كنترل تطبيقي
Download
Report
Transcript كنترل تطبيقي
بسم ا ...الرحمن الرحيم
درس کنترل ديجيتال
مهر 1391
دکتر بهمن قربانی واقعی
كنترل تطبيقي
تطبيق در زبان روزمره
تغيير رفتار براي وفق يافتن با وضع جديد.
تعريف كنترل كننده تطبيقي به طور حس ي
كنترل كنندهاي كه بتواند رفتارش را در پاسخ به ديناميك فرآيند و اغتشاشها تغيير دهد.
تطبيق
فرآيندي است كه پارامترهاي ساختمان فرآيند را تصحيح كرده و عملكرد كنترل را بهبود ميبخشد.
كنترل تطبيقي
سيستمي است كه اطالعات پيوستهاي در مورد وضعيت حالتهاي فعلي فرآيند و به منظور شناسايي فرآيند ،توليد ميكند.
ي بمنظور تطبيق سيستم
سپس عملكرد سيستم فعلي با وضعيت مطلوب يا بهينه مقايسه شده و بر اساس آن تصميم‌گير
صورت ميگيرد .در نهايت بمنظور رسيدن به وضعيت مطلوب ،تصحيح مناسب در سيستم اعمال ميشود .بنابراين سه عمل
شناسايي ،تصميمگيري و تصحيح در يك سيستم تطبيقي وجود خواهد داشت.
فرآيندهاي يك سيستم تطبيقي
)1شناسايي پارامترهاي ناشناخته يا اندازهگيري يك شاخص عملكرد).(IP
)2تصميمگيري بر روي روش كنترل.
)3تصحيح پارامترهاي كنترلر يا سيگنال ورودي
ساختار يك سيستم تطبيقي
يك سيستم كنترل تطبيقي از دو حلقه تشكيل ميشود :
-1يك حلقه ،فيدبك معمولي شامل فرآيند و كنترل كننده
-2حلقه تنظيم پارامتر
ADAPTIVE CONTROL; Def.
: مثال
A person who can drive any
of these vehicles in all kinds
of road conditions can be
considered to be a very
adaptive system.
LINEAR MODEL DESCRIPTION OF A CONTROL SYSTEM
An example of a conventional pole assignment control design for a simple
Proportional + Integral Controller:
ADAPTATION TO INTERNAL CHANGE IN PLANT DYNAMICS
If the dynamics of the
original system changes,
then the resultant closedloop system will behave
differently.
Adaptation may be required
when parameters of the plant
change.
ADAPTATION TO EXTERNAL CONDITION
Adaptation (control strategy) may be required depending on external operation conditions.
You may use different control gains depending on the error between reference and output.
DEFINE ADAPTIVE CONTROLLER ?
اصول كنترل تطبيقي
در سيستمهاي كنترل ،هنگاميكه مشخصه‌هاي ديناميكي فرآيند تحت كنترل تا حد زيادي
• دستيابي به عملكرد با ل
نامعلوم باشند
غير قابل پيشبيني ميشوند
دچار تغييرات وسيع و
كار سيستم
در طي
• هنگاميكه اين مشخصه‌ها
تغيير ديناميك فرآيند و مشخصه‌هاي اغتشاش تطبيق يابد
• ايده طراحي كنترلري است كه بتواند با
تاريخچه
• از دهه 1980روشهای تطبيقی در کنترلرهای معمول صنعتی مورد استفاده قرار گرفت
کنترلرها محدوده وسيعی از مسائل کنترل مانند :اتوپايلوت موشکها ،هواپيما و موشکها ،کنترل موتور ،رباتهای صنعتی،
• اين
در بر ميگيرد .
سيستمهای قدرت ،برجهای تقطير ،راکتورهای شيميايی ،کورهها ،حرارت و تهويه را
به طور كلي در بسياري از مسايل كنترل عملي ممكن است با مشكالتي از قبيل زير مواجه شويم :
تغيير ضرايب سيستم.
مقادیر اوليه و
در تابع تبديل فرآيند ،و نامشخص بودن
تغيير
)1
)2اغتشاش
در مشخصات و طبيعت ورودي.
