Metody zapisu wiedzy

Kryteria doboru języka

• Efektywność, której miarą może być liczba symboli potrzebnych do reprezentacji wiedzy • Siła ekspresji wyrażana w bogactwie operatorów logicznych oraz w poziomie szczegółowości • Adekwatność rozumiana jako dopasowanie środków wyrazu, czyli siły ekspresji do poziomu złożoności wiedzy

Logika zdaniowa: syntaktyka

• Logika zdaniowa jest najprostszą logiką — ilustruje podstawowe pomysły • Symbole zdaniowe P 1 , P 2 itd. są zdaniami • Jeśli

S

jest zdaniem, ¬

S

jest zdaniem (negacja) • Jeśli

S 1

i S

2

są zdaniami,

S

(koniunkcja) • Jeśli

S 1

i S

2

są zdaniami,

S 1

(alternatywa) • Jeśli

S 1

i S

2

są zdaniami,

S 1

(implikacja) • Jeśli

S 1

i S

2

są zdaniami,

S 1

(równoważność)

1

   

S S S 2 2 S 2 2

jest zdaniem jest zdaniem jest zdaniem jest zdaniem

Formuły w języku zdań

• Każda zmienna zdaniowa p jest formułą • Jeśli A jest formułą, to  A też jest formułą • Jeśli A i B są formułami, to A  A  B, A  B, A B również są formułami  B, • Nie istnieją inne formuły niż te zbudowane przy pomocy powyższych zasad

Funkcja interpretacji

• Interpretacja jest odwzorowaniem, które każdej poprawnie utworzonej formule przyporządkowuje jedną z dwóch wartości logicznych prawda lub fałsz • Interpretacje dowolnej formuły tworzy się w sposób rekurencyjny • Zdaniom atomowym przyporządkowuje się wartości prawda lub fałsz • Własności semantyczne operatorów definiuje się poprzez tzw. tablice prawdy

Rachunek zdań - zalety

• Rachunek zdań jest systemem rozstrzygalnym - dla każdej poprawnie zbudowanej formuły można skonstruować efektywny algorytm sprawdzający wszystkie możliwe wartościowania • Rachunek zdań jest systemem poprawnym, zupełnym i niesprzecznym

Rachunek zdań - ograniczenia

• • Rachunek zdań nie wnika głęboko w strukturę zdania Widoczne są tylko spójniki, pozostałe elementy takie jak podmiot, orzeczenie czy dopełnienie są poza zasięgiem:

kandydat na pracownika ukończył zarządzanie

• •

kandydat na pracownika ukończył informatykę

aby umieścić tego rodzaju stwierdzenia w bazie wiedzy, należy dla każdego z nich wprowadzać oddzielny symbol

wszyscy Polacy kłamią

•

Andrzej jest Polakiem

w rachunku zdań nie można wywieść:

Andrzej kłamie

Rachunek zdań - ograniczenia

• • •

„Jeśli Andrzej jest Polakiem, to Andrzej kłamie”, „Andrzej jest Polakiem”.

Zakładając symbolizację: p – „Andrzej jest Polakiem” q – „Andrzej kłamie” w bazie wiedzy znajdzie się reguła p jeden fakt p. Stosując zasadę modus ponens można dowieść, że prawdziwe jest q



q oraz

Zbiory aksjomatów

• Tautologie – zdania, które są prawdziwe niezależnie od wartości logicznej występujących w nich zmiennych zadaniowych, np.: • Jeżeli prawdą jest, że jeżeli

klient jest bogaty na rabaty

to

zasługuje

to prawdą jest także to, że jeżeli

nie zasługuje na rabaty

to znaczy, że

klient nie jest bogaty

(

p



q

)  ( 

q

 

p

)

p q p



q



p



q



q

 

p

1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 (

p



q

)  ( 

q

 

p

) 1 1 1 1

• Tezy - tautologie wprowadzone do rachunku zdań metoda aksjomatyczną • Aksjomatyczne konstruowanie rachunku zdań – określenie minimalnego zbioru aksjomatów spełniających warunek niesprzeczności, niezależności i zupełności

Wymaganie niesprzeczności

• Twierdzenia fałszywe muszą pozostawać poza obrębem nauki • Zgodnie z prawem Dunsa Szkota z par zdań sprzecznych wynika jakiekolwiek zdanie • Uznanie zdań fałszywych za twierdzenia logiczne dawałoby możliwość uznania każdego zdania jako twierdzenia tej teorii

