k-sigma-Intervalle - Mathematik und ihre Didaktik
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Transcript k-sigma-Intervalle - Mathematik und ihre Didaktik
08.02.2012
Vortrag zu dem Thema
Fachmathematischer
Hintergrund
k-Sigma-Intervalle
Hochschul- und
schulmathematische
Herangehensweisen
Eigene Lerneinheit
Humboldt-Universität zu Berlin
Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät II
Seminar Ausgewählte Kapitel der Didaktik der Mathematik
Institut für Mathematik
Dozentin: Dr. rer. nat. Elke Warmuth
Referenten: Martin Breslein, Alexander Friedrich
Bernoulli-Versuch
- Nur 2 mögliche Ausgänge (Erfolg und Misserfolg)
Fachmathematischer
Hintergrund
Hochschul- und
schulmathematische
Herangehensweisen
Eigene Lerneinheit
- bei n-facher Ausführung von voneinander
unabhängigen Bernoulliversuchen gilt
n
nk
P( X k ) p k 1 p
k
wobei p Erfolgswahrscheinlichkeit und X Anzahl der
Erfolge
Binomialverteilung
n
nk
P( X k ) p k 1 p
k
- Wie ist X verteilt?
Fachmathematischer
Hintergrund
Hochschul- und
schulmathematische
Herangehensweisen
Eigene Lerneinheit
X, als die Anzahl der Erfolge, ist binomialverteilt
Terme
n
k
sind Binomialkoeffizienten
Erwartungswert
E(X) = np
Varianz
V(X) = np(1-p)
Standardabweichung V (X ) = np(1 p)
k-Sigma-Intervalle
n
nk
P( X k ) p k 1 p
k
Fachmathematischer
Hintergrund
Hochschul- und
schulmathematische
Herangehensweisen
Eigene Lerneinheit
- Für n gilt, dass rund
o 68, 27% der Ausgänge in der - Umgebung
des Erwartungswertes [ np np(1 p) ; np np(1 p) ]
liegen
o 95,45% der Ausgänge in der 2 - Umgebung
des Erwartungswertes [ np 2 np(1 p) ; np 2 np(1 p) ]
liegen
o 99,73% der Ausgänge in der 3 - Umgebung
des Erwartungswertes [ np 3 np(1 p) ; np 3 np(1 p) ]
liegen
Warum ist das so?
k-Sigma-Intervalle
P(| X | k )
P( k X k )
k X k
P(
)
Fachmathematischer
Hintergrund
NV
Hochschul- und
schulmathematische
Herangehensweisen
Eigene Lerneinheit
;
X
P( k Z k )
P(k Z ) P(k Z ) P(k Z ) (1 P(k Z ))
(k ) (k ) (k ) (1 (k ))
2(k ) 1
=> für n
P(| X | 1 ) 68,27%
P(| X | 2 ) 95,45%
P(| X | 3 ) 97,73%
Z
1. These
Die Behandlung der Normalverteilung ist für die Schule
zu komplex, daher sollte auch die k-Sigma-Regel nicht
behandelt werden.
Forderungen des Rahmenlehrplans
Fachmathematischer
Hintergrund
Hochschul- und
schulmathematische
Herangehensweisen
Eigene Lerneinheit
4. KH Leistungskurs Stochastik:
- Normalverteilung als Grenzfall einer Binomialverteilung
Umsetzung in Lehrbüchern
Fachmathematischer
Hintergrund
Hochschul- und
schulmathematische
Herangehensweisen
Eigene Lerneinheit
Bildquelle: Baum (2007),
S.30.
2. These:
Die k-Sigma-Regeln nur zu nennen und danach
anzuwenden, ist für den Schulunterricht
ausreichend.