تغيير
)3
در سيستمهاي پيچيده شيميايي و بيوشيميايي..
غير خطي
)4عملكرد
در زماني كه سيستم كنترلي براي يك فرآيند جديد انتخاب ميشود.
)5پارامترهاي ناشناخته فرآيند
اهكار كلي قابل تعريف و انتخاب :
سه ر
-1طراحييي حلقييه كنتييرل فيييدبكي كييه عملكييرد سيسييتم حلقييه بسييته را نسيييت بييه تغييييرات پارامترهيياي مييدل سيس يتم اصييلي غييير
حساس نمايد( .حساسيت)تنها در محدوده كوچكي از تغييرات پارامترها پاسخگو خواهد بود.
بر حسب آن.
ن كنتر ل
ي لحظه به لحظه پارامترهاي مدل سيستم و اصالح پارامترهاي قانو
-2اندازه‌گير
اندازهگيري برخي از پارامترها و يا حداقل عدم امكان اندازهگيري و تعيين لحظه به لحظه آنها مي‌باشد).
( عدم امكان
نظر از عملكرد واقعي سيستم كنترل با شاخص‌هاي مطلوب و اصالح قانون
-3مقايسه لحظه به لحظه شاخص‌هاي مورد
بر اساس اختالف مشاهده شده بين آن دو
كنتر ل فيدبك
روشهاي كنترل تطبيقي
روشهاي غيرمستقيم
كنترل دوگان
عدم قطعيت‌هاي پارامترهاي
تخميني در كنترلر
محسوب ميشود
اين روش پيچيده است و
براي مسائل عملي كاربرد
ندارد
رگوالتورهاي خود تنظيم
ابتدا پارامترهاي فرآيند
تخمين زده ميشوند
روشهاي مستقيم
مدل مرجع
(سيستم سرو تطبيقي)
مشخصات مورد نظر در قالب
يك مدل مطرح ميشود
شامل 2حلقه :
شامل 2حلقه :
-1حلقه دروني (فرآيند +كنترلر)
-2حلقه بيروني
(تخمينگر +تنظيم پارامترهاي كنترلر)
-1حلقه دروني (فرآيند +كنترلر)
-2حلقه بيروني
( تنظيم پارامترهاي كنترلر)
جدولبندي بهره
بر اساس اندازهگيري
شرايط كار فرآيند
چگونگي تغييرات ديناميك
با تغيير شرايط كار معلوم است
روش تصميمگيري استفاده از نوع كنترل كننده بطور معمول
ديناميكهاي فرآيند
متغير
ثابت
از كنترل كنندهاي با پارامترهاي
ثابت استفاده كنيد
از كنترل كنندهاي با پارامترهاي
متغير استفاده كنيد
تغييرات قابل
پيشبيني
از جدول بندي بهره
استفاده كنيد
تغييرات غيرقابل
پيشبيني
از يك كنترل كننده تطبيقي
استفاده كنيد
جدولبندي بهره
مزايا
معايب
پارامترهاي كنترلر را مي‌توان بسيار
سريع در پاسخ به تغييرات فرآيند
تغيير داد
هيچگونه فيدبكي براي اصالح
جدول نادرست وجود ندارد
زمان زيادي براي طراحي
صرف ميشود
نياز به شناخت دقيق از
فيزيك سيستم
هيچگونه تخميني در اين روش
وجود ندارد
پياده‌سازي در سيستمهاي كنترل
كامپيوتري بسيار ساده است
پارامترهاي كنترلر بايد براي تعداد
زيادي از شرايط كار مشخص شود
روشهاي اصلي سيستمهاي تطبيقي
)1كنترل تطبيقي مدل ي مرجع )(MRAC
)2رگولتورهاي خود تنظيم
كنترل تطبيقي مدل مرجع
Some of the basic methods used to design adjustment mechanism are
(i) MIT Rule
(ii) Lyapunov rule
General MRAC
روش مستقيم :در اين روش پارامترهاي كنترلر بمنظور حداقل كردن خطاي بين خروجي مدل و فرآيند ،مستقيما به روز
درميآيند.
