Transcript contrôleur avance de phase

Introduction à l’automatisation
-ELE3202Cours #6: Contrôleurs PD & à avance de phase, contrôleurs PI & à retard de phase
Enseignant: Jean-Philippe Roberge
S
Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Cours # 7
S Conception de contrôleurs:
S Contrôleurs PD (retour plus exhaustif sur la matière du dernier cours)
S Contrôleurs à avance de phase
S Contrôleurs PI
S Contrôleurs à retard de phase
S Contrôleurs PID
S Exercices restant des examens de pratique
2
Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Cours #7
Rappel - Contrôleur de type P (I)
S Il existe plusieurs outils de conception de contrôleurs ; nous utiliserons
comme outil principal de design le lieu des racines.
S Pour illustrer cette méthode, commençons par considérer le système ci-
dessous:
C(s)
G(s)
Contrôleur
Procédé
Avec:
C s  K p
Ps 
(Contrôleur de type proportionnel)
1
s  0.2s  1
4
Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Rappel - Contrôleur de type P (II)
S Le contrôleur le plus simple est un contrôleur proportionnel, qui n’a
qu’une seule constante K comme fonction de transfert.
S En particulier, il ne permet pas de modifier de façon indépendante les
valeurs de ζ et de ωn.
S Ce dernier fait sera illustré par notre exemple.
S Le polynôme caractéristique du système en boucle fermée est:
Kp
T s 
Kp
s  0.2s  1

Kp
s  0.2s  1  K p
1
s  0.2s  1

Pc  s   0.2s 2  s  K p
5
Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Rappel - Contrôleur de type P (III)
S Utilisons les règles d’Evans pour tracer le lieu des racines:
S Le point de départ des deux branches du lieu des racines débute aux
positions des pôles du système en boucle ouverte, donc en s1 = 0 et s2 = -5
S Le centre de gravité des asymptotes sera:
n
s
S Angles des asymptotes:

S Points d’intersection:
m
 p  z
i 1
i
i 1
nm
i

5
2
h  180
=90, 270 où h=1,3
nm
G ' s  
d N s
 0  N  s  ' D  s   D  s  ' N  s   0  0.4s  1  0
ds D  s 
s
1
 2.5
0.4
6
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Imaginary Axis
Rappel - Contrôleur de type P (IV)
Root Locus
3
S Angles de départ:
2
Angle de départ d'un pôle = 180
-  Angles des vecteurs entre les pôles et le pôle en question 
   Angles des vecteurs entre les zéros et le pôle en question 
1
L'angle d'arrivée à un zéro  180
0
  Angles des vecteurs entre les zéros et le zéro en question 
   Angles des vecteurs entre les pôles et le zéro en question 
-1
S Pôle #1:
A1  180  0  180
S Pôle #2: A2  180  180  0
-2
-3
-6
-5
-4
-3
7
Real Axis
-2
-1
0
1
Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Rappel - Contrôleur de type P (V)
S Rappel – temps de réponse à 2%:
Ts 2% 
4

Par conséquent, on se trouve
dans l’impossibilité
S Dans l’exemple le
quetemps
nous venons
d’étudier, à du
toute
paire de pôles
d’augmenter
de réponse
système!
n
complexes qui se trouvent sur chacune des branches, il ne correspond
qu’une même valeur de ζωn :
Pour pouvoir mieux répondre aux diverses
spécifications, il faut considérer des contrôleurs
de formes plus générales (PI, PD ou PID).
S Si on augmente K de façon à s’éloigner de l’origine et ainsi augmenter
la valeur de ωn, alors il faut forcément diminuer ζ par le même facteur.
8
Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Retour plus exhaustif sur la matière (I)
Contrôleurs PD et avance de phase
S La fonction de transfert d’un contrôleur de type PD s’écrit comme suit:

1 
C  s   K p  Kd s  Kd  s 



PD 
Où:  PD 
KD
Kp
S Le terme Kp donne lieu à un composant de la commande qui est
directement proportionnel à l’erreur.
S Le terme Kds procure un composant qui est proportionnel à la dérivée de
l’erreur.
S Ce contrôleur PD ajoute à la fonction de transfert en boucle fermée un
zéro à s = −1/τPD. Le lieu des racines correspondant à la fonction de
transfert en boucle ouverte C(s)P(s) = Kd(s + 11)P(s) est présenté à la
figure suivante.
9
Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Retour plus exhaustif sur la matière (II)
Contrôleurs PD et avance de phase
Root Locus
10
8
6
4
Imaginary Axis
2
0
-2
-4
-6
-8
-10
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
Real Axis
10
Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Retour plus exhaustif sur la matière (III)
Contrôleurs PD et avance de phase
S Pour bien comprendre comment l’ajout du zéro modifie la forme du
lieu, effectuons un bref rappel:
KG  s   1
S i) La relation d’amplitude:
m
 G s 
s  z 
i 1
n
s  p 
i 1
S ii) La relation d’angle:
m
n
i 1
i 1
i

