Transcript Jean-Philippe Roberge

Introduction à l’automatisation
-ELE3202Cours #3: Réponse en fréquence, conception d’un système de commande & Exercices
Enseignant: Jean-Philippe Roberge
S
Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011
Cours # 3
S Bref rappel du cours #2:
S Transformée unilatérale de Laplace: Utilisation des tables
S Transformée inverse par décomposition en fractions partielles (3 cas)
S Fonctions de transfert
S Simplification des diagrammes fonctionnels (Schéma blocs)
S Réponse temporelle des systèmes
S Nouveau : Présentation de l’applet « Exploration du plan-s »
S Réponse en fréquence
2
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Cours #3
S Conception de boucles de commande (1ère partie)
S Analyse de la réponse en régime transitoire
S Analyse de la réponse en régime permanent
S Exercices:
S Issus des questionnaires d’examen
S Autres
3
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Retour sur le cours #2 (I)
Transformée unilatérale de Laplace
S Rappel - la transformée
unilatérale de Laplace est
définie comme:
L  f  t   F  s     e st f  t  dt

0
4
u t   0
t0
u t   1
t0
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Retour sur le cours #2 (II)
Transformée unilatérale de Laplace
S Nous avions présenté 8 propriétés:
Et deux théorèmes:
Valeur initiale:
f  0   lim f  t   lim sF  s 
s 
t 0
Valeur finale:
lim f  t   lim sF  s 
t 
5
s 0
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Retour sur le cours #2 (III)
Transformée inverse & décomposition en F.P.
S 1er cas – Les pôles de la fonction à décomposer sont réels et distincts:
F s 
C1
C2
Cn

 ... 
s  p1 s  p2
s  pn
S 2e cas – Les pôles sont réels et complexes:
F s 
N s
Ds

N s
 s  p1   s 2  as  b  ...

C1
C s  C3
 22
 ...
 s  p1  s  as  b
S 3e cas – Les pôles sont réels et multiples:
F s 
N s
 s  p1   s  pk 1  s  pk  2  ...
k

C1
C2
Ck
Ck 1
Cn


...



...

k
s  p1  s  p1 2
s  pn
 s  p1  s  pk 1
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Retour sur le cours #2 (IV)
Fonctions de transfert
S La fonction de transfert est la transformée de Laplace de la
réponse du système à une impulsion de Dirac, avec conditions
initiales nulles. Elle représente la sortie sur l’entrée:
Y  s
Rs
R(s)

sortie
1
 G s 
entrée
Ms 2  bs  k
1
Ms 2  bs  k
7
Y(s)
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Retour sur le cours #2 (V)
Simplification des diagrammes fonctionnels
S
1)
S
2)
S
3)
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Retour sur le cours #2 (VI)
Simplification des diagrammes fonctionnels
S
4)
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Retour sur le cours #2 (VII)
Simplification des diagrammes fonctionnels
S
5)
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Retour sur le cours #2 (VIII)
Réponse temporelle d’un système
Système normalisé du premier ordre (forme standard d’un système de 1er ordre):
K
G  s  :
s  1
S Position de l’unique pôle d’un système du premier ordre:
S
S
En appliquant un échelon à l’entrée du système, la valeur finale de la sortie du
système est K:
 1

 1 K 
lim  s G  s    lim  s
K
s 0
s

0
 s

 s s  1 
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Retour sur le cours #2 (IX)
Réponse temporelle d’un système
S
Système normalisé du deuxième ordre (forme standard d’un système de 2e ordre):
S
Les pôles du système sont situés en:
Kn2
G s  2
s  2n s  n2
s  n  n  2  1
S
1) Si 
 : Système sur-amorti
S
2) Si 
 : Système avec amortissement critique
S
3) Si
0    : Système sous-amorti
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Retour sur le cours #2 (X)
Réponse temporelle d’un système
S
1)
2)
3)
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Retour sur le cours #2 (XI)
Réponse temporelle d’un système
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Retour sur le cours #2 (XII)
Réponse temporelle d’un système
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Retour sur le cours #2 (XIII)
Exploration du plan s
S http://www.jproberge.net/plan-s.html
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Cours #3
Réponse en fréquence (I)
S
Introduction: Qu’est-ce que la réponse en fréquence?
S
R: Le nom le dit, il s’agit de la réponse d’un système en régime permanent vis-à-vis un signal
d’entré qui varie à une certaine fréquence.
S
Q: Pourquoi est-il intéressant de s’intéresser à la réponse en fréquence?
S
R: Il existe plusieurs raisons pour lesquelles il est intéressant et important de se soucier de la réponse
en fréquence:
S
Technique d’analyse très facile à expérimenter en pratique (facile à réaliser, fiable…)
S
Nous renseigne énormément aux niveaux des caractéristiques du système (surtout par rapport à
la réponse transitoire)
S
Permet même, dans certains cas, l’identification de la fonction de transfert d’un système
lorsqu’on ne la connait pas a priori.
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Réponse en fréquence (II)
Le concept de la réponse en fréquence
S
Important: En régime permanent, un système linéaire auquel on applique une entrée de type
sinusoïdale génère aussi, à sa sortie, un signal sinusoïdal qui oscille à la même fréquence ω.
S
En effet, considérons un système T(s) stable auquel on applique une entrée sinusoïdale:
r  t   a cos t    sin t 