)(Direct MRAC
روش غير مستقيم:
در اين روش پارامترهاي فرآيند ،تخمين زده شده و پارامترهاي كنترلر بر اساس اين مقادير تصحيح ميشوند.
)(Indirect MRAC
مراحل طراحي سيستمهاي تطبيقي مدل مرجع
بيشتر شاخص‌هاي عملكرد سيستم حلقه بسته به
در اين سيستمها ،نزديك ساختن و يا تطبيق هرچه
هدف اصلي
ي سيستم است .
در مدل و شرايط كار
شاخص‌هاي مطلوب در حضو ر عدم قطعيت و وجود تغييرات
فتار مطلوب سيستم حلقه بسته را مشخص كنيد.
)1ر
)2قانون كنترل مناسبي را همرا با پارامترهاي قابل تنظيم تعيين كنيد.
)3مكانيزمي براي تنظيم پارامترها بيابيد.
)4قانون كنترل را پياده كنيد.
مدل مرجع
MRAC
معايب
روش تئوری عمومی برای طراحی
مکانيزم تطبیق وجود ندارد
برای اغتشاش های نامشخص
یا فرآیندهای ناشناخته ،تطبیق با
مشکل مواجه می شود
مزايا
براحتی قابل اعمال به سیستم های
غيرخطی پیچیده است
پایداری سیستم از روش لیاپانوف
قابل اثبات است
انتخاب پارامترهای طراحی دشوار است
برای اغتشاش های نامشخص
یا فرآیندهای ناشناخته تطبیق با
مشکل مواجه می شود
شرایط اولیه سیستم در همگرایی
تطبیق موثر است
قانون تطبیق از روش لیاپانوف
قابل استخراج است
برای ورودی تعریف شده ،تطبیق
سریع انجام می گيرد
رگوالتورهای خود تنظیم
STC
مزايا
معايب
روش تئوری عمومی برای طراحی
مکانيزم تطبیق وجود ندارد
براحتی قابل اعمال به سیستم های
غيرخطی پیچیده است
برای اغتشاش های نامشخص
یا فرآیندهای ناشناخته ،تطبیق با
مشکل مواجه می شود
انتخاب پارامترهای طراحی دشوار است
برای اغتشاش های نامشخص
یا فرآیندهای ناشناخته تطبیق با
مشکل مواجه می شود
شرایط اولیه سیستم در همگرایی
تطبیق و تخمين موثر است
پایداری سیستم از روش لیاپانوف
قابل اثبات است
برای ورودی تعریف شده ،تطبیق
سریع انجام می گيرد
تنها با اندازه گيری ورودی و
خروجی قابل طراحی است
قانون تطبیق از روش لیاپانوف
قابل استخراج است
با مشخص بودن مرتبه و تاخير
سیستم قابل طراحی است
الگوريتم تخمين پارامترهاي مدل سيستم به روش حداقل مربعات خطا
1
Gp (z ) q
d
1
B(q )
A(q 1 )
aˆ1 (k )
aˆn (k )
ˆ
(k ) ˆ
b
(
k
)
1
ˆ
bm (k )
A(q 1 ) 1 aˆ1q 1 aˆ n q n
B (q 1 ) bˆ1q 1 bˆ2 q 2 bˆm q m
y (k 1)
y ( k n)
(k )
u
(
k
d
1
)
u
(
k
d
m
)
T
ˆ
yˆ (k ) (k ) (k )
(k ) y (k ) ˆT (k 1) (k )
الگوريتم تخمين پارامترهاي مدل سيستم به روش حداقل مربعات خطا
(k ) y (k ) ˆT (k 1) (k )
G (k )
F (k 1) (k )
1
T (k ) F (k 1) (k )
2
ˆ(k ) ˆ(k 1) G (k ) (k )
F (k )
I G (k )
1
1
T
(k ) F (k 1)
مراحل كلي طراحی کنترلر به روش يکی شده
Unified Approach
A(q 1 ) y P (k ) q d B(q 1 )u (k )
A(q 1 ) 1 a1q 1 a2 q 2 an A q na
B(q 1 ) b0 b1q 1 bnB q nb , b0 0
خروجی و ورودی سيستم خطی شده
1
2
(1 q ) Xvi (k ) q boi ui (k ) d
di 2
Ai (q 1 ) 1 q 1
Bi (q 1 ) boi
'
i
u (k ), yP (k )
ديناميک ربات: مثال
اهداف کنترل را بصورت زير درنظر می‌گيريم:
-1به منظور تضمين عمل رديابي فرآيند ،کنترلر بايد بگونه‌ای طراحي شود که خروجی فرآيند واقعي ،رابطه زير
را برآورده سازد.