1
K
i
G  s     s  zi     s  pi   180  k  360 où k =1,2,3,...
S Ce système de deux équations étant équivalent à l’équation originale,
un point s se trouve sur le lieu des racines si et seulement s’il répond à
ces deux équations.
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Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Retour plus exhaustif sur la matière (IV)
Contrôleurs PD et avance de phase
S L’angle de G(s) étant donné par:
m
n
i 1
i 1
G  s     s  zi     s  pi   180  k  360 où k =1,2,3,...
S Soit la partie imaginaire de s positive, alors la contribution d’un terme
(s− s0) est illustrée ci-dessous:
12
Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Retour plus exhaustif sur la matière (V)
Contrôleurs PD et avance de phase
S Étant donnée la forme de notre expression pour l’angle de G(s), on voit
que les zéros apportent une contribution positive à l’angle pour un s à
partie imaginaire positive, alors que les pôles y apportent une
contribution
négative.
L’effet
contrôleur
PD est donc
Vérifions
ce fait
avecdeunl’ajout
petit du
exemple
MATLAB...
d’apporter une contribution positive à l’angle de la fonction de transfert
m
n
G(s):
G  s     s  z     s  p   180  k  360 où k =1,2,3,...

i 1
i

i
i 1
S Pour que la relation d’angle soit toujours remplie, la contribution des
pôles doit devenir plus négative. On peut vérifier que ceci veut dire que
le lieu se déplace vers la gauche et vers la partie négative de l’axe des
réels. L’ajout d’un contrôleur PD permet donc d’obtenir des pôles en
boucle fermée avec des rapports d’amortissement ζ augmentés pour
une pulsation naturelle ωn donnée.
13
Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Retour plus exhaustif sur la matière (VI)
Contrôleurs PD et avance de phase
S Autre remarque: nous avons vu lors des derniers cours qu’il était
possible, à l’aide du système normalisé de deuxième ordre;
 2n
G s  2
s  2n   2
n
S de connaître très précisément les caractéristiques (dépassement, temps
de réponse, etc…) de la réponse temporelle en fonction des paramètres
ζ, ωn .
S Or il se trouve qu’en ajoutant un contrôleur de type PD, nous ne pouvons
plus vraiment nous fier aux formules que nous avions développées,
puisqu’il est désormais impossible de mettre le système de deuxième ordre
sous forme normalisée (dû au zéro du contrôleur).
14
Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Retour plus exhaustif sur la matière (VII)
Contrôleurs PD et avance de phase
S Par exemple, de l’exemple tirée des notes de cours:
15
Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Retour plus exhaustif sur la matière (VIII)
Contrôleurs PD et avance de phase
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Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Retour plus exhaustif sur la matière (IX)
Contrôleurs PD et avance de phase
17
Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Retour plus exhaustif sur la matière (X)
Contrôleurs PD et avance de phase - Exemple
S Considérons le système suivant:
C(s)
G(s)
Contrôleur
Procédé
Avec:
G s 
1
s 2  2s  3
et
C  s   K d  s  1  =  s  1
 PD 

S En fermant la boucle:
 s  1  s  1 
GB.F .  s   2
 
s  3s  4
K  n2
s 2  2n  n2
(Contrôleur de type PD, K p =K D =1)

K  1 , n  2,   3
4
4
S On pourrait alors être tenté d’utiliser les relations du système normalisé
de deuxième ordre, e.g.:

Pe
1
0.75
2
 100%  e
1 0.752
100%  2.8375%
18
Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Retour plus exhaustif sur la matière (XI)
Contrôleurs PD et avance de phase - Exemple
S Cela serait erroné, on ne peut négliger l’effet du zéro! Nous ne pouvons
mettre un tel système sous forme normalisé du deuxième ordre:
sys1 
19
1
s 2  3s  4
sys 2 
 s  1
s 2  3s  4
Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Retour plus exhaustif sur la matière (XII)
Contrôleurs PD et avance de phase - Exemple
S En fait il faudrait plutôt se rapporter à la charte suivante:
1  4  s  1
T  s   42
s  3s  4
 s

