Transcript Jean-Philippe Roberge

Introduction à l’automatisation
-ELE3202Cours #12: Commande des systèmes échantillonnés
Enseignant: Jean-Philippe Roberge
S
Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
Cours # 12
S Fin du dernier cours:
S Retour sur le théorème de la fréquence d’échantillonnage
S Fonctions de transfert pulsées:
S
Éléments en cascade
S
Éléments en boucle fermée
S Stabilité d’une fonction de transfert pulsée
S Commande des systèmes échantillonnés
S Lieux des racines
S Test de stabilité de Jury
S Erreur en régime permanent
2
Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
Cours # 12
S Type d’une fonction de transfert pulsée
S Équivalent discret d’un contrôleur continu:
S Équivalent discret d’un contrôleur PID:
S
Différence arrière
S
Transformation bilinéaire
S
Réponse invariante à l’échelon
S Réponse basée sur le système de deuxième ordre
S Présentation d’intérêts d’étudiants:
S Photographie (I)
S Application au domaine de l’aéronautique(II)
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Cours #12
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Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
Choix d’une fréquence d’échantillonnage (I)
Théorème d’échantillonnage de Nyquist-Shannon
S
Le théorème de Nyquist-Shannon (aussi parfois nommé « le théorème d’échantillonnage)
énonce que la fréquence à laquelle on échantillonne un certain signal doit être au moins
supérieure au double de la fréquence maximale qui compose ce signal, c’est-à-dire:
f s  2 f max
S
 Ts 
1
2 f max
De façon plus formelle (tirée de [8]) : “Soit un signal continu qui possède un spectre de
fréquence maximale Fmax, il est possible d’échantillonner (discrétiser) ce signal sans perte
d’information si la fréquence d’échantillonnage Fs est choisie telle que le théorème d’échantillonnage
soit respecté”.
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Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
Choix d’une fréquence d’échantillonnage (II)
Théorème d’échantillonnage de Nyquist-Shannon
S
Tiré de [7]
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Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
Choix d’une fréquence d’échantillonnage (III)
Théorème d’échantillonnage de Nyquist-Shannon
S
À la limite, si un signal est échantillonné à exactement 2 fois sa fréquence maximale
(source image - wikipédia) :
S
Plusieurs signaux différents peuvent interpoler le signal véritable, c’est donc la raison
pourquoi il faut que la fréquence d’échantillonnage soit plus de deux fois plus grande et
non « plus grande ou égale » à la fréquence maximale qui compose le signal véritable.
7
Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
Fonction de transfert pulsée (I)
Éléments en cascade
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Fonction de transfert pulsée (II)
Éléments en boucle fermée
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Fonction de transfert pulsée (III)
Éléments en boucle fermée
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Fonction de transfert pulsée (IV)
Exemple I
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Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
Fonction de transfert pulsée (V)
Exemple I
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Fonction de transfert pulsée (VI)
Exemple I
13
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Fonction de transfert pulsée (VII)
Stabilité
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Fonction de transfert pulsée (VIII)
Stabilité
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Retour sur le bloqueur d’ordre 0 (I)
S
Q: Quel est l’intérêt du bloqueur d’ordre 0?
S R: Le bloqueur d’ordre 0 est fréquemment utilisé en tant que convertisseur digital à
analogique. C’est un système qui interpole grossièrement les échantillons.
S
Il peut d’ailleurs précisément reproduire un signal analogique, tant et aussi longtemps
que la période d’échantillonnage « T » est petite en comparaison à la période de temps
associée à la phase transitoire dudit signal.
S Plus particulièrement, la fréquence d’échantillonnage doit respecter le théorème de
Shannon-Nyquist:
s  21
S Où ws est la fréquence d’échantillonnage et w1 est la fréquence contenu dans le signal
à échantillonner.
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Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
Retour sur le bloqueur d’ordre 0 (II)
S
La fonction de transfert d’un bloqueur d’ordre 0 (nous l’avons développé au dernier
cours) est:
 sT
 st
G0  s  
S
1 e
1 e


s
s
s
En général, lorsque nous effectuerons l’analyse d’un système dans le domaine discontinu,
nous considérerons souvent le schéma général suivant:
Entrée = référence
(digital)
Ordinateur
(digital)
(digital)
Convertisseur
digital à analogique
(analogique)
(analogique)
Procédé
Actuateur
Convertisseur
analogique à digital
Sortie
(analogique)
Capteur
(analogique)
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Retour sur le bloqueur d’ordre 0 (III)
S
Ou encore:
Gp  z 
Rs +
D z
Bloqueur d'ordre 0
Gp  s 
Y s
-
S
Donc:
Y  z
R z

