Transcript Jean-Philippe Roberge

Introduction à l’automatisation
-ELE3202Cours #11: Transformée en z – Bloqueur d’ordre 0 et transformée inverse
Enseignant: Jean-Philippe Roberge
S
Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
Cours # 11
S Retour sur l’examen intra
S Exercices tirées des examens finaux des années passées
S Revue du dernier cours
S Retour sur la fin du dernier cours: Bloqueur d’ordre 0
S
Obtention de la fonction de transfert
S
Obtention de la fonction de transfert pulsée
S Transformée en z inverse
2
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Cours # 11
S Choix d’une période d’échantillonnage
S Fonction de transfert pulsée:
S
D’éléments en cascade
S
D’éléments en boucle fermée
S Critère de stabilité
S Présentation d’un intérêt d’étudiant : la photographie (1)
3
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Retour sur l’examen intra
Question #1
4
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Retour sur l’examen intra
Question #2
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Retour sur l’examen intra
Question #3
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Retour sur l’examen intra
Question #4
7
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Retour sur l’examen intra
Question #5
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Retour sur l’examen intra
Question #6
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Résumé des apprentissages (I)
Matière vue depuis l’examen intra
S
Modèle d’état
S En boucle ouverte:
x  Ax  Bu
y  Cx
S En boucle fermée (en fermant la boucle par une rétroaction d’états (U = -K*x)):
x  Ax  BKx   A  BK  x
y  Cx
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Résumé des apprentissages (II)
Matière vue depuis l’examen intra
S
Le fait d’avoir fermée la boucle avec U = -K*x suppose que tous les états sont disponibles
(on peut les connaître les mesurer). Cependant, dans bien des cas:
S Il est impossible de mesurer tous les états
S On ne souhaite pas acheter tous les capteurs qui seraient nécessaires (qui sont parfois
coûteux).
S
Une solution est alors l’observateur d’état:
x  Ax  Bu
xˆ  Axˆ  Bu  K e  y  yˆ 
e  x  xˆ   Ax  Bu    Axˆ  Bu  K e  y  yˆ  
 Ae  K eCe   A  K eC  e
y  Cx
11
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Résumé des apprentissages (III)
Matière vue depuis l’examen intra
S
Si les valeurs propres de  A  KeC  sont à partie réelle négative, alors nous avions
démontré que l’erreur d’estimation de l’état tend vers 0 quand le temps tend vers l’infini.
S
On peut alors se servir de l’état estimé pour faire notre rétroaction d’état:
x  Ax  BKxˆ  Ax  BK  x  xˆ  x   Ax  BKx  BKe
e  x  xˆ   Ax  Bu    Axˆ  Bu  K e  y  yˆ  
 Ae  K eCe   A  K eC  e
y  Cx
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Résumé des apprentissages (IV)
Matière vue depuis l’examen intra
S
En ce qui concerne le design de l’observateur d’état, nous avions vu le principe de
séparation. En effet:
x  Ax  BKxˆ  Ax  BK  x  xˆ  x   Ax  BKx  BKe
e  x  xˆ   Ax  Bu    Axˆ  Bu  K e  y  yˆ  
 Ae  K eCe   A  K eC  e
y  Cx
S
S
 x   A  BK
e   0
  
  x
A  KeC   e 
BK
Donc;
S
En choisissant le gain Ke de sorte à ce que les valeurs propres de (A-KeC) soient toutes à partie réelle négative,
on assure la stabilité de l’observateur (l’erreur est stable). Non seulement l’erreur est-elle stable, elle tend vers 0
(tel que démontré dans le cours).
S
Étant donnée l’erreur stable et en choisissant le gain K de sorte à ce que les valeurs propres de (A-BK) soient
toutes à partie réelle négative, on assure la stabilité du système (procédé)
Nous pouvons donc effectuer le design de l’observateur de manière tout à fait
indépendante du procédé:
sI  A  BK
 BK
0
sI  A  K eC
 sI  A  BK sI  A  K eC  0
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Résumé des apprentissages (V)
Matière vue depuis l’examen intra
S
Dans une foule d’applications, nous souhaitons que le procédé soit apte à suivre des
consignes de type échelon (d’amplitude quelconque) et ce, malgré la présence possible de
perturbations constantes. Par exemple;
S
S
Régulateur de vitesse, lecteur de disque dur, suivi de température dans un four, thermostats électroniques et
mécaniques, etc…
Nous avions alors démontré qu’en ajoutant un intégrateur à l’entrée du système, il était
possible de faire le suivi de consigne de type échelon:
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Résumé des apprentissages (VI)
Matière vue depuis l’examen intra
S
Rappel de la preuve démontrant la capacité du système à effectuer le suivi de consigne:
S
En effet, soient l’erreur « e » et l’intégrale de l’erreur « eI »:
e  r  t   y  t  et eI   e  t  dt   r  t   y t  dt
 eI  e  r  t   y  t   r  t   Cx  t 
On peut ré-écrire sous forme de modèle d’état, tel que:
 x   A 0  x   B 
 0


u

d



e   C 0  e   0 
1 r
   
 
 I 
S En fermant la boucle (tout en étant conforme avec le diagramme fonctionnel
précédent) avec u=-Kx+KIeI , on obtient le modèle d’état en boucle fermée:
S
 x    A 0  B 
e     C 0   0   K
  