K  n2 
 1
an


 2
2
s  2n s  n
a2 ,
3
n  2,
  34
Dépassement  35%
20
Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Retour plus exhaustif sur la matière (XIII)
Contrôleurs PD et avance de phase
21
Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Retour plus exhaustif sur la matière (XIV)
Contrôleurs PD et avance de phase
S
Un contrôleur PD ne devrait pas être implanté sous la forme idéale K + Kds = Kd(s +
1/τPD). En effet, le module de la réponse fréquentielle de ce contrôleur est:
K p  K d j  K d  2  1
2
 PD
S
qui s’accroît sans borne en fonction de la fréquence ω.
S
Un contrôleur avec cette fonction de transfert serait impossible à réaliser, et amplifierait
de façon excessive le bruit de mesure. Par conséquent, un contrôleur réel a souvent la
forme d’un contrôleur avance de phase :
s 1
KA
S
A
s 1
où typiquement 1
 A
20
  1
3
Noter que le module de la réponse fréquentielle d’un tel système tend vers αKA lorsque
ω tend vers 0, et vers KA lorsque ω tend vers l’infini.
22
Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Retour plus exhaustif sur la matière (XV)
Contrôleurs PD et avance de phase
S
Remarques:
S
Le pôle de ce contrôleur peut, tout comme le zéro, changer l’allure de la réponse temporelle
du système, et rendre non valables les relations obtenues pour le système normalisé du
deuxième ordre.
S
Pour que ces relations soient respectées, on essaie typiquement de faire en sorte que le zéro
soit annulé, ou presque, par un pôle du système en boucle fermée, et que la partie réelle des
pôles ayant les valeurs désirées de ζ et de ωn soit plusieurs fois plus petites (en valeur absolue,
donc plus près de l’axe imaginaire) que celles de tout autre pôle du système en boucle fermée
qui n’est pas annulé (ou presque) par un zéro.
S
Lorsque cette dernière condition est remplie, on dit que ces pôles ayant les valeurs désirées de
ζ et ωn sont dominants, en ce sens qu’ils ont une influence dominante sur l’allure de la
réponse en régime transitoire.
Observons ce phénomène à l’aide de l’applet
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Java de l’Université John Hopkins
Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Retour plus exhaustif sur la matière (XVI)
Design d’un contrôleur à avance de phase
S
Pour atteindre le comportement désiré en régime transitoire, on exploite l’analyse du système
normalisé du deuxième ordre ainsi que la charte fournie pour le système du deuxième ordre avec
zéro.
S
Comme nous l’avons vu auparavant, les spécifications du dépassement et du temps de réponse se
traduisent en contraintes sur les paramètres ζ et ωn des pôles complexes du système en boucle
fermée.
S
L’ajout au contrôleur du pôle s = −1/ατA a tendance à contrer l’effet du zéro, mais vu que le pôle
se trouve à la gauche du zéro, sa contribution à l’angle de G(s) est plus faible en valeur absolue
que celle du zéro. C’est la raison pour laquelle on nomme ce type de contrôleur à « avance de
phase ».
S
Le contrôleur permet donc de déplacer le lieu du système dans le sens désiré et de choisir ainsi de
meilleures combinaisons des paramètres ζ et ωn. Ce type de contrôleur est donc fort utile pour
améliorer la réponse en régime transitoire d’un système.
24
Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Retour plus exhaustif sur la matière (XVII)
Design d’un contrôleur à avance de phase
S
Le lieu des racines qui résulte de l’implantation d’un contrôleur avance de phase a été tracé en
gardant constant le zéro −1/τA et le pôle −1/ατA et en faisant varier le gain KA:
25
Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Retour plus exhaustif sur la matière (XVIII)
Design d’un contrôleur à avance de phase
S
Nous avons soulevé le point qu’un contrôleur à avance de phase permettait d’améliorer la réponse
d’un système en régime transitoire. Cependant, il améliore aussi la réponse du système en régime
permanent:
Constante d'erreur de position: K p  lim C  s  G  s   lim K A
s 0
s 0
s 1
A
s 1
Constante d'erreur de vitesse: K v  lim sC  s  G  s   lim sK A
s 0
s 0
 A
s 1
A
s 1
Constante d'erreur d'accélération: K a  lim s 2C  s  G  s   lim s 2 K A
s 0
S
s 0
 A
G  s   lim K A G  s 
s 0
G  s   lim sK A G  s 
s 0
s 1
A
s 1
 A
G  s   lim s 2 K A G  s 
s 0
Dans tous les cas, on obtient des constantes d’erreurs directement proportionnelles à KA qui est un