Wymaganie niezależności

• Żaden z aksjomatów nie daje się udowodnić przy pomocy innych aksjomatów • Wszystko co może być udowodnione powinno być udowodnione

Wymaganie zupełności

• Każde zdanie prawdziwe w danej teorii wynika z jej aksjomatów • Z dwóch zdań sprzecznych w danej teorii jedno wynika z jej aksjomatów • Każde zdanie w języku danej teorii bądź wynika z jej aksjomatów, bądź dołączone do nich daje sprzeczność

Układ implikacyjno-negacyjny Łukasiewicza

• Reguła zastępowania definicyjnego (prawo sylogizmu hipotetycznego) |  (

p



q

)  [(

q



r

)  (

p



r

)] •

Jeżeli prawdą jest, że (jeżeli towar jest nowy to trudno znajduje klienta) – jeżeli nadto (jeżeli towar trudno znajduje nabywcę to konieczna jest promocja) to prawdą jest, że (jeżeli towar jest nowy to konieczna jest promocja)

Układ implikacyjno-negacyjny Łukasiewicza

• Reguła podstawienia (odwrotne prawo redukcji do absurdu) |  ( 

p



p

) 

p

Układ implikacyjno-negacyjny Łukasiewicza

• Reguła odrywania (prawo Dunsa Szkota) | 

p

 ( 

p



q

) • •

Jeżeli p jest prawdziwe, to jeżeli p jest jednocześnie fałszywe to wszystko jest możliwe Prawdziwa jest każda implikacja, której poprzednik jest fałszywy

Dyrektywy dedukcyjne

• Według dyrektyw dedukcyjnych pewne zdania są uznawane w zależności od uznania zdań innych • Dyrektywy pierwszego rodzaju prowadzą do uznania zdań zbudowanych z wyrazów występujących w przesłankach • Dyrektywy drugiego rodzaju dotyczą uznawania zdań, które zawierają wyraz nie znajdujący się w przesłankach • Dla implikacyjno-negacyjnego układu symulacji przyjąć należy dwie dyrektywy 1. rodzaju i cztery 2.

Podstawianie

• Zamiana pewnej zmiennej, wszędzie gdzie ona w danym wyrażeniu występuje, na inne wyrażenie sensowne: – podstawiając w miejsce

p p

-

r

uzyskujemy

jeżeli nie r to r

doniosłości) w wyrażeniu

jeżeli nie p to

(co nie ma większej – podstawiając w miejsce

p q

uzyskujemy

jeżeli p to p

w wyrażeniu

jeżeli p to q

– podstawiając w miejsce

q

wyrażenie

jeżeli nie p to q jeżeli nie p, to q

w wyrażeniu

jeżeli p to q

uzyskujemy

jeżeli p, to

–

Interpretacja

• • Zamiana zmiennej na określone zdanie jakiejś innej nauki lub na zdanie mowy potocznej • Interpretacje podobnie jak podstawienia, dokonane na zdaniach prawdziwych dają zdania prawdziwe

Dictum de omni

- cokolwiek można stwierdzić (a czemukolwiek zaprzeczyć) na temat wszystkich przedmiotów danego rodzaju, to samo można też orzec o każdym poszczególnym przedmiocie tegoż rodzaju (formuła Arystotelesa)

Odrywanie

• Przekształcanie implikacji na dwa oddzielne zdania przez odrzucenie funktora „jeżeli to” • Warunkiem tego przekształcenia jest uznanie zarówno implikacji jako całości, jak i jej poprzednika • Z aksjomatu:

Jeżeli prawdą jest, że (jeżeli towar jest nowy to trudno znajduje klienta) – jeżeli nadto (jeżeli towar trudno znajduje nabywcę to konieczna jest promocja) to prawdą jest, że (jeżeli towar jest nowy to konieczna jest promocja)

można wywieść

: jeżeli towar jest nowy to konieczna jest promocja

przez podwójne odrywanie

Zastępowanie

• Zastępuje się części wyrażeń złożone z wyrazów stałych i zmiennych • Zastąpić część wyrażenia wolno tylko przez wyrażenie wskazane w odnośnej dyrektywie • Zastępowanie dotyczy wyraźnie wskazanej części wyrażenia i choćby w nim była druga część takiej samej postaci, zastępowanie nie rozciąga się na nią

Dyrektywy zastępowania

• I dyrektywa zastępowania

p



q

 

p



q jeżeli cena jest wysoka lub bardzo wysoka, to jeżeli nie jest bardzo wysoka to jest wysoka