Umsetzung in anderen Lehrbüchern:
Bsp.: Schroedel (1986 und 2007)
- Normalverteilung vorerst nicht erwähnt
Fachmathematischer
Hintergrund
- Nur Beobachtung der Histogramme von
Binomialverteilungen
Hochschul- und
schulmathematische
Herangehensweisen
Eigene Lerneinheit
mit zunehmendem Stichprobenumfang
Histogramme immer symmetrischer
Ermittlung der Werte für k- -Umgebungen an
verschiedenen Stichproben
- Begleitender Satz: „Dies gilt insbesondere, wenn
n p (1 p) 9 (Laplace-Bedingung).“
Aufgabe:
Stimmanteile in Prozent
SPD CDU
GRÜNE
28,3 23,3
17,6
DIE LINKE
11,7
FDP
1,8
PIRATEN
8,9
Sonstige
8,3
Berlinwahl vom 18.09.2011
32
11
4
4
6
23
20
Vorhersage Emnid vom 04.09.2011
Fachmathematischer
Hintergrund
Hochschul- und
schulmathematische
Herangehensweisen
Eigene Lerneinheit
a) Angenommen Emnid hat 2000 Berliner Wahlberechtigte gefragt, was
sie wählen werden. In welchem Sigma-Intervall um den
Erwartungswert liegt dann die Vorhersage von Emnid bezüglich des
Stimmenanteils der Piratenpartei, wenn deren Anteil 8,9% beträgt?
b) Schätze ab, welchen Stichprobenumfang Emnid gewählt haben müsste,
damit die Vorhersage bezüglich des Stimmenanteils der Piratenpartei
(mit einem tatsächlichen Anteil von 8,9%) im 3-Intervall liegt! Ist die
>3) erfüllt?
Laplace-Bedingung (
c) Welche Gründe (abgesehen vom gewählten Stichprobenumfang) könnte
es für die Qualität der Vorhersage von Emnid geben?
d) Du sollst bei der nächsten Bundestagswahl eine Prognose erstellen.
Wie groß wählst du deinen Stichprobenumfang? Begründe!
Zahlenquelle: Die Landeswahlleiterin für Berlin unter http://www.wahlenberlin.de/wahlen/BE2011/ergebnis/karten/zweitstimmen/ErgebnisUeberblick.asp?sel1=1052&sel2=0651
Zu a)
n=2000; p = 0,089; E (X)= 178; 12,734127; => Für Piratenpartei ist
1- Intervall um Erwartungswert [166;190]
2- Intervall um Erwartungswert [153;203]
3- Intervall um Erwartungswert [140;216]
4% von 2000 sind 80 => 8- Intervall
Zu b) Übertritt von 4
Stichprobenumfang
2000
1000
500
250
Zu c)
-
-Intervall zu 3 -Intervall bei n=303
Erwartungswert
178
89
44,5
22,25
Standardabweichung
12,7
9
6,4
4,5
3- Untergrenze
140
62
25
8,75
4%
80
40
20
10
Datum (Infratest Dimap vom 8.9.: 6,5%; Forschungsgruppe Wahlen vom 9.9: 5,5%)
eventuell falsch eingeschätzte Wahlbeteiligung (Wahlbeteiligung 60,2%)
Befragung des falschen Klientel
…
Zu d) Um Laplace-Bedingung bei Wähleranteil von 8,9% der Piraten zu erfüllen reicht Stichprobenumfang von 112 Personen.
=> scheint aber nicht auszureichen um repräsentative Ergebnisse zu erhalten
Die Laplace-Bedingung ist eine Faustregel!
Sie sollte nicht als Gütekriterium herangezogen werden und
beispielsweise auch nicht dafür verwendet werden, einen geeigneten
Stichprobenumfang herauszufinden.
3. These:
Für Meinungsumfragen ist ein möglichst großer
Stichprobenumfang ( ≥ 2000) das entscheidende
Gütekriterium.
Literatur
Baum, M. (2007). LS Stochastik. Stuttgart: Klett.
Bosch, K. (2007). Basiswissen Statistik. München: Oldenbourg.
Griesel, H. u.a. (2007). Elemente der Mathematik - Stochastik. Braunschweig:
Schroedel.
Kütting, H. & Sauer, M.J. (2008). Elementare Stochastik. Berlin: Springer.
Senatsverwaltung für Bildung, Jugend und Sport Berlin (2006). Rahmenlehrplan
für die gymnasiale Oberstufe - Mathematik. Berlin: Oktoberdruck AG.
Strick, H. K. (1986). Einführung in die Beurteilende Statistik. Hannover:
Schroedel
Warmuth, E. & Warmuth, W. (1998). Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung.
Leipzig: Teubner.