Transcript P-4

PENGOLAHAN CITRA DIGITAL :
TRANSFORMASI CITRA (1)
TEKNIK INFORMATIKA
FAKULTAS TEKNIK
UNIVERSITAS TRUNOJOYO

TUGAS
Pendahuluan

Mengapa perlu transformasi ?


Setiap orang pada suatu saat pernah
menggunakan suatu teknik analisis dengan
transformasi untuk menyederhanakan
penyelesaian suatu masalah [Brigham,1974]
Contoh: penyelesaian fungsi y = x/z


13/04/2015
Analisa konvensional : pembagian secara manual
Analisa transformasi : melakukan transformasi

log(y) = log(x) – log(z)

look-up table  pengurangan  look-up table
PERTEMUAN KE-4
3
Pendahuluan


Transformasi juga diperlukan bila kita ingin
mengetahui suatu informasi tertentu yang
tidak tersedia sebelumnya
Contoh :


13/04/2015
jika ingin mengetahui informasi frekuensi kita
memerlukan transformasi Fourier
Jika ingin mengetahui informasi tentang
kombinasi skala dan frekuensi kita memerlukan
transformasi wavelet
PERTEMUAN KE-4
4
Transformasi Citra

Transformasi citra, sesuai namanya,
merupakan proses perubahan bentuk citra
untuk mendapatkan suatu informasi tertentu

Transformasi bisa dibagi menjadi 2 :


13/04/2015
Transformasi piksel/transformasi geometris:
Transformasi ruang/domain/space
PERTEMUAN KE-4
5
Transformasi Piksel



Transformasi piksel masih bermain di
ruang/domain yang sama (domain spasial),
hanya posisi piksel yang kadang diubah
Contoh: rotasi, translasi, scaling, invers,
shear, dll.
Transformasi jenis ini relatif mudah
diimplementasikan dan banyak aplikasi yang
dapat melakukannya (Paint, ACDSee, dll)
13/04/2015
PERTEMUAN KE-4
6
Transformasi Ruang

Transformasi ruang merupakan proses
perubahan citra dari suatu ruang/domain ke
ruang/domain lainnya, contoh: dari ruang
spasial ke ruang frekuensi

Masih ingat istilah ‘ruang’ ? Ingat-ingat kembali
pelajaran Aljabar Linier tentang Basis dan Ruang 

13/04/2015
Contoh : Ruang vektor. Salah satu basis yang merentang
ruang vektor 2 dimensi adalah [1 0] dan [0 1]. Artinya,
semua vektor yang mungkin ada di ruang vektor 2 dimensi
selalu dapat direpresentasikan sebagai kombinasi linier dari
basis tersebut.
PERTEMUAN KE-4
7
Transformasi Ruang

Ada beberapa transformasi ruang yang
akan kita pelajari, yaitu :
Transformasi Fourier (basis: cos-sin)
 Transformasi Hadamard/Walsh (basis:
kolom dan baris yang ortogonal)
 Transformasi DCT (basis: cos)
 Transformasi Wavelet (basis: scaling
function dan mother wavelet)

13/04/2015
PERTEMUAN KE-4
8
Transformasi Fourier (FT)

Pada tahun 1822, Joseph Fourier, ahli
matematika dari Prancis menemukan bahwa:
setiap fungsi periodik (sinyal) dapat dibentuk
dari penjumlahan gelombang-gelombang
sinus/cosinus.

Contoh : Sinyal kotak merupakan penjumlahan dari
fungsi-fungsi sinus berikut (lihat gambar pada halaman
berikut)
f(x) = sin(x) + sin(3x)/3 + sin(5x)/5 +
sin(7x)/7 + sin(9x)/9 …
13/04/2015
PERTEMUAN KE-4
9
Fungsi kotak sebagai
penjumlahan fungsi-fungsi sinus

Cobakan juga program matlab berikut untuk melihat
sampai batas n berapa fungsi yang dihasilkan sudah
berbentuk fungsi kotak.

function kotak(n)
t = 0:pi/200:8*pi;
kot = sin(t);
for i = 3 : 2: n
kot = kot + (sin(i*t))/i;
end
plot(kot)
13/04/2015
PERTEMUAN KE-4
10
(a)
13/04/2015
(b)
(c)
(d)
Gambar a) n = 1, b) n PERTEMUAN
=3, c) n KE-4
= 7, d) n = 99
11
FT - Motivasi

Jika semua sinyal periodik dapat dinyatakan dalam
penjumlahan fungsi-fungsi sinus-cosinus,
pertanyaan berikutnya yang muncul adalah:


