrales

INTEGRALES
Áreas y Distancias
El problema del cálculo de área
Encontrar el área S que está debajo de la curva y =
f(x) y sobre el eje de las x, de a a b.
INTEGRALES
A≈R4
A≈L4
INTEGRALES
INTEGRALES
INTEGRALES
INTEGRALES
El problema de la distancia
La distancia aproximada recorrida en los primeros 5 segundos es:
La distancia recorrida de t=5 a t=10 es aproximadamente:
De tal forma que la distancia aproximada en todo el recorrido es:
INTEGRALES
INTEGRALES DEFINIDAS
Nota 1: El símbolo ʃ es el símbolo de integración.
Nota 2: f(x) es llamado el integrando y a,b son los límites de integración.
Nota 3: dx indica (por el momento) que la variable independiente es x.
Nota 4:
es un número; no depende de x. De hecho se podría haber escrito
Nota 5:
es llamada suma de Riemann.
INTEGRALES DEFINIDAS
Donde A1 es el área sobre el eje de las x y debajo de f(x) y A2 es el
área debajo del eje de las x y por arriba de f(x).
INTEGRALES DEFINIDAS
En general, cuando escribimos:
Remplazamos
INTEGRALES DEFINIDAS
Evaluando integrales
INTEGRALES DEFINIDAS
INTEGRALES DEFINIDAS
Propiedades de la Integral Definida
Propiedad 2
Propiedad 3
INTEGRALES DEFINIDAS
Propiedad 8
INTEGRALES DEFINIDAS
Teorema fundamental del cálculo
Para establecer este teorema es necesario la siguiente función:
Donde f es una función continua y x varia de [a,b]. Observe que g es
una función de x.
INTEGRALES DEFINIDAS
Si tomamos f(t) = t y a = 0, utilizando el ejercicio visto en clase, tenemos:
Un demostración intuitiva
INTEGRALES DEFINIDAS
INTEGRALES DEFINIDAS
INTEGRALES INDEFINIDAS Y EL TEOREMA DEL CAMBIO NETO
Integrales Indefinidas
Integrales Definidas
INTEGRALES INDEFINIDAS Y EL TEOREMA DEL CAMBIO NETO
INTEGRALES INDEFINIDAS Y EL TEOREMA DEL CAMBIO NETO
Aplicaciones
INTEGRALES INDEFINIDAS Y EL TEOREMA DEL CAMBIO NETO
INTEGRALES INDEFINIDAS Y EL TEOREMA DEL CAMBIO NETO
LA REGLA DE SUSTITUCIÓN
No hay regla directa que nos proporcione al integral de la siguiente expresión:
Suponga que hacemos una sustitución (cambio de variable): u=1 + x2, y definimos
la du = 2x dx.
Comprobando el resultado, se tiene:
En general este método funciona siempre que se tenga
que si F’=f, entonces
Y por la regla de la cadena se obtiene:
. Observe
LA REGLA DE SUSTITUCIÓN
Haciendo el cambio de variable u =g(x):
O si escribimos F’=f
LA REGLA DE SUSTITUCIÓN
Integrales definidas
LA REGLA DE SUSTITUCIÓN
Prueba:
Si hacemos u = -x
Hacer ejemplo 10 y 11 p. 406