Transcript Operasi Pada Bilangan Bulat

Operasi Pada Bilangan Bulat
Operasi Penjumlahan
• Sifat-Sifat
• Algoritma
Sifat-sifat Operasi Penjumlahan
Untuk semua bilangan bulat p, q, dan r berlaku sifat-sifat :
1. Tertutup
p + q adalah bilangan bulat yang tunggal
2. Komutatif
p+q=q+p
3. Asosiatif
(p + q) + r == p + (q + r)
4. Penjumlahan dengan bilangan 0 (identitas
penjumlahan)
p+0=0+p=p
5. Mempunyai invers penjumlahan
(a + b) + c
a+b
a
a
c
b
c
b
b+c
a + (b + c)
Penjumlahan dengan bilangan negatif
• Secara urnum: Misalkan p dan q bilangan-bilangan
cacah. Jika p > q (p = q + r, r bilangan asli) , maka
• p + (-q) = (q + r) + (-q)
nama lain dari p
= (r + q) + (-q)
Sifat komutatif penjumlahan
= r + (q + -q)
Sifat asosiatif penjumlahan
=r+0
Sifat invers penjumlahan
=r
Sifat identitas penjumlahan
=p-q
Sebab p = q + r
• Jadi, jika p > q, maka p + (-q) = p - q
• Untuk setiap bilangan cacah p dan q
(-p) + (-q) = -(p + q)
Bukti:
• [(-p) + (-q)] + (p + q)
= [(-p) + (-q)] + (q + p)
Mengapa?
= (-P) + [((-q) + ql + P
Mengapa?
= (-p) + (0 + p)
Mengapa?
= (-p) + p
Mengapa?
=0
Mengapa?
• Jadi [(-p) + (-q)] + (p + q) = 0
• Ini berarti ((-p) + (-q)) invers penjumlahan dari (p + q)
Karena invers penjumlahan tunggal,
maka (-p) + (-q) = -(p + q).
Operasi Perkalian
• Sifat-Sifat
• Algoritma
Sifat-sifat Operasi Perkalian
Untuk semua bilangan bulat p, q, dan r berlaku sifat-sifat :
1. Tertutup
p x q adalah bilangan bulat yang tunggal
2. Komutatif
pxq=qxp
3. Asosiatif
(p x q) x r == p x (q x r)
4. Perkalian dengan bilangan 0
px0=0xp=0
5. Perkalian dengan bilangan 1 (identitas perkalian)
px1=1xp=1
6. Distributif perkalian terhadap penjumlahan
p x (q + r) = (pxq) + (pxr) (distributif kiri)
(q + r) x p = (qxp) + (rxp) (distributif kanan)
4
◊
◊
◊ ◊ ◊
◊
◊
◊ ◊ ◊
◊
◊
◊ ◊ ◊
◊
◊
◊ ◊ ◊
5
4
◊
◊
◊
◊
◊
◊
◊
◊
◊
◊
◊
◊
◊
◊
◊
◊
◊
◊
◊
◊
3
2
5=3+2
4 x (3 + 2) = (4 x 3) + (4 x 2)
• Definisi: Untuk p dan q bilangan cacah,
perkalian bilangan bulat didefinisikan seperti
berikut:
p .q = n (P x Q), di mana p = n (P) dan q = n (Q),
P dan Q himpunan
(-p) . (-q) = p . q
(-p) . q = p . (-q) = - (p . q)
• Secara umum, dapat dibuktikan (-p).q = -(p.q)
• Bukti:
 Telah diketahui -(p.q) adalah invers penjumlahan dari pq.
 Dengan kata lain -(pq) + pq = 0.
 Karena invers penjumlahan bilangan bulat tunggal, maka
untuk menunjukkan (-p).q = -(pq), cukup ditunjukkan,
bahwa (-p).q adalah invers penjumlahan dari pq.
 Dengan kata lain harus ditunjukkan bahwa (-p).q + pq = 0.
 Sekarang
(-p).q + pq = [(-p) + p].q
Mengapa?
= 0.q
Mengapa?
=0
Mengapa?
 Sehingga (-p).q = -(p.q)
• Tunjukkan (-p).(-q) = p.q. Untuk p, q bilanganbilangan bulat.
• Jawab:
Untuk menunjukkan (-p).(-q) = pq, cukup
menunjukkan bahwa
[(-p).(-q)] + -(pq) = 0
Mengapa?
• Cobalah dikerjakan sebagai latihan.
Operasi Pengurangan
• Sifat-Sifat
• Algoritma
Sifat-sifat Operasi Pengurangan
Untuk semua bilangan bulat p, q, dan r berlaku
sifat-sifat :
1. Tertutup
p - q adalah bilangan bulat yang tunggal
2. Distributif perkalian terhadap pengurangan
p x (q - r) = (pxq) – (pxr) (distributif kiri)
(q - r) x p = (qxp ) – (rxp) (distributif kanan)
Operasi Pembagian
• Sifat-Sifat
• Algoritma
Sifat-sifat Operasi Pembagian
Untuk semua bilangan bulat p, q, dan r berlaku
sifat-sifat :
1. Pembagian dengan bilangan 0
0÷p=0
2. Pembagian dengan bilangan 1
p÷1=p
3. Distributif perkalian terhadap penjumlahan (satu
sisi)
(q + r) ÷ p = (q ÷ p) + (r ÷ p)
4. Distributif perkalian terhadap penjumlahan (satu
sisi)
(q - r) ÷ p = (q ÷ p) - (r ÷ p)