paramètre choisi par l’ingénieur (gain du contrôleur à avance de phase). Plus une constante
d’erreur quelconque est grande, plus l’erreur en régime permanent sera petite.
26
Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Retour plus exhaustif sur la matière (XIX)
Design d’un contrôleur à avance de phase
S
Phase associée à un contrôleur à avance de phase:
27
Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Design d’un contrôleur à avance de phase (I)
S
Le design par le lieu des racines d’un contrôleur avance de phase se fait typiquement par une
combinaison d’intuition et d’expérience. Ceci dit, les étapes suivantes devraient produire un
contrôleur raisonnable dans un grand nombre de cas :
S
1. Trouver des valeurs de ζ et ωn qui, selon les formules développées pour le système
normalisé du deuxième ordre, vérifient les spécifications de la réponse temporelle. Ceci
détermine des valeurs d’une paire de pôles complexes:
sd  n  j 1   2 n
S
Notre démarche sera basée sur l’hypothèse que ceux-ci seront les pôles dominants du système
en boucle fermée — c’est-à-dire que le système de commande se comportera comme un
système du deuxième ordre dont les pôles sont ceux là.
28
Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Design d’un contrôleur à avance de phase (II)
S
2. Choisir le zéro −1/ατA du contrôleur avance de phase. Si ce zéro est à la gauche du point s = −ωn, son effet sur
la forme du lieu risque d’être trop petit, parce que l’angle (sd − (−1/ατA)), où sd = −ζωn ± j*sqrt(1 − ζ2)ωn, sera
trop petit. Par contre, s’il est trop proche de l’axe des imaginaires, son effet sur le dépassement risque d’être trop
important.
S
Idéalement, on éviterait l’effet indésirable du zéro sur le dépassement en plaçant le zéro directement par
dessus un pôle du procédé. Puisqu’en pratique cette annulation ne sera pas parfaite, il est mieux de ne pas le
faire en se servant d’un pôle qui est très proche de l’origine (par rapport aux pôles désirés sd). S’il s’avère
impossible de faire annuler le zéro par un pôle du procédé, alors le zéro aura probablement un effet non
négligeable sur le dépassement (tel que nous l’avons démontré dans le cadre du dernier exemple). Dans ce cas, il
faut compenser en augmentant le rapport d’amortissement : l’abaque fourni devrait être consulté afin de choisir
une valeur appropriée pour ζ.
29
Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Design d’un contrôleur à avance de phase (III)
30
Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Design d’un contrôleur à avance de phase (IV)
S
4. Répéter des étapes au besoin afin de raffiner le design.
S Puisque la valeur de l’angle
est limitée, il est parfois nécessaire d’utiliser deux
contrôleurs avance de phase en cascade. Dans ce cas, c’est la somme de leurs angles
respectifs qui figure dans la relation d’angle.
31
Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Design d’un contrôleur à avance de phase (V)
Exemple
S
Exemple donné dans le récapitulatif:
32
Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Contrôleurs PI et à retard de phase (I)
Contrôleurs PI
S
Pour augmenter le type de contrôleur (et en ce faisant améliorer la performance du
système en tant que suiveur ainsi qu’en tant que régulateur), il faut insérer dans la
boucle un intégrateur.
S
Pourtant, l’ajout d’un pôle a l’effet opposé de l’ajout d’un zéro : il déplace le lieu vers la
droite et vers la partie positive de l’axe des réels.
33
Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Contrôleurs PI et à retard de phase (II)
Contrôleurs PI
Lieux des racines avec et sans intégrateur:
S
Root Locus
Root Locus
6
6
G1  s  
4
1
s  3s  4
4
G1  s  
2
2
Imaginary Axis
Imaginary Axis
2
0
0
-2
-2
-4
-4
-6
-2.5
-2
-1.5
-1
Real Axis
-0.5
0
-6
-8
0.5
34
1
s  s  3s  4 
2
-6
-4
-2
0
2
4
Real Axis
Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Contrôleurs PI et à retard de phase (III)
Contrôleurs PI
S
Une des façons d’enrayer ce problème est d’ajouter non seulement le pôle de
l’intégrateur mais en même temps un zéro. Vu qu’une des branches du lieu des racines
se terminera dans ce zéro, le zéro doit se trouver sur la partie négative de l’axe des réels.
On introduit un tel zéro en utilisant un contrôleur PI, soit un contrôleur avec fonction
de transfert:
S
 Kp 
s 1

