Transcript Penapisan di Domain Frekuensi 2

Penapisan Pada Domain Frekuensi
(2)
Dr. Fitri Arnia
Multimedia Signal Processing Research Group (MuSig)
Jurusan Teknik Elektro-UNSYIAH
Outline
 Latar Belakang
 Konsep Dasar
 Sampling dan Transformasi Fourier dari Fungsi
Tersampel
 Transformasi Fourier Diskrit (TFD) 1 Variabel
 TFD 2 Variabel
 Sifat-sifat TFD 2 Variabel
 Dasar Penapisan pada Domain Frekuensi
Menurunkan TFD dari Fungsi Kontinyu
~
 F    merupakan besaran analog
~
F   


~
 j 2  t
dt
f t e





 
n  





 j 2  t
dt
n  



f t  t  n  T e
n  
fn e
f t  t  n  T e
 j 2  n  T
 j 2  t
dt
Penyamplingan
~
 Ambil nilai sampling F    dalam 1 periode dari
~
F  
 Dengan interval   0 sampai  
 
m
M T
1
T
m  0 ,1, 2 ,  M  1
Cont
 
m
M T
m  0 ,1, 2 ,  M  1
~
 Masukkan persamaan di atas ke F   , diperoleh
M 1
Fm 

fn e
 j 2  mn / M
m  0 ,1, 2 ,  M  1
n0
Discrete Fourier Transform
(Transformasi Fourier Diskrit)
Transformasi Fourier Diskrit
M 1
Fm 

fn e
 j 2  mn / M
m  0 ,1, 2 ,  M  1
n0
F u  
M 1
 f x e
x0
 j 2  ux / M
x  0 ,1, 2 ,  , M  1
Transformasi Fourier Diskrit Balik
fn 
1
M
f x  
M 1

Fm e
j 2  mn / M
n  0 ,1, 2 ,  M  1
m o
1
M
M 1

u 0
F u  e
j 2  ux / M
x  0 ,1, 2 ,  , M  1
Hubungan antara sampling dan Interval
Frekuensi
 Jika f(x) terdiri dari M cuplikan yang diambil
dengan jarak ∆T satu sama lain, durasi
sekumpulan {f(x)}, x = 0,1,2,…M-1 adalah T =
M ∆T
 Dan spasi pada domain frekuensi ∆u adalah ∆u =
1/(M ∆T) = 1/T
 Range frekuensi yang ditempati semua M
komponen dari DFT adalah Ω = M∆u = 1/ ∆T
Resolusi
Frekuensi
Perhitungan DFT
 Carilah Inverse DFT (Transformasi Fourier Diskrit
balik) dari gambar di bawah ini:
Outline
 Latar Belakang
 Konsep Dasar
 Sampling dan Transformasi Fourier dari Fungsi
Tersampel
 Transformasi Fourier Diskrit (TFD) 1 Variabel
 TFD 2 Variabel
 Sifat-sifat TFD 2 Variabel
 Dasar Penapisan pada Domain Frekuensi
Pulsa Diskrit 2-D
“Kotak” dan Spektrumnya
Deretan Pulsa 2-D
Transformasi Fourier 2-D
Aliasing Pada Citra (1)
 Kita hanya bisa mencuplik citra pada durasi
tertentu (segiempat pada 1-D), akibatnya, FT dari
fungsi kotak (fungsi sinc) akan selalu “ada” sampai
tak terhingga.
 Hal yang sama terjadi pada citra.
 Akibatnya: Aliasing juga tak terhindari.
Aliasing pada Citra (2)
 Ada 2 macam:
 Spatial Aliasing (karena undersampling)
 Temporal Aliasing (video), “wagon wheel”
effect.
Desimasi/Interpolation
Spatial Aliasing
a. Citra Asli dengan efek
aliasing yang minim
b. Citra yang telah
dikecilkan (desimasi) dan
diinterpolasi. Efek aliasing
tampak
c. Citra (a.) yang diblurkan
dengan filter 3x3 sebelum
di kecilkan
Spatial Aliasing (Jaggies)
a. Citra Asli
b. Citra dengan “jaggies”.
Karena di kecilkan
sampai 25%
c. Citra yang di low pass
filter (5x5) sebelum di
dengan kecilkan.
Outline
 Latar Belakang
 Konsep Dasar
 Sampling dan Transformasi Fourier dari Fungsi
Tersampel
 Transformasi Fourier Diskrit (TFD) 1 Variabel
 TFD 2 Variabel
 Sifat-sifat TFD 2 Variabel
 Dasar Penapisan pada Domain Frekuensi
Sifat 1: Periodik dan Translasi(1)
 Seperti pada kasus 1-D, TFD dan TFDB pada 2-D
juga periodik dengan periode tak terbatas.
 Perkalian dengan exp (domain waktu) = translasi
(domain frekuensi)
f  x e
j 2 u 0 x / M

 F u  u 0 
Sifat 1: Periodik dan Translasi(2)
 Jika u0 = M/2, maka suku exp –nya menjadi: ejx
 Untuk x bil. bulat, ejx = (-1)x, sehingga
f  x   1   F u  M / 2 
x
Sifat 1: Periodik dan Translasi(3)
F(u-M/2)
Sifat 1: Periodik dan Translasi 2-D(1)
M
N
-N
M/2
F(0,0)
-M
N/2
Sifat 2: Spektrum Fourier
dan Sudut Fasa
 Pada umumnya TFD 2-D adalah kompleks, karena itu
dapat dinyatakan dalam bentuk polar sbb:
F u , v   | F u , v  | e
j  u , v 
 Magnitudenya: | F u , v  | R u , v   I u , v  2 ,
2
2
disebut juga spektrum (Fourier) frekuensi.
 Sudut fasanya:
 I u , v  
 u , v   arctan 

 R u , v  
1
 Dan spektrum dayanya adalah:
P u , v   | F u , v  |
 R
2
2
u , v   I u , v 
2
Spektrum Frekuensi (Fourier)
a. Citra asli
c. Spektrum
Fourier setelah
citra asli di kalikan
dengan (-1)x+y
b. Spektrum Fourier
d. Spektrum pada
gambar (c ) yang
dinormalisasi
Spektrum Frekuensi (Fourier)
a.
b.
b. Spektrum dari
gambar (a)
d. Spektrum
dari gambar (c)
Fasa Fourier
Fasa dan Spektrum Fourier
woman
Fasa woman
Citra fasa
woman
Citra Magnitude
woman
Fasa woman +
magnitude strip
Fasa strip +
magnitude woman
Terimakasih