) C1 (q 1 ) y P (k ) q d D(q 1 )r (k
) C1 (q 1و ) D(q 1
) r (k
چند جمله‌اي‌هاي پايدار مجانبي بوده كه توسط طراح انتخاب ميشود
ورودي مرجع محدود مي‌باشد
-2کنترلر بايد بگونه‌ای طراحي شود که با وجود شرايط اوليه در سيستم ،خطاي اوليه با ديناميكهاي
مشخص ،صفر شود .يعنی :
C 2 (q 1 ) y p (k d ) 0
k0
) C 2 ( q 1
يک چند جمله‌ای پايدار مجانبی بوده كه توسط طراح و بصورت زير درنظر گرفته می‌شود:
nC 2
1
1
C 2 (q ) 1 c1 q ... c nC 2 q
بمنظور حصول اهداف بيان شده ،مدل مرجع مطلوب را بصورت زير درنظر مي‌گيريم :
) C1 (q 1 ) y M (k ) q d D(q 1 )r (k
اگر خطای خروجی را بصورت زير درنظر بگيريم
) e( k ) y P ( k ) y M ( k
مشاهده می‌شود که بمنظور تحقق اهداف بيان شده در فوق ،رابطه زير بايد برقرار باشد
C 2 ( q 1 ) e ( k d ) 0
k0
) C 2 ( q 1
را مي‌توان بصورت زير بازنويس ی نمود:
) C2 (q 1 ) A(q 1 ) S (q 1 ) q d T (q 1
C2 (q 1 ) A(q 1 ) S (q 1 ) q d T (q 1 )
S (q 1 ) 1 s1q 1 s2 q 2 ... snS q nS
nS d 1
T (q 1 ) t0 t1q 1 t 2 q 2 ... t nT q nT
nT max( n A 1, nC2 d )
ديناميک ربات: مثال
di 2
Ai (q 1 ) 1 q 1
1
Bi (q ) boi
Ci (q 1 ) 1 crvi q 1
1 crvi 0
crvi 0.001
C i ( q 1 ) Ai ( q 1 ) S i ( q 1 ) q d Ti ( q 1 )
S i (q 1 ) 1 s1i q 1
S i (q 1 ) 1 0.999q 1
Ti (q 1 ) roi
Ti (q 1 ) 0.999
s1i 0.999
roi 0.999
C 2 (q 1 )e(k d ) [ B (q 1 ) S (q 1 )u (k ) T (q 1 ) y P (k ) C 2 (q 1 ) y M (k d )]
b0u (k ) 0T 0 (k ) C2 (q 1 ) yM (k d )
T (k ) C2 (q 1 ) yM (k d )
0T (k ) [u (k 1),..., u (k d nB 1); y P (k ),..., y P (k nT )]
0T [b0 s1 b1 , b0 s2 b1s1 b2 ,...., bn sd 1 ; t0 ,....., t n ]
B
T
T (k ) [u (k ); 0T (k )]
T [b0 ; 0T ]
(1 q 1 ) Xvi ( k ) q 2 boi u i (k ) d i'
(1 q 1 ) Xvi (k ) iT i (k 2)
iT boi
d i'
iT (k ) ui (k ) 1
ديناميک ربات: مثال
:قانون کنترل مطلوب بصورت زير محاسبه می‌شود
1
u (k ) [C 2 (q 1 ) y M (k d ) T (q 1 ) y p (k ) Bs (q 1 )u (k )]
b0
Bs ( q 1 ) B (q 1 ) S ( q 1 ) b0
بنابراين قانون كنترل بصورت زير خالصه ميشود
1
u (k ) [C2 (q 1 ) y M (k d ) 0T 0 (k )]
b0
ديناميک ربات: مثال
1
u i (k ) s1i u i (k 1)
[C i (q 1 ) Xvdi (k 2) ro i Xvi (k ) S i (q 1 )d i' ]
boi
Unified Approach
: اما اگر پارامترهاي سيستم ناشناخته باشند
1
u (k ) C2 (q 1 ) yM (k d ) ˆ0T 0 (k )
bˆ
0