Ki 
Ki K p s  Ki

C s  K p 

 Ki
s
s
s
Soit un procédé dont la fonction de transfert en boucle ouverte est:
Gs 
1
s  0.2s  1
35
Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Contrôleurs PI et à retard de phase (IV)
Contrôleurs PI
Gs 
En utilisant un contrôleur de type I, la fonction de transfert en B.F. est:
Root Locus
15
10
1
T s 
0.2s 3  s 2  1
5
Imaginary Axis
S
1
s  0.2s  1
0
-5
-10
-15
-20
-15
-10
-5
0
5
10
Real Axis
36
Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Contrôleurs PI et à retard de phase (V)
Contrôleurs PI
Gs 
S
1
s  0.2s  1
Maintenant, en utilisant plutôt un contrôleur de type PI (en ajoutant ainsi un zéro dans
la fonction de transfert) on obtient une fonction de transfert en boucle fermée :
S
Ici:
Ki
 cte  2
Kp
Root Locus
6
4
K

K i  p s  1
K
i


T s 
3
2
0.2s  s  K p s  Ki  1
Imaginary Axis
2
0
-2
-4
-6
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
Real Axis
37
Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Contrôleurs PI et à retard de phase (VI)
Contrôleur à retard de phase
S
S’il s’agit simplement d’augmenter la constante d’erreur sans augmenter le type du système, il
suffit d’utiliser un contrôleur retard de phase, soit de la forme suivante :
C  s   KR
S
S
s 1
R
s 1
, où   1
 R
On remarque que la forme est exactement la même que celle du contrôleur à avance de phase.
Cependant, puisque β est plus grand que 1, le pôle sera situé à droite du zéro.
S
Par conséquent, la phase associée à ce contrôleur sera négative, d’où son nom « retard de phase »
S
Notez que lorsque β→∞, ce contrôleur tend vers un contrôleur PI
Évidemment, il est impossible d’augmenter le type du système avec un contrôleur retard de phase.
Cependant, ce contrôleur permet souvent d’augmenter par un facteur important la constante
d’erreur du système et ce, sans détériorer la transitoire.
38
Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Contrôleurs PI et à retard de phase (VII)
Contrôleur à retard de phase
S
Angle du contrôleur à retard de phase:
C  s   
S
s 1
R
s 1
 R



  où  >1
   s    1      s    1
R 
 R  
 
 
Considérons le même système que dans l’exemple précédent, i.e.:
Gs 
S
1
s  0.2s  1
Utilisons alors un contrôleur à retard de phase pour commander ce système, en boucle fermée on
obtient:
K R  s  1 
R 

T s 
 0.2s 2  s   s  1 R   K R  s  1 R 
39
Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Contrôleurs PI et à retard de phase (VIII)
Contrôleur à retard de phase
En utilisant τR = 2 et β = 5:
Root Locus
2
1.5
1
0.5
Imaginary Axis
S
K R  s  1 
R 

