Transcript 2.3晶向指数和晶面指数

晶向指数和晶面指数
晶向：在晶格中，穿过两个以上结点的任一直线，
都代表晶体中一个原子列在空间的位向，称为晶向。

晶面：由结点组成的任一平面都代表晶体的原子平
面，称为晶面。

Miller（密勒）指数统一标定晶向指数和晶面指数
晶体中不同的晶面和不同的方向上原子的排列方
式和密度不同，构成了晶体的各向异性。
晶向指数
任意阵点P的位置
可以用矢量或者坐
标来表示。
OP = u a + v b + w c
晶向指数：[ u v w]
晶向指数的确定步骤
(1) 以晶胞的某一阵点O为原点，过原点O的晶轴为坐标轴x,y,
z, 以晶胞点阵矢量的长度作为坐标轴的长度单位。
(2) 过原点O作一直线OP，使其平行于待定晶向。
(3) 在直线OP上选取距原点O最近的一个阵点P，确定P点的3
个坐标值。
(4) 将这3个坐标值化为最小整数u，v，w，加以方括号，
[u v w]即为待定晶向的晶向指数。
以晶向DA为例：
晶向OA ： [100]
晶向OB ： [110]
晶向OB’ ： [111]
立方晶胞中的主要晶向
晶向指数一般标记为[uvw]，
表示一组原子排列相同的平行晶向。
晶向指数的意义
（1）一个晶向指数代表相互平行、方向一致的所有晶向
（2）负值：标于数字上方，表示同一晶向的相反方向。
uvw 
   
uvw




例如：
是指向相反的同一方向。
010 
  
010




晶向族
晶向族：晶体中原子排列情况相同但空间位向不同的一组晶
向，用<uvw>表示。
特点是晶向数字相同，但排列顺序不同或正负号不同的一组
晶向。
其根本原因是：由于点阵的对称性，使得这些非平行的阵点
直线经对称操作后完全重合，这些阵点直线在几何上是完全
等价的。
把这些等价的阵点直线合归为同一种阵点类型，称为方向族，
用<uvw>表示。对称性越高，方向族所含的方向越多。
例如立方系的对称性最高，方向族的3个指数可以任意交
换位置，他们也可以独立地改变正负号，如果三个指数的
顺序不变，每个指数独立地改变正负号就有：
uvw 


u vw




  
uvw







uv w




及它们的反向共8个指向，u、v、w3个指数互换共有6组，结
果立方晶系的<uvw>晶向共有24个等价方向，48个等价指向。
如立方晶系中 100 晶向族
100 
 
1 00




010 
  
010




001 
 
00 1




这六个晶向是立方体三个坐标轴方向，它们的基元排列情况
就完全相同。
但如果是正交晶系，[100] 、[010]、[001]这三个晶向就不
是等同晶向因为这三个晶向的格点间距分别为 a，b,c三者
不等，其上的基元排列情况不同，性质也不同，所以不能属
于同一晶向族。
111 晶向族包括8条体对角线。
111 
 
1 11




  
111




  
111




 
11 1




  
11 1




 
111




  
1 11




晶面指数
晶面指数标定步骤
（1） 在点阵中设定参考坐标系，坐标原点不能选在待标定的
晶面上。
（2）求得待定晶面在三个晶轴上的截距，若该晶面与某轴平
行，则在此轴上截距为无穷大；若该晶面与某轴负方向相截，
则在此轴上截距为一负值；
（3）取各截距的倒数；
（4）将三倒数化为互质的整数比，并
加上圆括号，即表示该晶面的指数，
记为( h k l )。
立方晶系的晶面表示方法
以晶面ABB’A’为例：
晶面指数的一般标记为
(hkl)。实际表示一组原子
排列相同的平行晶面。
立方晶胞中的主要晶面
晶面的截距可以为负数,
在指数上加负号,如
。
图 晶面指数的标定
立方晶系中的晶面指数
z
1/4
B
C
3/4
1/2
y
A
x
3/2
1/2
( 3 64 )
(3 4 0 )
( 346 )
晶面指数的意义
（1）晶面指数所代表的不仅是某一晶面，而是代表着 一
组相互平行的晶面。
（2）一个点阵平面的指数和坐标原点的选择无关，平行
面的面指数相同，如果不考虑面的极性（即不考虑面法线
指向的方向），则
   
