DINAMIKA KRISTALNE REŠETKE

r o • Govoreći o međuatomskim vezama u kristalu konstatovali smo da se atomi na velikim udaljenostima privlače, a na malim, odbijaju. Na rastojanju r o privlačna i odbojna sila su uravnotežene. Svako izmiještanje iz ovog ravnotežnog položaja bilo prema većem rastojanju od r o ili prema manjem rastojanju od r o uzrokovaće pojavu tzv. restitucione (eleastične) sile koja se protivi ovom izmiještanju. Ta sila nastoji vratiti atome u ravnotežni položaj pa će zbog toga proizvoditi oscilovanje atoma oko ravnotežnog položaja.

• • • • • • • U kristalnoj rešetki gdje postoji pravilan raspored mnoštva atoma koji osciluju – titraju, pomakom svakog atoma pobuđuje se njegova okolina.

Za očekivati je da se snižavanjem temperature smanjuje intenzitet ovih oscilacija. U ovom smislu opravdano je postavti pitanje šta se dešava na apsolutnoj nuli? Da li tada prestaju oscilovanja atoma?

Mirovanje atoma na apsolutnoj nuli nije moguće radi Hajzenbergovih relacija neodređenosti. Na apsolutnoj nuli sistem atoma u kristalu ima minimalnu vrijednost, ali ona nije nula, tj. na toj temperaturi ne prestaje oscilovanje atoma.

Repetitivna sekvenca atomskih pomaka iz ravnotežnog položaja daje talas koji se prostire kroz rešetku i koji može da se okarakteriše sa: brzinom prostiranja

v

talasnom dužinom

λ

ili talasnim brojem

k = 2π/λ

frekvencijom  ili ugaonom frekvencijom

ω = 2 π



= kv.

• • • • • Razmatrajući restitucione sile, koje djeluju na pomjerene atome, možemo izvesti jednačinu kretanja za bilo koji pomak, tj. naći tzv. DISPERZIONU RELACIJU koja povezuje frekvencije i talasne dužine, tj. ugaone frekvencije i talasni broj (vektor)

ω = f(k).

Sa stanovišta klasične fizike talas koji zadovoljava disperzionu relaciju može imati bilo koju amplitudu. Međutim, elementarne kvantizirane vibracije rešetke imaju dualno svojstvo

talasno – čestično,

isto kao kvanti elektromagnetnog zračenja i čestice materije. Taj čestični aspekt vibracija rešetke su

FONONI.

Fonon

je elementarno pobuđenje toplotnih titranja cijele rešetke,a ne induvidualnog atoma u njoj.

• • Prenošenje moremećaja (talasa) u čvrstom tijelu se onda mora posmatrati kao kretanje jednog ili više fonona od kojih svaki transportuje energiju

h



= ћ ω.

OSCILOVANJE ATOMA U JEDNODIMENZIONALNOJ KRISTALNOJ REŠETCI

• • • • Funkcionalna zavisnost frekvencije od talasnog vektora ω (k) naziva se

DISPERZIONA RELACIJA

. Odredićemo disperzionu relaciju u najjednostavnijem modelu rešetke – u jednodimenzionalnoj rešetci i to u dva slučaja : lanac sa atomima iste vrste i lanac dva tipa atoma .

LANAC ISTOVRSNIH ATOMA

• Neka svaka elementalna ćelija sadrži samo jedan atom mase

m

i neka su atomi međusobno vezani silom jačine. Neka se u ravnotežnom stanju atomi nalaze u čvorištima rešetke na međusobno jednakom rastojanju

a

. Neka svaki atom međudjeluje samo sa svoja prva dva susjeda i neka se pomak odvija samo u pravcu lanca.

• Međusobno nezavisne oscilacije nazivaju se

normalne oscilacije

.Broj normalnih oscilacija određen je graničnim uslovom periodičnosti koji mora zadovoljavati funkciju pomaka.

LANAC DVA TIPA ATOMA

• Razmotrimo sada jednodimenzionalni model rešetke koju čine dva tipa atoma

M 1 i M 2

, raspoleđeni naizmjenično na međusobno jednakim rastojanjima

a

. Neka su atomi vezani elastičnom silom. Sada svaka elementarna ćelija sadrži dva atoma, pa je linearna dimenzija ćelije

b=2a

.

• Broj normalnih oscilacija dvoatomnog lanca određuje se iz činjenice da funkcije pomaka moraju zadovoljavati granični uslov periodičnosti.

• Broj normalnih oscilacija jednak je broju ćelija u kristalu a ne broju atoma m. Dvije grane disperzione relacije opisuju titranje atoma dvoatomnog lanca. Frekventna ovisnost

ω-(k)

predstavlja se krivom koja se naziva

akustična grana

, a funkcija

ω-(k)

se naziva

optičkom granom

.

•

U dugovalnom području

je

ka<<1

. Za akustičku granu se dobija ( razvojem u red drugog člana relacije ).

• • Područje na granicu Brilloinove zone

kmax= π/2a, sin k a= 1

Za akustičku granu • Za optičku granu

• Dosadašnja razmatranja oscilovanja/titranja kristalne rešetke provedena su u Lagrangeovom formalizmu opisa sistema i dovela su do zaključaka da su normalne oscilacije atoma rešetke u velikom stepenu harmonijske i međusobno nezavisne. S kvantno mehaničkog aspekta može se smatrati da su normalne oscilacije kvantni harmonijski oscilatori.