Transcript Gruppe 1 - Mathematik und ihre Didaktik

Erwartungswert
AUFGABE 7.1.
PRÄSENTATION VON
BASTIAN OBST UND FRANZ ZEH
Gliederung
 Aufgabenstellung , Lösungswege und Definition
 Kritische Analyse unter (fach-)didaktischen




Gesichtspunkten
Neue Aufgabe und Lösung
Definition Erwartungswert
Modell- und Beobachtungsebene
Quellen
Aufgabenstellung
1. Lösungsweg
2. Lösungsweg
Kritische Analyse unter (fach)didaktischen Gesichtspunkten
Einordnung im Rahmenplan
 Erwartungswert einer Wahrscheinlichkeitsverteilung:
Thema Oberstufe 11,12, Leistungskursniveau (II
Anwendung, Vertiefung und Systematisierung)
 Zufallsgrößen und deren
Wahrscheinlichkeitsverteilung ( Erwartungswert,
Varianz und Standardabweichung), s. S 36f.
Rahmenlehrplan für die gymnasiale Oberstufe
Kritische Analyse unter (fach)- didaktischen
Gesichtspunkten
 Welche allgemeinen Kompetenzen nach
Rahmenplan werden angesprochen?
 Sachkompetenz: Inhalte (Lösungen 1 und 2)
verstehen, Ordnungen und Strukturen (Tabelle 1,2
und 3) erkennen
 Methodenkompetenz: Umgang mit Medien (Buch),
Begründung und Überprüfung von Annahmen ( der
Lösungen 1 und 2)
Kritische Analyse unter (fach)- didaktischen
Gesichtspunkten
 Soziale Kompetenz: Eingehen auf (Buch-)Argumente
 Personale Kompetenz: Entscheidungen fällen und
begründen (Lohnt sich das Spielen von
Glücksautomaten? Kann ich damit mein
Taschengeld aufstocken?)
Kritische Analyse unter (fach)- didaktischen
Gesichtspunkten
 Welche prozessbezogenen mathematischen
Kompetenzbereiche werden angesprochen?
 Schöpferisch tätig sein, kreativ sein, Problem lösen:
Zusammenhänge (Lösung 1 und Lösung 2) erkennen,
nutzen und (später) auf ähnliche Situationen übertragen
(Analogie bilden)
 Argumentieren: Aussagen (Lösung 1 und Lösung 2)
hinterfragen und überprüfen, Zusammenhänge erkennen
(Erwartungswert) und Netzwerke bilden ( Wie berechne
ich Erwartungswert E(x)?), Begründungen (Lösungen 1
und 2) suchen und nachvollziehen
Kritische Analyse unter (fach)- didaktischen
Gesichtspunkten
 Mathematisieren/ Modellieren: Sachtexten,
Darstellungen (Tabellen in Lösung 1 und 2) etc.
relevante Informationen entnehmen (filtern)
 Formalisieren: Darstellungen (Lösungen 1 und 2
bzw. Tabelle 1 und 2) miteinander vergleichen und
bewerten
 Kommunizieren: Lösungswege andere verstehen und
gemeinsam darüber reflektieren
Kritische Analyse unter (fach)- didaktischen
Gesichtspunkten
Mögliche Lernziele der Unterrichtsstunde
 SuS lernen Erwartungswert kennen
 SuS können mit Erwartungswert argumentieren
 SuS können Erwartungswert anwenden
 (SuS können Erwartungswert auch bei Variation
anwenden)
Kritische Analyse unter (fach)- didaktischen
Gesichtspunkten
 Intelligenzentwicklung nach Piaget
 Das viere Stadium der formalen Operationen wird
angesprochen (kein Bild oder Automat vorhanden),
Beginn des hypothetisch-deduktiven, formal
abstrakten Denkens (nur Text und Tabellen
vorhanden)
Kritische Analyse unter (fach)- didaktischen
Gesichtspunkten
 Operative Prinzipien (Zech)
 Prinzip der Stufengemäßheit: Denkentwicklung
verläuft von mehr konkret handelnden zu formal
abstraktem Denken (hier nur Text und formal
abstrakte Denken per Vorstellung der
Lösungswege 1 und 2 vorhanden)