T s 
 0.2s 2  s   s  1 R   K R  s  1 R 
Notez la ressemblance
avec le contrôleur de
type PI
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-6
-5
-4
-3
-2
Real Axis
-1
0
1
40
Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Contrôleurs PI et à retard de phase (IX)
Contrôleur à retard de phase
S
Aussi, en ce qui a trait aux constantes d’erreur, tel que précédemment:
Constante d'erreur de position: K p  lim C  s  G  s   lim K R
s 0
s 0
s 1
A
s 1
Constante d'erreur de vitesse: K v  lim sC  s  G  s   lim sK R
s 0
s 0
s 1
A
s 1
Constante d'erreur d'accélération: K a  lim s 2C  s  G  s   lim s 2 K R
s 0
S
s 0
 A
 A
G  s   lim K R  G  s 
s 0
G  s   lim sK R  G  s 
s 0
s 1
A
s 1
 A
G  s   lim s 2 K R  G  s 
s 0
Alors on peut augmenter les constantes d’erreur autant que nécessaire en utilisant un contrôleur
retard de phase avec une valeur suffisamment élevée de βKR. En effet, de tels contrôleurs sont
typiquement utilisés pour augmenter la constante d’erreur d’un système sans modifier sa réponse
en régime transitoire.
41
Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Contrôleurs PI et à retard de phase (X)
Contrôleur à retard de phase : lieu des racines
42
Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Contrôleurs PI et à retard de phase (XI)
Contrôleur à retard de phase : Effet de son zéro & pôle
S
Une des branches du lieu des racines se terminera dans le zéro du contrôleur. Vu que ce zéro se
trouve relativement proche de l’origine, il y aura un pôle du système en boucle fermée qui sera
situé très près de l’origine. On s’attendrait à ce que ceci ralentisse la réponse du système. Mais
dans le cas du système suiveur, la fonction de transfert est donnée par:
Tsuiveur  s  
S
C s Ps
1 C s Ps
Par conséquent, le zéro du contrôleur est aussi un zéro du système suiveur. Ce zéro a tendance à
annuler l’effet indésirable du dit pôle sur la réponse du système suiveur.
43
Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Contrôleurs PI et à retard de phase (XIII)
Contrôleur à retard de phase : Effet de son zéro & pôle
S
Par contre, si une perturbation vient s’ajouter à la commande u, alors la fonction de transfert du
système régulateur est donnée par:
Trégulateur  s  
S
P s
1 C s Ps
Le pôle qui se situe près de l’origine (dû au zéro du contrôleur) n’est donc pas annulé par le zéro
de C(s), car ce zéro n’est pas un zéro du système régulateur! Par conséquent, ce pôle risque de
ralentir la réponse du système régulateur, et de faire en sorte que des perturbations puissent venir
provoquer des transitoires de longue durée.
S
Pour cette raison, il est important de ne pas utiliser une valeur de 1/R plus petite que nécessaire. Il
s’agit donc de faire un compromis entre la détérioration de la réponse en régime transitoire du
système suiveur d’une part (détérioration due au déplacement du lieu des racines) et du système
régulateur de l’autre part.
44
Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Contrôleurs PI et à retard de phase (XII)
Conception des contrôleurs à retard de phase
45
Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Contrôleurs PI et à retard de phase (XIII)
Exemple
46
Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Contrôleurs PI et à retard de phase (XIV)
Exemple
47
Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Contrôleurs PI et à retard de phase (XV)
Exemple
Root Locus
15
10
Imaginary Axis
5
0
-5
-10
-15
-15
-10
-5
0
5
10
Real Axis
48
Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Contrôleurs PI et à retard de phase (XVI)
Exemple
49
Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Contrôleurs PI et à retard de phase (XVII)
Exemple
Root Locus
15
10
Imaginary Axis
5
0
-5
-10
-15
-20
-15
-10
-5
0
5
Real Axis
50
Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Contrôleurs PI et à retard de phase (XVIII)
Exemple
51
Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Contrôleurs PI et à retard de phase (XIX)
Exemple
52
Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Contrôleurs PI et à retard de phase (XX)
Exemple
53
Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Contrôleurs PI et à retard de phase (XXI)
Exemple
54
Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Contrôleurs PI et à retard de phase (XXII)
Exemple
Root Locus
3
2
Imaginary Axis
1
0
-1
-2
-3
-4
-3
-2
-1
0
1
2
Real Axis
55
Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Contrôleurs PI et à retard de phase (XXIII)
Exemple
S
Les pôles pour KA * KR = 24:
56
Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Contrôleurs PI et à retard de phase (XXIV)
Exemple
57
Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Contrôleurs PI et à retard de phase (XXV)
Exemple
1.4
System: sys
Peak amplitude: 1.29
Overshoot (%): 28.8
At time (sec): 2.01
Amplitude
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
58
Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Contrôleurs PI et à retard de phase (XXVI)
Exemple
59
Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Contrôleurs PI et à retard de phase (XXVII)
Exemple
60
Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Contrôleurs PI et à retard de phase (XXVIII)
Exemple
S
Les pôles pour KA * KR = 24
61
Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Contrôleurs PI et à retard de phase (XXVIX)
Exemple
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
62
Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Contrôleurs PI et à retard de phase (XXX)
Exemple
1.4
Amplitude
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
2
4
6
10
8
12
14
16
18
63
Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Contrôleurs PI et à retard de phase (XXXI)
Exemple
64
Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Contrôleur PID (I)
65
Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Exercices
Exercices (I)
67
Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Exercices (II)
68
Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Exercices (III)
69
Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Exercices (IV)
70
Jean-Philippe Roberge - Février 2011
Références
S [1]Modern Control Systems – Richard C. Dorf & Robert H. Bishop
S [2]Control Systems Engineering – Norman S. Nise
S [3]Notes de cours (ELE3202) – Richard Gourdeau & John Thistle
S [4]Linear System Theory – Wilson J. Rugh
71
Jean-Philippe Roberge - Février 2011