Transcript Penapisan di Domain Frekuensi 1

Penapisan pada Domain Frekuensi 1
Dr. Fitri Arnia
Multimedia Signal Processing Research Group (MuSig)
Jurusan Teknik Elektro-UNSYIAH
Outline
 Latar Belakang
 Konsep Dasar
 Sampling dan Transformasi Fourier dari Fungsi
Tersampel
 Transformasi Fourier Diskrit (TFD) 1 Variabel
 TFD 2 Variabel
 Sifat-sifat TFD 2 Variabel
 Dasar Penapisan pada Domain Frekuensi
Outline
 Latar Belakang
 Konsep Dasar
 Sampling dan Transformasi Fourier dari Fungsi
Tersampel
 Transformasi Fourier Diskrit (TFD) 1 Variabel
 TFD 2 Variabel
 Sifat-sifat TFD 2 Variabel
 Dasar Penapisan pada Domain Frekuensi
Latar Belakang (Deret Fourier)
 Jean Baptiste Joseph Fourier (matematikawan
Perancis)
 Semua fungsi periodik dapat dinyatakan sebagai
penjumlahan sinyal sinus dan/atau kosinus yang
mempunyai frekuensi berbeda, masing-masing
dikalikan dengan koefisien (bobot) yang berbeda.
Latar Belakang
(Transformasi Fourier)
 Bahkan untuk fungsi yang tidak periodik (namun
area di bawah fungsi terbatas), dapat dinyatakan
sebagai integral dari fungsi sinus dan /atau
kosinus, yang masing-masing dikalikan dengan
suatu bobot.
Deret dan Transformasi Fourier
Latar Belakang
(Inverse Deret/ Transformasi)
 Fungsi yang dinyatakan baik sebagai Deret
maupunTransformasi Fourier dapat
direkonstruksi secara lengkap lewat proses
pembalikan, tanpa ada informasi yang hilang.
 Ini memungkin kita bekerja pada domain Fourier
(domain frekuensi), dan kembali ke domain
waktu tanpa kehilangan informasi.
 Citra adalah fungsi dengan nilai terbatas, maka
Transformasi Fourier adalah alat pengolahan yang
sesuai.
Outline
 Latar Belakang
 Konsep Dasar
 Sampling dan Transformasi Fourier dari Fungsi
Tersampel
 Transformasi Fourier Diskrit (TFD) 1 Variabel
 TFD 2 Variabel
 Sifat-sifat TFD 2 Variabel
 Dasar Penapisan pada Domain Frekuensi
Bilangan Kompleks
 Suatu bilangan kompleks C didefinisikan sebagai
C  R  jI dengan j  1
 Konjugate kompleks dari C dinotasikan dengan C*,
didefinisikan sebagai C  R  jI
Bilangan Kompleks
 Bilangan kompleks dapat juga direpresentasikan
dalam bentuk koordinat polar
C  C | cos  j sin  
C |C |e
j
|C | R  I
2
2
I
  arctan 
R
Deret Fourier
f t  

c
n  
n
e
j
2n
t
T
dengan
1
cn 
T
T
2
 f t e

T
2
j
2n
t
T
untuk n  0,1,2, 
Pulsa dan Sifat Pergeserannya (1)
 Pulsa didefinisikan sebagai

 t   
0
jika t  0
jika t  0
 Dengan batasan

  t dt  1

Pulsa dan Sifat Pergeserannya (2)


f t  t  dt  f 0


 f t  t  t  dt  f t 
0

0
Pulsa Diskrit dan Pergeserannya (1)
 Pulsa diskrit didefinisikan sebagai
1
 x   
0
x0
x0
 Dengan batasan

  x   1
x  
Pulsa Diskrit dan Pergeserannya (2)

 f x  x   f 0
x  

 f x  x  x   f x 
x  
0
0
Deretan Pulsa
 Deretan pulsa sT t  didefinisikan sebagai jumlah
dari pulsa dengan panjang tak terhingga dengan jarak  T
satu sama lain.
TF dari Fungsi dengan
1 Variabel Kontinyu

TF dari fungsi kontinyu dengan variabel kontinyu t
didefinisikan sebagai:

 f t   F     f t e


dengan μ variabel kontinyu.
TF balik didefinisikan sebagai

f t    F  e j 2t d

 j 2t
dt
Contoh Fourier Transform (1)
FT dari fungsi “segiempat”
Perhitungan Fourier Transform (2)

F     f t e


 j 2t
W /2
dt  
W / 2
Ae j 2t dt


 A  jW
 A  j 2t W / 2
jW
e

e

e

W / 2
j 2
j 2
sin m
sin cm 
A
m
e jW  e  jW

j 2
Fungsi Sinc
sin W 
 AW
W 



Pasangan Fourier Transform (1)
Fungsi Sinc
Outline
 Latar Belakang
 Konsep Dasar
 Sampling dan Transformasi Fourier dari Fungsi
Tersampel
 Transformasi Fourier Diskrit (TFD) 1 Variabel
 TFD 2 Variabel
 Sifat-sifat TFD 2 Variabel
 Dasar Penapisan pada Domain Frekuensi
Sampling
TF dari Fungsi Tersampling (1)
 Bentuk diskrit dari f(t) bisa diperoleh dengan
mengalikan f(t) dengan deretan pulsa sT t 
Perkalian
Konvolusi
Domain
waktu
Domain
frekuensi
TF dari Fungsi Tersampling (2)
~
~
 Karena itu TF F   dari fungsi tersampel f t 
adalah
 
~
~
F     f t 
  f t sT t 
 F    S  
1

T

Periodik kopi
dari F(μ)
n 

F  


T 

n  
TF dari Fungsi Tersampling (3)
Fungsi bandlimited
Rekonstruksi Sinyal
Aliasing di domain frekuensi
Aliasing di domain waktu
Terima kasih