D z G  z 
1  D z G  z 
S En considérant un contrôleur de proportionnel:
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Y  z
R z

KG  z 
1  KG  z 
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Commande des systèmes échantillonnés (I)
Lieu des racines
S Donc, similairement au lieu des racines dans le domaine de Laplace, le
lieu des racines sera du système en boucle fermée, dans le domaine
échantillonné, sera déterminé par:
1  KG  z   0
S De plus, puisque z est complexe, le lieu des racines du système en boucle
fermée est sujet aux règles d’Evans (exactement les mêmes), tout comme
dans le domaine de Laplace.
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Commande des systèmes échantillonnés (II)
Lieu des racines
S Remarques:
S Les techniques montrées précédemment pour « placer les pôles » du système en
utilisant les relations d’angle et d’amplitude s’appliqueront.
S La région d’intérêt sera maintenant l’intérieur du cercle unitaire (centré à
l’origine) et non la partie gauche du plan complexe.
S Pour un G(z) avec n − m > 0, il y aura toujours au moins une asymptote qui
sortira du cercle unitaire et le gain K sera donc donc toujours borné
supérieurement.
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Commande des systèmes échantillonnés (III)
Test de stabilité de Jury
S Lorsque nous étions dans le domaine de Laplace nous utilisions la table de
Routh-Hurwitz afin de déterminé la stabilité ou l’instabilité d’un système.
S Le test de Jury vise le même objectif et passe par la création du « tableau de
Jury »
S Il y a une analogie évidente à faire entre Routh-Hurwitz (Laplace – systèmes
continus) et Jury (transformé en z – systèmes discontinus)
S Pour déterminer si tous les pôles d’un polynômes en z sont à l’intérieur du cercle
unitaire, il faudra utiliser le test de stabilité de Jury. Considérons le polynôme
caractéristique d’un système (boucle fermée):
P  z   a0 z n  a1z n1  ...  an1z  an
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Commande des systèmes échantillonnés (IV)
Test de stabilité de Jury
P  z   a0 z n  a1z n1  ...  an1z  an
S Il faut alors vérifier si tous les pôles du polynôme en z sont à l’intérieur du
cercle unitaire centré à l’origine. Pour ce faire, on construit le tableau de
Jury:
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Commande des systèmes échantillonnés (V)
Test de stabilité de Jury
S
Avec:
23
Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
Commande des systèmes échantillonnés (VI)
Test de stabilité de Jury
S
Finalement:
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Commande des systèmes échantillonnés (VII)
Erreur en régime permanent
S
La notion de l’erreur en régime permanent, tout comme pour les systèmes dans le
domaine de Laplace, utilisera évidemment le théorème de la valeur finale. Soit le système
suivant:
S
Alors, la fonction de transfert du système est donnée par:
S
L’erreur de suivi, quant à elle est donnée par:
S
Donc, l’erreur en régime permanent:
C z
R z
E  z   R  z   E  z  GH  z 

G z
1  GH  z 

Ez 
R z
1  GH  z 

R z 
E.R.P.= lim 1  z 1  E  z    lim 1  z 1 

z 1
z 1
1  GH  z  

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Commande des systèmes échantillonnés (VIII)
Erreur en régime permanent – entrée échelon

R z 
E.R.P.  lim 1  z 1 

z 1
1  GH  z  

S
Ainsi, pour une entrée échelon, on a:
S
Donc:
R z 
1


1
1

z


   lim  1   1
E.R.P.  lim 1  z 1 



z 1
1  GH  z   z 1 1  GH  z   1  K p



E.R.P. 
S
1
1  z 1 
Où: K p  lim GH  z  
1
1 Kp
z 1
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Commande des systèmes échantillonnés (IX)
Erreur en régime permanent – entrée rampe

R z 
E.R.P.  lim 1  z 1 

z 1
1  GH  z  

Tz 1
S
Ainsi, pour une entrée rampe, on a:
S
Donc:
S
Propriété des limites: La limite de produit est aussi égal au produit des limites:
R z 
1  z 
1 2