Dyrektywy zastępowania

• II dyrektywa zastępowania

p



q

  (

p

 

q

) • III dyrektywa zastępowania

p albo q

 (

p

 

q

) • IV dyrektywa zastępowania

p



q

 (

p



q

)  (

q



p

)

Przykłady tez

• prawo podwójnego przeczenia

p

  ( 

p

) • •

jeżeli prawda, że cena jest wysoka, to nieprawda, że cena nie jest wysoka

• odwrotne prawo podwójnego przeczenia  ( 

p

) 

p jeżeli nieprawda, że cena nie jest wysoka, to cena jest wysoka

Przykłady tez

• prawo redukcji do absurdu (

p

 

p

)  

p

Porządkowanie wiedzy

• Dobór technologii odlewnia – Tylko technologie odlewania ciśnieniowego i skorupowego oraz modeli wytapianych gwarantują tolerancje wymiarów niższe niż 0,02 cm/cm... Technologia odlewania ciśnieniowego jest opłacalna wyłącznie dla serii większych niż 1000 szt... – Odlewanie skorupowe pozwala uzyskać minimalną chropowatość równą 2 μm...

• Ustalamy technologię wykonania odlewu

A

. Wymagana tolerancja wynosi 0,015 cm/cm, chropowatość 1,5 μm a wielkość partii 500 szt.

Porządkowanie wiedzy

• Oznaczamy – odlewanie ciśnieniowe –

p

– odlewanie skorupowe –

q

– metoda modeli wytapianych –

r

– tolerancja niższa niż 0,02 cm/cm -

s

– wielkość serii mniejsza niż 1000 szt –

t

– chropowatość mniejsza niż 2 μm -

u

| 

s

 (

p



q



r

) | 

t

 

p

| 

u

 

q

( ( 2 3 ) ) ( 1 )

Porządkowanie wiedzy

• • • • Po zastosowaniu I dyrektywy zastępowania dla zdania (1) | 

p



q

 

p



q

| 

s

 ( 

p

 (

q



r

)) ( 4 ) | 

t

 

p

| 

u

 

q

( ( 2 3 ) )

jeżeli tolerancja niższa niż 0,02 cm/cm to, jeżeli nie odlewanie ciśnieniowe to odlewanie skorupowe lub metoda modeli wytapianych jeżeli wielkość serii mniejsza niż 1000 szt to nie odlewanie ciśnieniowe jeżeli chropowatość mniejsza niż 2 μm to nie odlewanie skorupowe

Wnioskowanie

• Ustalamy technologię wykonania odlewu

A

. Wymagana tolerancja wynosi 0,015 cm/cm, chropowatość 1,5 μm a wielkość partii 500 szt.

| 

s

, | 

t

, | 

u

• Stosując odrywanie w zdaniu (4) uzyskujemy prawdziwe zdanie |  

p

 (

q



r

) ( 5 )

Wnioskowanie

• Stosując odrywanie w zdaniu (2) uzyskujemy prawdziwe | zdanie  

p

( 6 ) • Stosując odrywanie w zdaniu (5) uzyskujemy prawdziwe zdanie | 

q



r

( 7 ) • Dla odlewu A należy przyjąć technologię odlewania

skorupowego lub metodę modeli wytapianych

Wnioskowanie

• Po zastosowaniu I dyrektywy zastępowania dla zdania | (7) otrzymujemy  

q



r

( 8 ) • Stosując odrywanie w zdaniu (3) uzyskujemy prawdziwe | zdanie  

q

( 9 ) • • Stosując odrywanie w zdaniu (8) uzyskujemy prawdziwe zdanie | 

r

( 10 ) Dla odlewu A należy przyjąć metodę modeli wytapianych

Wnioskowanie

• Przedstawione wnioskowanie nie jest niezawodne. Łatwo zauważyć, że nie mamy pewności czy metoda modeli wytapianych pozwoli uzyskać chropowatość mniejszą niż 2 μm. Wiemy jedynie, że spośród dwóch technologii gwarantujących odpowiednią tolerancję metoda odlewania skorupowego nie pozwala uzyskać odpowiedniej chropowatości.