0T (k ) [u (k 1),..., u (k d nB 1); y P (k ),..., y P (k nT )]
ˆ0T [bˆ0 sˆ1 bˆ1 , bˆ0 sˆ2 bˆ1sˆ1 bˆ2 ,...., bˆn sˆd 1 ; tˆ0 ,....., tˆn ]
B
T
T (k ) [u (k ); 0T (k )]
T [b0 ; 0T ]
ديناميک ربات: مثال
u i (k ) s1i .u i (k 1)
C (q
ˆ
b (k )
1
i
oi
1
) Xvdi (k 2) roi Xvi (k ) dˆi'
روش يكي شده براي سيستمهاي پيچيده را بصورت زير خالصه مي‌كنيم:
)1با مشخص بودن مرتبه و تأخير سيستم ،يك مدل خطي مناسب براي فرآيند درنظر مي‌گيريم.
ي ورودي و خروجي فرآيند و استفاده از الگوريتم تخمين پارامترها به روش حداقل مربعات خطا ،يك مدل
)2با اندازه‌گير
خطي به فرآيند تحت كنترل برازانده ميشود.
)3قانون كنترل را براي مدل خطي محاسبه كرده و به سيستم اصلي اعمال مي‌نماييم.
مهمترين مزاياي اين روش را چنين مي‌توان بر شمرد:
)1اين روش هم در حالت رگولتور و هم در حالت رديابي قابل استفاده است.
)2به منظور طراحي كنترل كننده تطبيقي به روش يكي شده تنها داشتن اطالعاتي در مورد مرتبه و تأخير سيستم كافي مي‌باشد.
)3اين الگوريتم از پايداري تضمين شده‌‌اي برخوردار بوده و براي تعيين مكانيزم تطبيق ،قدرت انتخاب بيشتري در اختيار طراح
قرار مي‌دهد.
)4اين روش از سرعت تطبيق بال و قابليت و سهولت پياده‌سازي خوبي برخوردار است.
Reduced Order Unified Approach
طراحی کنترلر موقعيت در حلقه بيروني
به منظور طراحی کنترل کننده تطبيقی دنبال کننده مدل برای حلقه کنترلی موقعيت ،تابع تبديل از موقعيت مطلوب به
موقعيت واقعی را بصورت زير درنظر می گيريم :
Crpi (q 1 ) 1 crp i .q 2
) Xpi (k ) Z 2 Crpi (q 1 ) Crpi (q 1
2
) Xpdi (k
Z rpi
1 rpi .q 2
به منظور عمل دنبال کنندگی کامل ،کنترلر تطبيقی برای حلقه کنترلی موقعيت لينک iام به صورت زير تعيين ميشود:
) upi (k ) Crpi (q 1 ) Xpdi (k 2) rpi . Xpi (k
crpi rpi crvi
)Xvdi (k ) Xpdsi (k 2) upi (k 2
ً
:تقريبا تخمين يك قدم جلوتر از موقعيت مطلوب
Xpdsi (k ) Xpd i (k 3) Z 2 . Xpd i (k 1) Z 3 . Xpd i (k ) Z 1 . Xpd i (k 1) / Z 4
Z 1 0.5
Z 2 Z1 1
Z 3 2Z 1
Z4 2
طراحي كنترل كننده تطبيقي گسسته مرتبه كاهش يافته به روش يكي شده
Unified Approach
X P (t ) X V (t )
X V (t ) f ( X (t ), u (t ), t )
ديناميک ربات: مثال
T
M ( ) V ( , ) G ( , ) A ( ) F1
1
2
1
2
V1
V
V2
G1
G
G2
M 1
M
0
0
M2
Unified Approach
i
X
i
X (t ) f ( X (t ), u (t ), t )
dXpi (t )
Xvi (t )
dt
dXvi (t )
mi (t )
qi (t ) d i (t )
dt