 I  
 A  BK

 C
  x  0
 B
KI       r    d
0
 eI  1 
BK I   x  0
 B

r

0d
0  eI  1 
 
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Contrôle intégral pour suivi de consigne (VII)
 x    A 0  B 
e     C 0   0   K
  
 I  
  x  0
 B
 A  BK
KI        r    d  
0
 C
 eI  1
BK I   x  0
 B

r

0d
0  eI  1
 
Ae
Ae
S
Le système et l’erreur à la sortie de l’intégrateur seront stables si la matrice Ae à toute ses
valeurs propres à partie réelle négative.
S
Maintenant, si le système est stable, cela implique que lorsque le temps tend vers l’infini:
lim  x  t    x
t 
l'état x prend une valeur finie constante  x=0
lim  r  t    r et
t 
S
lim  d  t    d 
t 
Si x  0 , alors on a (de l’équation du haut):
0   A  BK  x  BK I eI  Bd    A  BK  x  BK I  e  t  dt  Bd 
 BK I  e  t  dt    A  BK  x  Bd   constante
  e  t   constante

d
e  t  dt  e  t   r  t   y  t   0
dt 
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Résumé des apprentissages (VIII)
Matière vue depuis l’examen intra
S
Évidemment, il est possible de pousser plus loin la théorie et de combiner toutes ces
notions sous forme générale:
S
Nous pouvons faire la conception d’un système qui doit suivre des consignes de type échelon
avec un observateur pour estimer l’état:
S
Nous avions vu l’exemple des locomotives qui appliquait cette forme complète.
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Résumé des apprentissages (IX)
Bloqueur d’ordre zéro
Un bloqueur d’ordre 0 est un système qui permet de
garder
constante
(le
temps
d’une
période
d’échantillonnage) la valeur d’un échantillon:
Pour kT  t   k  1T , y t  =r  kT   r *  kT 

S À l’entré du bloqueur, on a:  r  kT    t  kT 
S
S
k 0
En intégrant,
on obtient :
 
0  r  kT  t  kT    r  kT  u1 t  kT 
k 0
S
k 0
Finalement on
obtient la sortie du bloqueur en

soustrayant:  r  kT  u1 t   k  1T  , c’est-à-dire l’intégrale
k 0
décalée de:
 st
 e 
T 

 s 
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Fin du dernier cours (X)
Bloqueur d’ordre zéro
S
Donc, la fonction de transfert du bloqueur d’ordre 0 est:
1 e sT 1  e st
G0  s   

s
s
s
S
Exemple de système en boucle ouverte avec un bloqueur d’ordre 0 à l’entrée:
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Fin du dernier cours (XI)
Bloqueur d’ordre zéro
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Exercices
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Exercices (I)
Modèle d’état
Examen final 2008:
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Exercices (II)
Modèle d’état
Examen final 2009:
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Cours #11
Transformée en z inverse (I)
S
Lorsque nous nous intéressons à « convertir » une fonction du domaine z au domaine
temporel, il est nécessaire de faire appel à la notion de transformée de z inverse.
S
Dans le cadre du cours, trois différentes méthodes seront présentées pour obtenir la
transformée en z inverse. Il s’agit de:
S 1) La division directe
S 2) L’expansion en fractions partielles
S 3) Le calcul par récursion
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Transformée en z inverse (II)
La division directe
S
Le principe de la méthode par division directe est d’obtenir une série infinie en
Ensuite, en se rappelant la définition même d’une transformée en z, i.e.:
z 1 .

