Transcript CONFORMITE d`une distribution expérimentale à une distribution

CONFORMITE d’une distribution
expérimentale à une distribution
théorique
Professeur Pascale FRIANT-MICHEL
> Faculté de Pharmacie
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CONFORMITE d’une
DISTRIBUTION EXPERIMENTALE
à une DISTRIBUTION THEORIQUE
I - GENERALITES (1)
Problème de conformité
Répartition théorique est-elle conforme à la répartition
expérimentale ?
Remarque :
Même si une série empirique suit effectivement une loi de
distribution théorique donnée, les fréquences expérimentales
différeront forcément, en raison des fluctuations fortuites
d’échantillonnage, des fréquences que l’on devrait théoriquement
observer, compte tenu de l’effectif de la série
I - GENERALITES (2)
On se demande donc si les différences constatées entre la
distribution expérimentale et la distribution supposée restent
dans les limites des fluctuations fortuites d’échantillonnage
(auquel cas l’assimilation de la distribution expérimentale à la
distribution théorique est légitime)
Principe du test :
 Comparer deux distributions dans leur ensemble
 Caractériser la divergence, pour chacune des valeurs de la
distribution, entre les effectifs observés (O1, O2, . . ., On) et
les effectifs théoriques (T1, T2, . . ., Tn) que l’on aurait dû
observer dans une distribution théorique de même effectif
total que la distribution expérimentale étudiée
 Vérification de la conformité par le test du c2 de K. PEARSON
. c2 d’ajustement
. test d’hypothèse
II - TEST de x2 (1)
II - TEST de c2
1. Principe du test
. divergence définie par l’écart (Oi – Ti)
. carrés des écarts appelés écarts quadratiques
O i  Ti 
2
. écart quadratique relatif :
Ti
2. Nombre de degrés de liberté
Soient T1, T2, . . ., Tn 
les effectifs théoriques
Si n - 1 d’entre eux sont fixés, le nième est défini par Ti = N
=>
n=n-1
II - TEST de c2
II - TEST de x2 (2)
Toute relation supplémentaire imposée aux effectifs théoriques
conduit à réduire d’une unité le nombre de degrés de liberté
n=n-1-r
=>
r étant le nombre de relations supplémentaires
- Pour une distribution binomiale : r = 1
=>
n=n-2
- Pour une distribution de POISSON : r = 1
=>
(p)
(m)
n=n-2
- Pour une distribution de LAPLACE-GAUSS : r = 2
=>
n=n-3
(m, s)
III - CONDITIONS d’EMPLOI du TEST de x2
III - CONDITIONS d’EMPLOI du TEST de c2
1. Le c2 s’applique exclusivement aux effectifs
2. Le c2 est suivi lorsque :
* N ≥ 50
*n≥5
 Si 30 ≤ N < 50, le test est utilisable mais avec prudence,
=>
exclusivement applicable lorsque c2 franchement
différent de celui des tables
 Si N < 30, le test n’est plus applicable
 Si n < 5, groupements de classe
=>
ndiminue
=>
sensibilité du test est abaissée
3. Effectifs théoriques calculés avec précision
IV - EXEMPLES (1)
Ho : Les différences constatées entre la distribution expérimentale
et la distribution théorique ne sont dues qu’aux fluctuations
d’échantillonnage
1. Conformité d’une distribution expérimentale à une
DISTRIBUTION BINOMIALE
Distribution du nombre de filles dans 160 familles de 4 enfants
tirées au hasard dans une population
IV - EXEMPLE (2)
Famille de
xi
filles
Nombre de
familles
ni = O i
0
1
2
3
4
16
48
62
30
4
Nombre de
familles théoriques
nk = Ti
Oi - Ti
16,30
50,21
57,99
29,76
35,49
5,73
- 0,30
- 2,21

4,01
- 1,49
34
 O i = 160

=4-2=2
Ti
0,0055
0,0973
0,2773
0,0625
2
c = 0,4426
i
n=n-2

2
 Ti = 160
i
O i  Ti 

IV - EXEMPLE (3)
a=5%
c2 << co2
=>
co2 = 5,99
=> l’hypothèse nulle est acceptable à 5 % de risque
Conclusion :
m
l’hypothèse d’une distribution binomiale avec p =
= 0,435 n’a pas
n
été infirmée par les constatations expérimentales
2. Conformité d’une distribution expérimentale
à une

DISTRIBUTION de POISSON
Distribution du nombre d’accidents hebdomadaires à un
carrefour dangereux
IV - EXEMPLE (4)
Nombre
d’accidents
xi
Nombre de
semaines
ni = O i
Nombre de semaines
théoriques
nk = Ti
0
1
2
3
4
5
≥6
5
10
7
4
3
1
5,11
9,05
8,00
4,72
2,09
0,74
0,29
8
 O i = 30
2
Oi - Ti
Ti
- 0,11
0,95
-1,00
0,0024
0,0997
0,1250
0,16
0,0033
2
c = 0,2304
 Ti = 30
i

7,84
i

O i  Ti 

IV - EXEMPLE (5)
n=n-2
=4-2=2
a=5%
c2 << co2
=>
co2 = 5,99
=> l’hypothèse nulle est acceptable à 5 % de risque
Conclusion :
l’hypothèse d’une distribution suivant une loi de POISSON de
moyenne m = 1,77 n’est pas démentie par les constatations
expérimentales
3. Conformité d’une distribution expérimentale à une
DISTRIBUTION de LAPLACE-GAUSS
Poids de 406 nouveau-nés relevé dans une maternité
IV - EXEMPLE (6)
Limites
(kg)
Effectifs exp.
ni = O i
< 2,20
Effectifs théo.
nk = Ti
2,60
2,80
3,00
3,20
3,40
2
Oi - Ti
Ti
2,43
2,20
2,40
O i  Ti 
3
11
5,36
21,35
- 10,35

5,0174
8
13,56
26
26,96
- 0,96
0,0342
50
46,16
3,84
0,3194
69
62,20
6,80
0,7434
85
70,52
14,48
2,9732
IV - EXEMPLE (7)
Limites
(kg)
Effectifs exp.
ni = Oi
3,60
Effectifs théo.
nk = Ti
O
Oi - Ti
 Ti 
2
i
Ti
62
67,44
- 5,44
0,4388
44
50,79
- 6,79
0,9077
35
32,93
2,07
0,1301
17
16,77
0,23
0,0031
3
7,35
- 3,88
1,3837
3,80
4,00
4,20
4,40
2
7
2,56
10,88
4,60
2
4,80
≥ 4,80
0,77
0,20
 O i = 406
i
 Ti = 406
i
c
2
= 11,9510
IV - EXEMPLE (8)
n=n-3
= 10 - 3 = 7
a=5%
c 2 < c o2
=>
co2 = 14,07
=> l’hypothèse nulle est acceptable à 5 % de risque
Conclusion :
l’hypothèse que la distribution suive une loi normale de moyenne
m = 3,33 kg et d’écart-type s = 0,45 kg n’a pas été démentie par
les constatations expérimentales
L1 SANTE