Xpi (k ) Xpi (k 1) TXv (k 1) 0.5(T 2 / mi )qi (k 1) d i (k 1)
Xvi (k ) Xvi (k 1) (T / mi )[ qi (k 1) d i (k 1)]
qi (k ) ui (k 1)
Unified Approach
Xpi (k ) Xpi (k 1) TXv (k 1) 0.5(T 2 / mi )qi (k 1) d i (k 1)
Xvi (k ) Xvi (k 1) (T / mi )[ qi (k 1) d i (k 1)]
1
2
(1 q ) Xvi (k ) q boi u i (k ) d
'
i
boi T / mi
d boi .d i
'
i
.تخمينی از اثر کوپلينگ در سيستم می باشد
d
'
i
Unified Approach
بنابراين ساختار کنترلی در اين روش ،از دوحلقه تشکيل می‌شود :
در اين حلقه و
)1حلقه داخلی که کنترل سرعتهای زاويه‌ای مفاصل را برعهده داشته و پارامترهای ناشناخته سيستم
اثر واکنش ی
هر مفصل و بدون وجود
در اين حلقه يک مدل خطی براي
به صورت تطبيقی تخمين زده می‌شوند .
سيستم به دست می‌آيد.
بر اساس مدل خطی بدست
کنترلر موقعيت
بر عهده داشته و
)2حلقه خارجی که کنترل موقعيت زوايای مفصلی را
آمده از حلقه داخلی ،به گونه‌ای طراحی می‌شود که عمل رديابي مدل به خوبی انجام شود.
نتايج شييه سازي براي يك ربات با سه مفصل
Velocity of joint 1 for arm A
Velocity of joint 2 for arm A
0.6
0.4
Desired
Actual
0.5
0.2
Radian/Sec
0
-0.2
0.3
0.2
0.1
-0.4
0
Desired
Actual
-0.6
0
50
100
150
K
200
250
-0.1
0
300
50
Velocity of joint 3 for arm A
0.1
0
Radian/Sec
Radian/Sec
0.4
-0.1
-0.2
-0.3
Desired
Actual
-0.4
0
50
100
150
K
200
250
300
100
150
K
200
250
300
Adaptive Control of Manipulator
• Two types
– MRAC (Model Reference Adaptive Control)
– STC (Self-Tuning Control)
Adaptive Mechanism of MRAC
•
•
•
Gradient method (MIT rule)
Lyapunov direct method
Hyperstability and positivity concept
•
The reference model is given by
•
The adjustable system is given by
xm (t ) Am xm (t ) Bmu(t )
x (t ) A(t )x (t ) Bu(t ), x (0) x0 , A(0) A0 , B(0) B0
e(t ) Am xm (t ) Bmu(t ) A(t )x (t ) B(t )u(t )
Am ( xm (t ) x(t )) ( Am A(t )) x(t ) (Bm B(t ))u(t )
Am e(t ) ( Am A(t )) x(t ) (Bm B(t ))u(t )
The goal is
lim( xm (t ) x (t )) lim e(t ) 0
t
t
lim A(t ) Am , lim B(t ) Bm
t
t
V eT Pe Tr {[ Am A(t )]T M 1[ Am A(t )]}
Tr {[Bm B(t )]T N 1[Bm B(t )]}
where P, M -1, N -1 0 p.d.m
V eT ( AmT P PAm )e 2Tr [ Am A(t )]T [PexT M 1A(t )]
2Tr [Bm B(t )]T [PeuT N T B(t )]
Define AmT P PAm Q,
Q0
PexT M 1A(t ) 0
1
Peu N B(t ) 0