hkl    h k l 


晶面族
（1）在晶体内凡晶面间距和晶面上原子的分布完全相同，
只是空间位向不同的晶面可以归并为同一晶面族，以{h k l}
表示，它代表由对称性相联系的若干组等效晶面的总和。
（2）如果不考虑面的极性，则一个面族所包含的等价面的
数目是相同指数的晶向指数的数目的一半。
{100} 晶面族
{111}
晶
面
族
{110}
晶
面
族
{112}  (112)  ( 1 12)  (1 1 2)  (112 ) 
(121)  ( 1 21)  (12 1)  (12 1 ) 
(211)  ( 2 11)  (2 1 1)  (21 1 )
Total: 12
{123}  (123)  ( 1 23)  (1 2 3)  (12 3 )  (132) 
( 1 32)  (1 3 2)  (13 2 )  (231)  ( 2 31) 
(2 3 1)  (23 1 )  (213)  ( 2 13)  (2 1 3) 
(21 3 )  (312)  ( 3 12)  (3 1 2)  (31 2 ) 
(321)  ( 3 21)  (3 2 1)  (32 1 )
Total: 4×3！=24
在立方晶系中, 一个晶面指数与一个晶向指数数值
和符号相同时, 则该晶面与该晶向互相垂直。
如：(111)⊥[111]、 [110] ⊥（110）。
晶面与晶向互相垂直
注意：
（1）坐标系可以平移，不可以旋转，
（2) 坐标原点可以选在任何结点上例如：顶点、体心、
面心，但不能选在待标定的晶面上。
（3）所有位于原点同一侧互相平行的晶面，都有相同的
指数，即（h k l）是表示一组平行的晶面。
（4）已知截距求晶面指数，则指数是惟一的；而已知晶
面指数，画晶面时，这个晶面就不是惟一的。
六方晶系指数
六方晶系的晶向指数和晶面指数同样可以应用上述方法标定，
这时取a1，a2，c为晶轴，而a1轴与a2轴的夹角为120度，c轴
与a1，a2轴相垂直。按这种方法，六方晶系六个柱面的晶面
指数应为
这六个面是同类型的晶面，但其
晶面指数中的数字却不尽相同 ，
不能显示六方晶系的对称性。
六方晶系晶面指数标定
根据六方晶系的对称特点，对六方晶系采用a1，a2，a3及c
四个晶轴，a1，a2，a3之间的夹角均为120度，这样，其晶
面指数就以(h k i l）四个指数来表示。
根据几何学可知，三维空间独立的
坐标轴最多不超过三个。前三个指
数中只有两个是独立的，它们之间
存在以下关系：i ＝－ ( h + k ) 。
  
 01 1 0 


  
 01 1 0 


于是六个晶面可以归并为{1010}晶面族
 

1
1
00




  
 10 1 0 


  
 01 1 0 


c
(10 1 2)
a3
a2
a1
(10 1 1)


   
1
012
11
2
0


 


 
  
 01 1 0 


c
c
2/3
B
a3
a3
A
a2
a2
a1
a1
(10 1 1)
A
(1 1 01 )
B
( 0003 )
六方晶系晶向指数标定
采用4轴坐标时，晶向指数的确定原则仍同前述晶向指数
可用｛u v t w｝来表示，这里 u + v = - t。
六方晶系晶向指数的表示方法(c轴与图面垂直)
六方晶系的一些晶向（面）指数
1
2
3
  
1210




c
B
a3
C
D
A
a2
a1
1/2
[ 2 116 ] [1 2 1 3 ] [ 2 11 3 ] [ 1 011 ]