Tz 1
2

1


1  z    lim 
Tz 1

E.R.P.  lim 1  z 1 
z 1 
1  GH  z   z 1  1  z 1  1  GH  z   









 1
Tz 1
T



E.R.P.  lim 

lim
1
1
z 1
 1  z  1  GH  z    z 1  1  z   GH  z    Kv
E.R.P. 
 1  z 1   GH  z   
S Où: Kv  lim 

z 1
T


27
1
Kv
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Commande des systèmes échantillonnés (X)
Erreur en régime permanent – entrée parabole

R z 
E.R.P.  lim 1  z 1 

z 1
1  GH  z  

S
Ainsi, pour une entrée rampe, on a:
S
Donc:
R z 
T 2 1  z 1  z 1
2 1  z 1 
3


T 2 1  z 1  z 1


1 3

 

2
1

z
T 2 1  z 1  z 1




T2
1




E.R.P.  lim 1  z 

  lim
2
2
z 1
z

1

1

1
 2 1  z  1  GH  z     1  z  1  GH  z   
1  GH  z 



 







T2

 1
 lim
2
z 1 
1
 Ka
 1  z   GH  z   
E.R.P. 
1
Ka
1  z 1   GH  z  
2
S
Où: K a  lim
z 1
T2
28
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Commande des systèmes échantillonnés (XI)
Type d’une fonction de transfert pulsée
S
Le « type » d’une fonction de transfert pulsée correspond au nombre de pôle situé en z=1.
S
Tout comme dans le domaine de Laplace, il existe un lien direct entre le type d’une
fonction de transfert pulsée et l’erreur en régime permanent pour une entrée connue (e.g.:
un échelon, une rampe ou une parabole).
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Commande des systèmes échantillonnés (XII)
Type d’une fonction de transfert pulsée VS E.R.P
30
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Commande des systèmes échantillonnés (XIII)
Équivalent discret d’un contrôleur continu
S
Le contrôleur PID du domaine continu (Laplace) possède son équivalent dans le
domaine discret, et il est en fait assez facile de passer de la forme continue à discret. Il
existe en effet plusieurs transformations qui permettent d’obtenir l’équivalent discret. En
effet, soit l’équation d’un contrôleur PID :
t
de  t 
0
dt
c  t   K p e  t   Ki  e  t  dt  K d
S
Cette équation peut être approximée en remplaçant l’intégrale par une règle trapézoïdale
et la dérivée par une différence arrière pour obtenir:
k
e   h  1 T   e  hT 
h 0
2
m  kT   K p e  kT   KiT 
S


Kd
e  kT   e   k  1 T 
T

Rappel & démonstration au tableau …
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Commande des systèmes échantillonnés (XIV)
Équivalent discret d’un contrôleur continu
S
À partir de cette approximation, attardons-nous maintenant à trouver la fonction de
transfert pulsée du contrôleur PID.
S Commençons par trouver la fonction de transfert pulsée de l’approximation
trapézoïdale de l’intégrale de l’erreur:
k
e   h  1 T   e  hT 
h 0
2
f  kT   T 
S On cherche F(z). En soustrayant f  (k  1)T  des deux côtés, on obtient:
f  kT   f
f  kT   f
k
e   h  1 T   e  hT 
h 0
2
  k  1 T   T 
 e   k  1 T   e  kT  

2


k
e   h  2  T   e   h  1 T 
h 0
2
T 
  k  1 T   T 
 E  z  1  z 1  

F  z  1  z   T 
2


1
1  z  E z
F z  T
 
2 1  z 
1

32
1
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Commande des systèmes échantillonnés (XV)
Équivalent discret d’un contrôleur continu
S
Donc, la fonction de transfert pulsée du contrôleur PID:
33
Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
Commande des systèmes échantillonnés (XVI)
Équivalent discret d’un contrôleur continu
S
Une autre approximation du contrôleur PID se base uniquement sur la différence arrière.
S En effet, puisqu’en approximant la dérivée par une différence arrière, nous avons
approximé « s » par:
1  z 
s
1
T
S En utilisant cette approximation pour « s », l’intégrale peut par conséquent être
1
T
approximée par:

s 1  z 1


S Ce qui donne l’approximation par différence arrière du contrôleur PID:
34
Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
Commande des systèmes échantillonnés (XVII)
Équivalent discret d’un contrôleur continu
S
Une autre approximation du contrôleur PID se base uniquement sur la transformation
bilinéaire où l’on approxime l’intégrale par une règle trapézoïdale. En effet;
1
1 T 1  z 