Atau dengan kata lain


Jika saya memiliki sebuah sinyal sembarang, bagaimana
saya tahu fungsi-fungsi cos – sin apa yang membentuknya
?
Berapakah frekuensi yang dominan di sinyal tersebut ?
Pertanyaan di atas dapat dijawab dengan
menghitung nilai F(u) dari sinyal tersebut. Dari nilai
F(u) kemudian dapat diperoleh kembali sinyal awal
dengan menghitung f(x), menggunakan rumus:
13/04/2015
PERTEMUAN KE-4
12
Rumus FT – 1 dimensi

Rumus FT kontinu 1 dimensi
F (u )  


f ( x) exp[2 jux]dx

f ( x)   F (u ) exp[2 jux]du

Euler's formula: exp[2 jux]  cos 2ux  j sin 2ux

Rumus FT diskret 1 dimensi
1
N 1
F (u ) 
f ( x ) exp[2 jux / N ]

x 0
N
1
N 1
f ( x) 
F (u ) exp[2 jux / N ]

x 0
N
13/04/2015
PERTEMUAN KE-4
13
Contoh FT 1 dimensi
Misalkan kita memiliki sinyal x(t) dengan rumus
sbb:
x(t) = cos(2*pi*5*t) + cos(2*pi*10*t) +
cos(2*pi*20*t) + cos(2*pi*50*t)
Sinyal ini memiliki empat komponen frekuensi
yaitu 5,10,20,50
13/04/2015
PERTEMUAN KE-4
14
Contoh sinyal 1 Dimensi x(t)
Gambar sinyal satu
dimensi dengan rumus
x(t)=
cos(2*pi*5*t) +
cos(2*pi*10*t) +
cos(2*pi*20*t) +
cos(2*pi*50*t)
(Sumber: Polikar)
13/04/2015
PERTEMUAN KE-4
15
FT dari sinyal tersebut
FT dari sinyal tersebut.
Terlihat bahwa FT dapat
menangkap frekuensifrekuensi yang dominan
dalam sinyal tersebut, yaitu
5,10, 20, 50
(nilai maksimum F(u) berada
pada angka 5,10, 20, 50)
13/04/2015
PERTEMUAN KE-4
16
Contoh Penghitungan FT 1 dimensi
(Gonzalez hlm 90-92)
1
1
N 1
N 1
f
(
x
)
exp[

2
j

ux
/
N
]


 f ( x)(cos(2ux / N )  j sin(2ux / N ))]
N x 0
N x 0
contoh: f (0)  2, f (1)  3, f (2)  4, f (3)  4
F (u ) 
1
N 1
 f ( x)(cos(2 0 x / N )  j sin(2 0 x / N ))]
N x 0
1
 [ f (0)  f (1)  f (2)  f (3)]  3.25
4
1 3
F (1)   x 0 f ( x)(cos(2x / 4)  j sin(2x / 4))]
4
1
 [2(1  0)  3(0  j )  4(1  0)  4(0  j )
4
1
1
 (2  3 j  4  4 j )  (2  j )  0.5  0.25 j
4
4
1
1
F (2)   [1]  0.25
F (3)   [2  j ]  0.5  0.25 j
13/04/2015
4
4 PERTEMUAN KE-4
F ( 0) 
17
Contoh Penghitungan FT





Hasil penghitungan FT biasanya mengandung
bilangan real dan imajiner
Fourier Spectrum didapatkan dari magnitude kedua
bilangan tersebut shg|F(u)| = [R 2(u) + I 2(u)]1/2
Untuk contoh di halaman sebelumnya, Fourier
Spectrumnya adalah sebagai berikut:
|F(0)| = 3.25 |F(1)| = [(-0.5)2+(0.25)2]1/2 = 0.5590
|F(2)| = 0.25 |F(3)| = [(0.5)2+(0.25)2]1/2 = 0.5590
13/04/2015
PERTEMUAN KE-4
18
2D Discrete Fourier Transform

2D Fourier Transform
F (u, v) 



f [m, n]e j 2 (umvn )
m  n 
N
Jika ....................
M
M  tinggi citra (jumlah baris)
N  lebar citra (jumlah kolom)
2D Discrete Fourier Transform

2D DFT Formula I
1
F [k , l ] 
MN
M 1 N 1
  f [m, n]e
m0 n 0
where k  0,1,..., M  1

and
Inverse DFT
M 1 N 1
f [m, n]   F[k , l ]e
k 0 l 0
l 
 k
 j 2 
m
n
N 
M
l 
 k
j 2  m n 
N 
M
l  0,1,..., N  1
2D Discrete Fourier Transform

DFT formula 2
F [k , l ] 
1
MN
M 1 N 1
 f [m, n]e
m 0 n 0
where k  0,1,..., M  1

l 
 k
 j 2 
m n 
N 
M
and
l  0,1,..., N  1
Inverse DFT
f [m, n] 
1
MN
M 1 N 1
  F[k , l ]e
k 0 l 0
l 
 k
j 2 
m n 
N 
M
2D Discrete Fourier Transform