Kritische Analyse unter (fach)didaktischen Gesichtspunkten
 Prinzip der Verinnerlichung und Verzahnung der
Darstellungsebenen: Auf jede (praktische)
Handlung folgt eine Phase der Reflexion zu
konkreter, formaler und symbolischer Ebene
(enaktive Ebene ist nicht geboten, ikonische Ebene
sind Tabellen, Kasten der Definition, Reflexion der
Lösungswege 1 und 2, symbolische Ebene: Inhalt
der Definition)
Kritische Analyse unter (fach)- didaktischen
Gesichtspunkten
 Prinzip der Variation des Unwesentlichen:
Vermeidung falscher Vorstellungen



Variation der Veranschaulichungsmittel (Text und Tabellen)
Mathematische Variation auf ikonischen Ebene: (nur Tabellen
vorhanden)
Variation der Anwendungsgebiete (nicht vorhanden da
Einführung)
 Prinzip des operativen Durcharbeitens:
 Systematische Variation der Ausgangssituation: (Nicht
vorhanden)
 Variation des Lösungsweges: (Ja, zwei Lösungen)
 Variation der gesuchten Größe: (nein, aber auch für
Einführung des Themas zu früh)
Kritische Analyse unter (fach)- didaktischen
Gesichtspunkten
 Motivation
 Eingangsmotivation: SuS sehen die Notwendigkeit,
Zweckmäßigkeit oder Sinn in der Beschäftigung
mit einem Gegenstand? (Ja, ist vorhanden. Der
Spielautomat gehört zu der Erfahrungswelt der
SuS. SuS kennen Automaten, haben vielleicht
schon gespielt. Wie Automat aus stochastischer
Sicht aufgebaut ist, kann SuS motivieren, sie
können entscheiden, ob sich das Spielen mit dem
Automaten lohnt oder nicht.)
Kritische Analyse unter (fach)- didaktischen
Gesichtspunkten
 Bedingungen für Eingangsmotivation nach Zach:
 Es handelt sich um ein echtes Problem ( Ja, es fand keine
offensichtliche didaktische Reduktion statt)
 Leichtes Problem, dass nicht zu komplex ist (Ja, Lösung 1
macht dies vorbildlich)
 Kurzer Weg zur Lösung (Nach Aufgabenstellung Ist die
Lösung sofort vorhanden)
 Mit Vorwissen gar nicht oder umständlich zu lösen:
(Davon ist auszugehen)
 Einfach und klar formuliert: (Dies gilt für die
Aufgabenstellung und die erste Lösung, dagegen ist
Lösung zwei komplizierter formuliert)
Kritische Analyse unter (fach)- didaktischen
Gesichtspunkten
 Verlaufsmotivation: SuS sollten sehen, das jeder Schritt notwendig,
zweckmäßig oder sinnvoll ist (Ja, Aufgabenstellung ist so angefertigt:
„Welchen Gewinn kann man im Mittel pro Spiel erwarten? Bestimme
zunächst den Mittelwert des Gewinns in 100 Spielen.“ Dies ist die
Überführung zur Lösung 1. Allerdings ist keine Überführung von
Lösung 1 zur Lösung 2 vorhanden, so dass diese alternative Lösung
„vom Himmel fällt“. Schade, da diese Lösung, die auf bisheriges Wissen
aufbaut „Analog zur Mittelwertbildung…“ dann auch zur Definition
verwendet wird. Zwischen Lösung 2 und Definition wird per Reflexion
nochmals auf das Ergebnis der oberen Aufgabe hingewiesen, bevor die
Definition folgt. Nach der Definition kommt ein noch ein Ratschlag
„Die Berechnung des Erwartungswertes einer
Wahrscheinlichkeitverteilung erfolgt am zweckmäßigsten mithilfe einer
Tabelle“)
 Isomorphie- und Permanenzprinzip: Bekanntes soll erhalten bleiben
(Ja, wird auch hier verwendet, da auf die Analogie zur
Mittelwertbildung hingewiesen wird, und um Neues erweitert wird.)