s 2 1  z 1 

s
2 1  z 1 
T 1  z 1 
S Ce qui donne l’approximation par transformation bilinéaire du contrôleur PID:
S Cette approximation est habituellement plus précise que celle uniquement par
différence arrière…
35
Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
Commande des systèmes échantillonnés (XVIII)
Réponse invariante à l’échelon
S
Une dernière façon d’approximer la fonction de transfert d’un contrôleur se base sur une
méthode par laquelle on souhaite obtenir la même réponse temporelle à un échelon dans
le domaine discret et dans le domaine continu.
S Plus précisément, soit G(s) une fonction de transfert d’un compensateur et Gd(z) son
approximation en discret, on souhaite:
36
Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
Commande des systèmes échantillonnés (XIX)
Réponse invariante à l’échelon
37
Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
Commande des systèmes échantillonnés (XIX)
Résumé – Fonction de transfert du premier ordre
S
En résumé:
Ts

 1  e  a 

Z

s
s

a




38
Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
Commande des systèmes échantillonnés (XX)
Réponse basée sur le système de 2ième ordre
39
Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
Commande des systèmes échantillonnés (XXI)
Réponse basée sur le système de 2ième ordre
40
Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
Commande des systèmes échantillonnés (XXII)
Réponse basée sur le système de 2ième ordre
41
Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
Commande des systèmes échantillonnés (XXIII)
Réponse basée sur le système de 2ième ordre
42
Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
Commande des systèmes échantillonnés (XXIV)
Réponse basée sur le système de 2ième ordre
43
Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
Commande des systèmes échantillonnés (XXV)
Exemple
44
Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
Commande des systèmes échantillonnés (XXVI)
Exemple
45
Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
Commande des systèmes échantillonnés (XXVII)
Exemple
46
Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
Commande des systèmes échantillonnés (XXVII)
Exemple
47
Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
Commande des systèmes échantillonnés (XXVII)
Exemple
48
Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
Commande des systèmes échantillonnés (XXVIII)
Exemple
49
Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
Intérêt #1 : Photographie
50
Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
Présentation d’intérêts d’étudiants (I)
Photographie - Références
S
[1] A Control System for Superimposed High Speed Photographic Records – F.L. Curzon 1970
S
[2] Automatically Available Photographer Robot for controlling Composition and taking pictures
– Myung-Jin Kim, Tae-Hoon Song, Seung-Hun Jin, Soon-Mook Jung, Gi-Hoon Go,
Key-Ho Kwon and Jae-Wook Jeon, 2010.
S
[3] ENTROPY BASED CAMERA CONTROL FOR VISUAL OBJECT TRACKING Matthias Zobel, Joachim Denzler; Heinrich Niemann – 2002.
S
[4] Exposure Control in a Multi-Stage Photographic System - J. W. Boone 1967.
S
[5] Image-based visual PID control of a micro helicopter using a stationary camera, Kei
Watanabe, Yuta Yoshihata, Yasushi Iwatani and Koichi Hashimoto, 2007.
S
[6] Optical Image Stabilizing System using Multirate Fuzzy PID Controller for Mobile Device
Camera, Hyung Jin Chang, Pyo Jae Kim, Dong Sung Song, and Jin Young Choi, 2009.
51
Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
Présentation d’intérêts d’étudiants (II)
Photographie
S
Application #1 : le robot photographe (tiré de [2])
S Utile lors de sinistres ou de situations critiques (e.g. Centrales nucléaires au Japon)