• Wniosek powinien brzmieć:

zastosowana dla odlewu A nie wiemy nic o tym by metoda modeli wytapianych nie mogła być

Ograniczenia rachunku zdań

• Firma jest dobrym dostawcą jeśli jego cena jest niska i jakość surowca jest dobra • Firma jest dobrym dostawcą jeśli jego cena jest niska i jakość surowca jest średnia

Rachunek predykatów

• Rozszerzenie rachunku zdań o kwantyfikatory: – „dla każdego”  – „istnieje takie że”  • Predykat: wyrażenie W(x), które staje się prawdziwe lub fałszywe gdy w miejsce zmiennej x podstawimy stałą • W przypadku jednej zmiennej i bez kwantyfikatorów nie różni się od rachunku zdań

Rachunek predykatów

• Rachunek predykatów pozwala na uogólnienie stwierdzeń z przedmiotów indywidualnych na klasy przedmiotów. Predykat to orzecznik wskazujący na fakt, że dany obiekt należy do danej klasy lub posiada określoną cechę. Na przykład: – zdanie złożone:

inwestowanie w fundusz obligacji i w fundusz akcji i w fundusz zrównoważony i .... nie wymaga wiedzy ekonomicznej

– można przedstawić jako zdanie:

dla każdej formy inwestowania, inwestowanie w fundusz nie wymaga wiedzy ekonomicznej

gdzie

forma inwestowania

– jest zmienną nazwową (argumentem predykatu),

inwestowanie w fundusz

jest predykatem (orzecznikiem:

ta forma inwestowania jest inwestowaniem w fundusz

)

Zapis

predykat : inwestowanie_w_fundusz(forma_inwestowania) reguła: inwestowanie_w_fundusz(forma_inwestowania)

→

nie_wymaga_wiedzy_ekonomicznej(forma_inwestowania)

Predykat z jednym argumentem

• Predykat cena(x) niewiele różni się od zmiennej zdaniowej cena • jeśli cena = korzystna to ….

• w tym przypadku pytamy wprost czy cena jest korzystna • jeśli korzystna_cena(x) to … • w tym przypadku pytamy czy cena 10zł jest korzystna

Predykaty wieloargumentowe

• Na przykład w rachunku zdań: jeżeli Kowalski jest pracownikiem działu księgowości i premia w dziale księgowości wynosi 10% to płaca Kowalskiego wynosi 110% jeżeli Kozłowski jest pracownikiem działu księgowości i premia w dziale księgowości wynosi 10% to płaca Kozłowskiego wynosi 110%

Predykaty wieloargumentowe

• W rachunku predykatów: jeżeli jest_pracownikiem(X, Y)  premia(Y, Z)

→

płaca(X, V) jest_pracownikiem(Kowalski, księgowość) jest_pracownikiem(Kozłowski, księgowość) premia(księgowość, 10%) płaca(Kowalski, 110%) płaca(Kozłowski, 110%)

Alfabet teorii

• • C = {c 1 , c 2 , c 3 , … } – zbiór symboli stałych • V = {v 1 , v 2 , v 3 , … } – zbiór symboli zmiennych • F = {f 1 , f 2 , f 3 , … } – zbiór symboli funkcji • • P = {p 1 , p 2 , p 3 , … } – zbiór symboli predykatów  ,  ,  ,  ,  – symbole spójników logicznych  ,  – symbole kwantyfikatorów

Przykłady

• Stałe: dobry, średni, 100, czerwony • Zmienne: x, y, z • Funkcje, które mogą być zastąpione predykatami • Predykaty, które mogą być zastąpione funkcjami

Przykłady

• predykat: zaufany_klient(x) • predykat, funkcja i stała zaufany_klient(doswiadczenie(x),dobre) predykat, funkcja i zmienna zaufany_klient(doswiadczenie(x), y)

Ekspresyjność funkcji

• Bez funkcji: warunki_płatności(X, korzystne)

→

dobry_dostawca(X) • Z funkcją: Warunki_płatności(X) przyjmuje wartości {korzystne, niekorzystne} dobry_dostawca(Warunki_płatności(X), korzystne )

Termy

• Każda stała ze zbioru C = {c 1 , c 2 , c 3 , … } jest termem • Każda zmienna ze zbioru V = {v 1 , v 2 , v 3 , … } jest termem • Jeśli t 1 , t 2 , …, t n są termami, a f jest n argumentową funkcją, wówczas f(t 1 , t 2 , …, t n ) jest termem • Zbiór termów nie zwiera innych elementów niż te, których konstrukcja opisana jest powyższymi regułami