Kritische Analyse unter (fach)- didaktischen
Gesichtspunkten
 Begriff (nach Vollrath)
 Es handelt sich bei der Definition des Erwartungswertes





gemäß Vollrath um einen Begriff, der in 5 Stufen erlernt
werden kann.
Man kann eine Definition angeben (Ja, siehe Definition
Buch)
Man kann Begriff identifizieren (Im vorliegenden
Ausschnitt nicht vorhanden)
Selbst Beispiel angeben (Für die Einführung noch zu
früh)
Kennt Eigenschaften des Begriffs (s.o.)
Begriff anwenden (s. o.)
Aufgabe:
 Der Trainer einer Schützenmannschaft steht vor der
Wahl, von 2 guten Schützen A und B einen für einen
internationalen Wettkampf zu nominieren.
 Daher vergleicht er die letzen Schießleistungen der
beiden Schützen.
 Unter Verwendung von 10 Ring-Scheiben (10 im
Zentrum) erbrachten die letzten 100 Schüsse der
beiden Schützen die folgenden Ergebnisse:
Aufgabe
Schütze A:
33 mal die 10, 37 mal die 9, 28 mal die 8,
2 mal die 7
Schütze B:
30 mal die 10, 44 mal die 9, 26 mal die 8, keine 7
Wie soll der Trainer auswählen?
Lösung:
Erklärung:
Zufallsgröße X ordnet den Ringen von außen nach
innen die Zahlen 1,2,…,10 zu.
Folglich wird Mittelwert berechnet, um den besseren
Schützen zu ermitteln.
Lösung:
 Ersichtlich, dass Schütze B im arithmetischen
Mittel höhere Trefferquote hat
 Trainer erwartet, dass Schütze B auch in Zukunft
besser als Schütze A
 Trainer benutzt Mittelwerte als zukünftige
Prognosen
Definition Erwartungswert
Bekannt ist:
 Relative Häufigkeiten bei häufiger Durchführung
eines Experimentes verwendbar, um
Wahrscheinlichkeiten weiterer Experimente zu
schätzen
 Hier benutzt man den Mittelwert einer
Häufigkeitsverteilung zur Prognose des Wertes, den
man bei jeder Durchführung des Experimentes
erwarten kann
Definition Erwartungswert
 Diesen Wert nennt man Erwartungswert
 Der Trainer nimmt 9,01 und 9,04 als
Erwartungswerte aller zukünftigen Schüsse der
Schützen an
 Der Trainer definiert die Zahlen, die für die rel.
Häufigkeiten benötigt wurden, als
Wahrscheinlichkeiten für die Ringzahlen bei
weiteren Versuchen
Definition Erwartungswert
 Der Erwartungswert ist der Wert, der im Mittel als
Wert der Zufallsgröße bei jeder weitern
Durchführung des Experimentes zu erwarten ist.
 Der Erwartungswert kann zum Schätzen des
Mittelwertes einer noch durchzuführenden
Messreihe genutzt werden
 Der Erwartungswert hat Bedeutung eines im
Idealfall auftretenden Mittelwertes
Definition Erwartungswert
 Daher analoge Berechnung zum Mittelwert,
wobei rel. Häufigkeiten durch
Wahrscheinlichkeiten ersetzt werden
Definition Erwartungswert
Definition Erwartungswert
Mögliche Definition durch Schüler:
„Der Erwartungswert E(X) einer Zufallsgröße X
ist der Wert, der beim mehrfachen Durchführen
des Zufallsexperimentes im Durchschnitt zu
erwarten ist. Der Erwartungswert wird
berechnet, indem man die einzelnen Werte der
Zufallsgröße mit ihren Wahrscheinlichkeiten
multipliziert und die Ergebnisse addiert“
Definition Erwartungswert
Mögliche theoretischere Definition:
Definition Erwartungswert
Wichtig:
 Algebraisch besteht kein Unterschied zwischen
Erwartungswert und Mittelwert, aber stochastisch!
 Mittelwert macht Aussage über gesammelte
Daten
 Erwartungswert macht Aussage über in Zukunft zu
erwartende Daten
Beobachtungs- und Modellebene
Quellen:
 Einführung in die Mathematik, Stochastik
Grundkurs (Kittler, Schröder, Wölz, Diesterweg
Verlag, 1985)