Transcript Podstawy Logiki i Teorii Mnogości

Podstawy Logiki i Teorii Mnogości
Dr Adam Naumowicz
[email protected]
Tematyka wykładu
•
•
•
•
•
•
Logika zdań
Rachunek kwantyfikatorów
Rachunek zbiorów
Algebry Boole’a
Iloczyn kartezjański i relacje
Relacje równoważności i porządki
Tematyka wykładu – c. d.
• Funkcje
• Liczby naturalne i indukcja matematyczna
• Formalna konstrukcja liczb całkowitych,
wymiernych i rzeczywistych
• Liczby kardynalne
• Liczby porządkowe
• Definiowanie przez indukcję pozaskończoną
• Aksjomatyki teorii mnogości
Literatura
• K. Kuratowski. Wstęp do teorii mnogości i
Topologii. PWN.
• A. Grzegorczyk. Zarys logiki matematycznej.
PWN.
• W. Marek, J. Onyszkiewicz. Elementy logiki i
teorii mnogości w zadaniach. – ćwiczenia
• http://wazniak.mimuw.edu.pl
o Logika i teoria mnogości
Software
• System MIZAR
o http://mizar.org
• Strona WWW przedmiotu
o http://alioth.uwb.edu.pl/PLiTM.html
• Programy pomocnicze
o Edytor GNU Emacs
Wstęp
• Logika
– Analiza poprawności rozumowania
• Logika matematyczna
– Analiza zasad rozumowania oraz pojęć z nim
związanych z wykorzystaniem sformalizowanych
oraz uściślonych metod i narzędzi matematyki
• Teoria mnogości
– Teoria zbiorów – podstawy matematyki
Logika zdań (klasyczna)
•
•
•
•
•
•
•
Zmienne zdaniowe
Spójniki zdaniowe
Tautologie (prawa rachunku zdań)
Wzory de Morgana
Metoda zero-jedynkowa
Postacie normalne formuł zdaniowych
Notacja beznawiasowa (notacja polska,
notacja Łukasiewicza)
Język klasycznej logiki zdań
• Zbiór zmiennych zdaniowych (indywiduowych)
– Np. p, q, r, s, t, …
• Funktory zdaniotwórcze (spójniki logiczne)
– jednoargumentowe:
• negacja
np.
∼p
Mizar: not p
np.
np.
np.
np.
p∧q
p∨q
p→q
p≡q
Mizar:
Mizar:
Mizar:
Mizar:
– dwuargumentowe
•
•
•
•
koniunkcja
alternatywa
implikacja
równoważność
p
p
p
p
& q
or q
implies q
iff q
– zeroargumentowe:
• ⊤ (verum), ⊥ (falsum, Mizar: contradiction)