Termy

• Termy są argumentami predykatów • Termami są stałe, zmienne lub funkcje

jest_samochodem( fiat_126_p ) jest_samochodem( X ) jest_upadły( f(długi,majątek) ) gdzie

f

(

dlugi

,

majatek

)    

zadluzony zagrozony bezpieczny jesli dlugi jesli dlugi



majatek



majatek jesli dlugi



majatek

Formuły złożone

• Każda formuła atomowa jest formułą • Jeśli P jest formułą, to formułami jest również  P • Jeśli P i Q są formułami, to formułami są również: P  Q, P  Q, P  Q, P  Q • Jeśli P jest formułą, a x jest zmienną, formułami są również:  x P oraz  x P • Nie istnieją inne formuły poza tymi, które można utworzyć stosując powyższe reguły

Logika atrybutowa - alfabet

• O – zbiór symboli obiektów • A – zbiór symboli nazw atrybutów • D – zbiór symboli wartości atrybutów • • • V – zbiór symboli zmiennych  ,  ,  ,  ,  – symbole spójników logicznych  ,  – symbole kwantyfikatorów

Logika atrybutowa – formuły atomowe

• atrybut jest pewnym odwzorowaniem ze zbioru O do podzbioru zbioru D A i (o) = d lub A i (o)  t

Logika atrybutowa – formuły złożone

• Każda formuła atomowa jest formułą • Jeśli A jest formułą, to  A jest również formułą • Jeśli A i B są formułami to, to A   B, A  B również są formułami B, A  B, A • Jeśli A jest formułą, a X jest zmienną, to  X(A) oraz  X(A) również są formułami • Nie istnieją inne formuły poza tymi, które można utworzyć stosując powyższe reguły

Logika atrybutowa – odmiany

• AAL– Atomic Attribute Logic • SAL – Set Attribute Logic • VAAL – Variable Atomic Attribute Logic • VSAL – Variable Set Attribute Logic

Logika atrybutowa – formuły

(A 1 = d 1 )  (A 2 (Cena = niska)  = d 2 )  … (A n = d n )  (Jakość = wysoka)  (H = h) (Ocena = dobry) Rachunek zdań: „Produkt = low cost”  „Udział braków <10%”  (Ocena = dobry) „Produkt = standard”  „Udział braków <5%”  (Ocena = dobry)

Logika atrybutowa – przewaga

Logika atrybutowa i zmienne: RodzajProduktu = „low cost”  RodzajProduktu = „ standard”  X = 10% X = 5% Udział braków < X  (Ocena = dobry)

Logika opisowa

• Logika opisowa opiera się na koncepcji uniwersum, które ma reprezentować dziedzinę problemu • Elementami tego uniwersum są indywidua, inaczej zwane osobnikami • Osobniki są wystąpieniami konceptów • Oprócz konceptów i ich wystąpień istnieją jeszcze relacje, które oznaczają powiązania pomiędzy konceptami • Relacje w terminologii logiki opisowej nazywa się rolami • Role mogą być tylko binarne

Logika opisowa - elementy

• Koncepty atomowe (np. Kobieta, Mężczyzna, Osoba, Dziecko) • Role atomowe (np. posiadaDziecko, maBrata) • Osobniki (np. Jan, Maria) • • T – koncept uniwersalny, oznacza uniwersum  – koncept pusty , oznacza koncept, który nie posiada żadnych wystąpień • Operatory, zwane również konstruktorami

Logika opisowa – operatory języka ALC

• •  C – negacja konceptu C • C  D – koniunkcja konceptów • • C  D – dysjunkcja konceptów  R.C – ograniczenie istnienia, tj. zbiór osobników, które są przynajmniej raz powiązane rolą R z osobnikiem należącym do konceptu C  C R.C – ograniczenie wartości, tj. zbiór osobników, których wszystkie istniejące powiązania rolą R dotyczą osobników konceptu

Logika opisowa – rozszerzenia

• hierarchię ról (np. posiadaCórkę  posiadaDziecko • singletony (np. {Polska}) • role odwrotne (jestDzieckiem  posiadaDziecko) • ograniczenia ilościowe (np.  2posiadaDziecko)

Logika opisowa w zapisie ontologii

• Terminologia (oznacza się symbolem TBox) • Opis świata (oznacza się symbolem ABox)

Zbiór TBox

• Mężczyzna  • Kobieta  Osoba Osoba • Kobieta  • Rodzic  Meżczyzna Osoba    maDziecko.Osoba

• Ojciec  • Matka  Mężczyzna  Kobieta  Rodzic Rodzic

Zbiór ABox

• Kobieta(Agnieszka) • Kobieta(Wiktoria) • Mężczyzna(Kacper) • Mężczyzna(Zbigniew) • maDziecko(Agnieszka, Wiktoria) • maDziecko(Agnieszka, Kacper) • maDziecko(Zbigniew, Kacper)