Formulasi 3
F [k , l ] 
M 1 N 1
  f [m, n]e
l
 k

 j 2 
m
n
N 
M
m0 n 0
where k  0,1,..., M  1

and
l  0,1,..., N  1
Inverse DFT
1
f [m, n] 
MN
M 1 N 1
 F[k , l ]e
k 0 l 0
l 
 k
j 2 
m n 
N 
M
FT Example

Consider a 4x4 image
block
26
20
89
123
34
23
92
128
32
19
62
121
38
19
34
25
Dr. Philip Tse

2D Discrete FT of the
image block at k=l=0
can be found as
F(0,0)=
Multimedia Coding and Processing
221,25 atau 55,3
23

TUGAS : Cari nilai dari F(0,1), F(0,2), F(0,3),
F(1,0), F(1,1), F(1,2), F(1,3), F(2,0), F(2,1), F(2,2),
F(2,3), F(3,0),F(3,1),F(3,2), F(3,3)

1 Kelompok 2-3 orang orang mengerjakan salah
satu dari nilai diatas ( Tidak boleh sama dengan
kelompok lain )
Dikumpulkan minggu depan
Kuliah minggu depan di PUSKOM ( lesehan
tanpa lalapan, pelajari Discret Cosinus
Transform (DCT) pada citra


Contoh FT 2 Dimensi
Sumber: http://www.icaen.uiowa.edu/~dip/LECTURE/LinTransforms.html
Untuk menampilkan nilai FT suatu citra, karena keterbatasan display, seringkali
digunakan nilai D(u,v)= c log [1 + |F(u,v)|]
13/04/2015
PERTEMUAN KE-4
25
13/04/2015
PERTEMUAN KE-4
26
13/04/2015
PERTEMUAN KE-4
27
Sifat-sifat FT 2 dimensi

Separable :


Pemrosesan FT 2 dimensi dapat dilakukan
dengan melakukan FT 1 dimensi terhadap
kolom, kemudian dilanjutkan dengan FT 1
dimensi terhadap baris
Translasi :
f ( x, y) exp[2 j (u0 x  v0 y) / N ]  F (u  u0 , v  v0 )
f ( x  x, y  y)  F (u, v) exp[2 j (ux0  vy0 ) / N ]
13/04/2015
PERTEMUAN KE-4
28
Sifat-sifat FT 2 dimensi

Periodik


Rotasi


FT dan IFT bersifat periodik dengan periode N (N
adalah jumlah titik)
Jika kita merotasikan f(x,y) sebanyak θ0. maka
F(u,x) juga akan berotasi sebanyak θ0, demikian
pula sebaliknya.
Distributif

13/04/2015
FT dan IFT bersifat distributif terhadap
penjumlahan tapi tidak terhadap perkalian
PERTEMUAN KE-4
29
Sifat-sifat FT 2 dimensi

Penskalaan
af ( x, y)  aF(u, v)
1
f (ax, by) 
F (u / a, v / b)
ab

Nilai rata-rata
1
f ( x, y )  2
N
13/04/2015
N 1 N 1

x 0 y 0
f ( x, y ) 
1
F (0,0)
N
PERTEMUAN KE-4
30
2-D DISCRETE COSINE TRANSFORM
DCT
(2 x  1)u  (2 y  1)v 

C (u, v)  a(u )a(v)   f ( x, y ) cos
cos



x 0 y 0
 2N
  2 N
N 1N 1
(2 x  1)u  (2 y  1)v 

f ( x, y )    a(u )a(v)C (u, v) cos
cos



u 0 v 0
 2N
  2 N
N 1N 1
u, v  0,1,, N  1



a (u )  


1
N
u0
2
N
u  1,, N  1
SUMMARY



Transformasi titik adalah perubahan
posisi titik pada ruang yang sama
Transformasi ruang adalah perubahan
citra dari satu ruang ke ruang yang lain
Fourier Transform adalah salah satu
metode yang dipakai dalam
mentransformasikan citra dari ruang
spasial ke ruang frekuensi
13/04/2015
PERTEMUAN KE-4
32
TUGAS

Sebutkan dan Jelaskan tentang
transformasi ruang selain fourier !
Misal meliputi : rumus, sifat
transformasi, atau contoh perhitungan.
13/04/2015
PERTEMUAN KE-4
33
REFERENSI
1.
2.
Rafael C. Gonzales dan Richard E.
Woods, Digital Image Processing,
Edisi 2, Prentice Hall, 2002
Rafael C. Gonzales, Richard E.
Woods dan Steven L. Eddins, Digital
Image Processing using Mathlab,
Prentice Hall, 2003
13/04/2015
PERTEMUAN KE-4
34