T
matching conditions
v eT Qe 0
n.d.m
A(t ) MPexT
B(t ) NPeu
T
t
A(t ) A(0) MPexT dt
0
t
B(t ) B(0) NPeu dt
0
T
Adaptive Computed-Torque Control-Based on Parameter
Linearization
Manipulator
M (q )q Vm (q, q )q G(q ) F (q )
(1)
Controller
Mˆ (q )[qd K v e K p e ] Vˆm (q, q )q Gˆ (q ) Fˆ (q )
From (1)
Known time
function
M (q )q Vm (q, q )q G(q ) F (q ) W (q, q, q )
(2)
Unknown
constant
(3)
ex) Consider the dynamics of a two-link planar arm
1 (2mˆ 2l1l 2c2 mˆ 2l 22 (mˆ 1 mˆ 2 )l12 )q1
ˆ 2 l 22 mˆ 2 l1l 2c2 )q2 mˆ 2l1l 2 (2q1q2 q22 )s2
(m
ˆ 1 mˆ 2 )gl1c1 mˆ 2 gl 2c12
(m
2 (mˆ 2 l1l 2c2 mˆ 2 l 22 )q1 mˆ 2 l 22q2 mˆ 2 l1l 2q12s2 mˆ 2 gl 2c12
W11 W12
W (q, q, q )
,
W
W
21
22
ˆ1
m
ˆ2
m
where
W11 l12q1 l1gc1
W12 l 22 (q1 q2 ) l1l 2c2 (q1 q2 ) l12q1 l1l 2s2q22 2l1l 2s2q1q2
l 2gc12 l1gc1
W21 0
W22 l1l 2c2q2 l1l 2s2q12 l 2gc12 l 22 (q1 q2 )
From (2) and (3)
•
Mˆ (q )[e Kv e K pe] Mˆ (q )q Vˆm (q, q )q Gˆ (q ) Fˆ (q )
Mˆ (q )[e Kv e K pe] W (q, q, q )ˆ
(4)
• From (4) and (3)
e Kv e K pe Mˆ 1(q )W (q, q, q )
where
ˆ
(5)
In the state-space form
e Ae BMˆ 1(q )W (q, q, q )
where
Let
0
A=
K p
I
,
Kv
V eT Pe T 1 0
(6)
0
B=
I
where
diag [ 1, 2,
r ] T
V eT Pe eT Pe 2 T 1
eT P ( Ae BMˆ 1(q )W (q, q, q ) ) ( Ae BMˆ 1(q )W ( ) )T Pe 2 T 1
eT Qe 2 T ( 1 W T ( )Mˆ 1(q )BT Pe )
V eT Qe < 0
Since
if W T ( )Mˆ 1(q )BT Pe
ˆ,
ˆ W T (q, q, q )Mˆ 1(q )BT Pe
• Remarks:
• The tracking error vector e is asymptotically
stable.
• q and q should be measured.
• Mˆ 1(q) should exist.
• For preventing parameter estimate drifting, the
parameters are forced to remain within some
known values.
Example :
1 (2mˆ 2l1l 2c2 mˆ 2l 22 (mˆ 1 mˆ 2 )l12 )q1
ˆ 2 l 22 mˆ 2 l1l 2c2 )q2 mˆ 2l1l 2 (2q1q2 q22 )s2
(m
ˆ 1 mˆ 2 )gl1c1 mˆ 2 gl 2c12
(m
2 (mˆ 2 l1l 2c2 mˆ 2 l 22 )q1 mˆ 2 l 22q2 mˆ 2 l1l 2q12s2 mˆ 2 gl 2c12
m1 0.8
m2 2.3
mˆ 1 0.85
mˆ 2 2.2
l1 1
l2 1
m1hat
m2-hat
2.35
0.95
2.3
0.9
X: 2438
Y: 2.316
2.25
2.2
0.85
Kg
kg
2.15
X: 2650
Y: 0.8022
2.1
0.8
2.05
2
0.75
1.95
0.7
0
500
1000
1500
2000
2500
time(sec)
3000
3500
4000
1.9
0
500
1000
1500
2000
2500
Time(sec)
3000
3500
4000