a) Plateforme mobile

b) Système de vision
52
c) Contrôleur
Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
Présentation d’intérêts d’étudiants (III)
Photographie
53
Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
Présentation d’intérêts d’étudiants (IV)
Photographie
S
2ième application (tiré de [6]):
S Stabilisateur d’image pour caméra digitale
portable.
S Basé sur la lecture de gyroscopes et de
capteur d’accélération linéaire, l’algorithme
de contrôle évalue les vibrations subies par
l’appareil et minimise leur impact en
corrigeant la position du capteur
photographique (CCD : Charged Coupled
Device) à l’aide d’un moteur de type
« voice coil ».
54
Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
Présentation d’intérêts d’étudiants (V)
Photographie
55
Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
Présentation d’intérêts d’étudiants (VI)
Photographie
56
Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
Présentation d’intérêts d’étudiants (VII)
Photographie - Résultats
57
Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
Présentation d’intérêts d’étudiants (VIII)
Photographie - Résultats
58
Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
Présentation d’intérêts d’étudiants (IX)
Photographie - Résultats
59
Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
Intérêt #2 : Aéronautique
60
Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
Références
S
[1]Lateral and Longitudinal Guidance and Control Design of a UAV in Auto Landing Phase–
Muhammad Ilyas Salfi , Umair Ahsun and Haider Ali Bhatti, 2009.
S
[2] Research and Applications of Immune PID Adaptive Controller in Anti-skid Braking System
for Aircraft – Haibin Song, Bin Fang, Pu Wang, 2009.
S
[3] NASA - Control of a Human-Powered Helicopter in Hover– Joseph J. Totah and William
Patterson, 1988
S
[4] Autonomous Path Tracking and Disturbance Force Rejection of UAV Using Fuzzy Based
Auto-Tuning PID Controller – Theerasak Sangyam, Pined Laohapiengsak, Wonlop
Chongcharoen, and Itthisek Nilkhamhang, 2007.
S
[5] Design and Simulation of the Longitudinal Autopilot of UAV Based on Self-Adaptive Fuzzy
PID Control, Yang Shengyi, Li Kunqin, Shi Jiao, 2009.
61
Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
2ième application (I)
Système anti-dérapage (tiré de [2])
S
Des systèmes anti-dérapage équipent aujourd’hui la plupart des avions de lignes
modernes. Ceux-ci revêtent une importance primordiale lors du décollage et surtout
lors de l’atterrissage:
Analyse des forces affectant une roue
Analyse des forces de l’avion lorsque celui-ci
se meut à l’aide de ses roues (tiré de [2])
62
Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
2ième application (II)
Système anti-dérapage (tiré de [2])
S
Coefficient de glissement dépendamment de la condition du tarmac:
63
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2ième application (III)
Système anti-dérapage (tiré de [2])
S
Architecture du système de contrôle:
64
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2ième application (IV)
Système anti-dérapage (tiré de [2])
65
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2ième application (V)
Système anti-dérapage (tiré de [2])
66
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2ième application (VI):
Suivi de trajectoire et rejet des perturbations pour un UAV (tiré de [4])
S
Qu’est-ce qu’un UAV?
S UAV = « Unmaned Air Vehicle ». Ici, il s’agira d’un hélicoptère téléguidé à quatre
rotors modélisé de cette façon:
67
Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
2ième application (VII):
Suivi de trajectoire et rejet des perturbations pour un UAV (tiré de [4])
S
Le UAV a ici quatre rotors (actuateurs) et 6 variables d’états qui décrivent complètement
la dynamique du véhicule:
S
Le but de la recherche est de comparer la performance d’un contrôleur PID classique VS
un contrôleur PID à gains ajustables pour commander le système de manière à ce qu’il
soit apte a suivre un ensemble d’états désirés.
68
Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
2ième application (VIII):
Suivi de trajectoire et rejet des perturbations pour un UAV (tiré de [4])
S
Contrôleur PID classique:
69
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2ième application (IX):
Suivi de trajectoire et rejet des perturbations pour un UAV (tiré de [4])
S
Contrôleur PID à gains ajustables:
70
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2ième application (X):
Suivi de trajectoire et rejet des perturbations pour un UAV (tiré de [4])
S
Résultats:
71
Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
2ième application (XI):
Suivi de trajectoire et rejet des perturbations pour un UAV (tiré de [4])
S
Résultats (suite):
72
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Références
S
[1]Modern Control Systems – Richard C. Dorf & Robert H. Bishop
S
[2]Control Systems Engineering – Norman S. Nise
S
[3]Notes de cours (ELE3202) – Richard Gourdeau & John Thistle
S
[4]Linear System Theory – Wilson J. Rugh
S
[5] R.C. Dorf and A. Kusiak, Handbook of Manufacturing and Automation, John Wiley &
Sons, New York, 1994.
S
[6] Jean-Philippe Roberge, Étude et commande d’un système mécanique avec liens flexible, 2009.
S
[7]Pascal Bigras, Asservissement numérique en temps réel, notes de cours, cours #1 2007.
S
[8] Groupe de Recherche en Informatique, Image, Automatique et Instrumentation de Caen :
http://www.greyc.ensicaen.fr/~gbinet/LeL1/L1_Sig3.pdf
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