X  z    x  kT  z  k
k 0
S
Il est possible de retrouver la valeur de chaque x(k*T).
S
Considérons cet exemple: X  z  
10 z  5
10 z  5
 2
 z  1 z  0.2 z  1.2 z1  0.2
10 z 1  5 z 2
S Que l’on peut ré-écrire sous cette forme: X  z  
1  1.2 z 1  0.2 z 2
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Transformée en z inverse (III)
La division directe
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Transformée en z inverse (IV)
La division directe
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Transformée en z inverse (V)
L’expansion en fractions partielles
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Transformée en z inverse (VI)
L’expansion en fractions partielles
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Transformée en z inverse (VII)
L’expansion en fractions partielles
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Transformée en z inverse (VIII)
Calcul par récursion
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Transformée en z inverse (IX)
Calcul par récursion
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Transformée en z inverse (IX)
Calcul par récursion
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Choix d’une fréquence d’échantillonnage (I)
Théorème d’échantillonnage de Nyquist-Shannon
S
Le théorème de Nyquist-Shannon (aussi parfois nommé « le théorème d’échantillonnage)
énonce que la fréquence à laquelle on échantillonne un certain signal doit être au moins
supérieure au double de la fréquence maximale qui compose ce signal, c’est-à-dire:
s  21
S
Où ws est la fréquence d’échantillonnage et w1 est la fréquence maximale qui compose le
signal à échantillonner.
35
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Choix d’une fréquence d’échantillonnage (II)
Théorème d’échantillonnage de Nyquist-Shannon
S
Tiré de [7]
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Choix d’une fréquence d’échantillonnage (III)
Théorème d’échantillonnage de Nyquist-Shannon
S
À la limite, si un signal est échantillonné à exactement 2 fois sa fréquence maximale
(source - wikipédia) :
S
Plusieurs signaux différents peuvent interpoler le signal véritable, c’est donc la raison
pourquoi il faut que la fréquence d’échantillonnage soit plus de deux fois plus grande et
non « plus grande ou égale » à la fréquence maximale qui compose le signal véritable.
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Fonction de transfert pulsée (I)
Éléments en cascade
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Fonction de transfert pulsée (II)
Éléments en boucle fermée
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Fonction de transfert pulsée (III)
Éléments en boucle fermée
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Fonction de transfert pulsée (IV)
Exemple I
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Fonction de transfert pulsée (V)
Exemple I
42
Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
Fonction de transfert pulsée (VI)
Exemple I
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Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
Fonction de transfert pulsée (VII)
Stabilité
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Fonction de transfert pulsée (VIII)
Stabilité
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Présentation d’intérêts d’étudiants (I)
Photographie - Références
S
[1] A Control System for Superimposed High Speed Photographic Records – F.L. Curzon 1970
S
[2] Automatically Available Photographer Robot for controlling Composition and taking pictures
– Myung-Jin Kim, Tae-Hoon Song, Seung-Hun Jin, Soon-Mook Jung, Gi-Hoon Go,
Key-Ho Kwon and Jae-Wook Jeon, 2010.
S
[3] ENTROPY BASED CAMERA CONTROL FOR VISUAL OBJECT TRACKING Matthias Zobel, Joachim Denzler; Heinrich Niemann – 2002.
S
[4] Exposure Control in a Multi-Stage Photographic System - J. W. Boone 1967.
S
[5] Image-based visual PID control of a micro helicopter using a stationary camera, Kei
Watanabe, Yuta Yoshihata, Yasushi Iwatani and Koichi Hashimoto, 2007.
S
[6] Optical Image Stabilizing System using Multirate Fuzzy PID Controller for Mobile Device
Camera, Hyung Jin Chang, Pyo Jae Kim, Dong Sung Song, and Jin Young Choi, 2009.
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Présentation d’intérêts d’étudiants (II)
Photographie
S
Application #1 : le robot photographe (tiré de [2])
S Utile lors de sinistres ou de situations critiques (e.g. Centrales nucléaires au Japon)

a) Plateforme mobile

b) Système de vision
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c) Contrôleur
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Présentation d’intérêts d’étudiants (III)
Photographie
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Présentation d’intérêts d’étudiants (IV)
Photographie
S
2ième application (tiré de [6]):
S Stabilisateur d’image pour caméra digitale
portable.
S Basé sur la lecture de gyroscopes et de
capteur d’accélération linéaire, l’algorithme
de contrôle évalue les vibrations subies par
l’appareil et minimise leur impact en
corrigeant la position du capteur
photographique (CCD : Charged Coupled
Device) à l’aide d’un moteur de type
« voice coil ».
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Présentation d’intérêts d’étudiants (V)
Photographie
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Présentation d’intérêts d’étudiants (VI)
Photographie
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Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
Présentation d’intérêts d’étudiants (VII)
Photographie - Résultats
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Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
Présentation d’intérêts d’étudiants (VIII)
Photographie - Résultats
53
Jean-Philippe Roberge - Mars 2011
Présentation d’intérêts d’étudiants (IX)
Photographie - Résultats
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Prochain cours
S Commande des systèmes échantillonnés:
S Lieux des racines
S Critère de Jury
S Erreur en régime permanent
S Équivalent discret d’un contrôleur continu
S Réponses basées sur le système de deuxième ordre
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Références
S
[1]Modern Control Systems – Richard C. Dorf & Robert H. Bishop
S
[2]Control Systems Engineering – Norman S. Nise
S
[3]Notes de cours (ELE3202) – Richard Gourdeau & John Thistle
S
[4]Linear System Theory – Wilson J. Rugh
S
[5] R.C. Dorf and A. Kusiak, Handbook of Manufacturing and Automation, John Wiley &
Sons, New York, 1994.
S
[6] Jean-Philippe Roberge, Étude et commande d’un système mécanique avec liens flexible, 2009.
S
[7]Pascal Bigras, Asservissement numérique en temps réel, notes de cours, cours #1 2007.
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