R s 
 s  
s2   2
Et:
T s 
N s
n
s  p 
i
i 1
S
La sortie du système est donc:
Y s  T s R s 
stable, i.e.: pi >0
N s
n
s  p 
i 1
kn
k1
 s  
As  B


...


s2   2
s  p1
s  pn s 2   2
i
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Réponse en fréquence (III)
Le concept de la réponse en fréquence
pi >0 si le système est stable
Y s  T s R s 
N s
n
s  p 
i 1
kn
k1
 s  
As  B


...


s2   2
s  p1
s  pn s 2   2
i
S
On s’intéresse à la réponse temporelle du système, donc, en prenant les transformées inverses:
S
On réalise déjà qu’en régime permanent, le système est oscillant:
S
Il peut alors être démontré (nous allons en faire la preuve dans les prochains transparents) que
lorsque t→∞, le système est oscillant et:
 As  B 
y  t   k1e  p1t  ...  kn e  pnt  L1  2

s  2 

0 lorsque t 
 As  B 
YR.P.  t   lim y  t   lim L1  2
2 
t 
t 
 s  
YR.P. t   M cos t   
S
Donc, la sortie du système oscille en effet à la même fréquence ω, mais à une amplitude et une
phase généralement différentes de celles de l’entrée.
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Réponse en fréquence (IV)
Le concept de la réponse en fréquence
e jt  cos t   j sin t 
S
S
 Identité d'Euler
Prouvons maintenant que:
 As  B 
YR.P.  t   lim y  t   lim L1  2
 M cos t   
2 
t 
t 
 s  
Par décomposition en fractions partielles:
Y s 
K1
K2
 s  
 s  
T
s

T
s


 expansion en frac. part. de T  s 




s2   2
s  j s  j
 s  j  s  j 
Identifions maintenant les éléments K1 et K2:
M M  j  
 s  
1
1
K1 
T s
   j   T   j   M i e ji M T e  jT  i T e  i T 
s  j
2
2
2
s  j
M T  T  j 
M M j  
 s  
1
1
T s
   j   T  j   M i e j M T e j  i T e 
s  j
2
2
2
s  j
T   T  j 
S
K2 
S
i
T
i
T

K 2  K1*
Donc, on peut ré-écrire:
 M i M T  e j i T  M i M T  e j i T  
As

B




2
2
YR.P.  t   L1  2
 L1 


2
s  j
s  j
s  




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Réponse en fréquence (V)
Le concept de la réponse en fréquence
 M i M T  e j i T  M i M T  e j i T  


2
2
YR.P.  t   L1 


s  j
s  j




S
Évaluons maintenant la transformée inverse de ce dernier résultat:


 e j t i T   e j t i T  
YR.P.  t   M i M T 
  M i M T cos  t  i  T   M cos t   

2




M



** Ce qu’il fallait démontrer
YR.P. t   Mi MT cos t  i  T 
S
Et puisque:
S
On parvient à la conclusion suivante: La réponse en fréquence d’un système est entièrement
déterminée par:
T  j   T  s  s  j
S
En effet, puisque:
S
la réponse en régime permanent à une entrée sinusoïdale est alors sinusoïdale avec la même
fréquence, avec une amplitude |T(jw)| fois celle de l’entrée, et avec un déphasage de  T(jw) par
rapport à l’entrée.
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M T  T  j 
et
T  T  j 
Réponse en fréquence (VI)
Le concept de la réponse en fréquence
S Vu que la réponse en régime permanent est entièrement déterminée par la
quantité complexe T(jw), on appelle T(jw) la réponse fréquentielle du système.
La réponse fréquentielle est souvent représentée graphiquement sous forme de
diagramme de Bode. Celui-ci comprend deux graphiques:
S Un graphique de |T(jw)| où |T(jw)| est en décibel (20 log10 |T(jw)|) ; et
S Un graphique de

T(jw) en degrés.
S L’abscisse est à l’échelle logarithmique pour ces deux graphiques.
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Réponse en fréquence (VII)
Le concept de la réponse en fréquence
S La réponse en fréquence d’un système G(s) peut être représenté dans le domaine
fréquentiel par:
S Où:
G  j   lim G  s   R    jX  
s  j
R    ReG  j 
et
X    ImG  j 
S La norme et la phase sont donc données par:
G  j   R    X  
2
2
 X   

R
w




    tan 1 
S Attention: Dans le diagramme de Bode, l’ordonnée du premier graphique est en
décibel, donc 20log10(|G(jw)|). Le deuxième graphique représente directement
φ(w).
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Réponse en fréquence (VIII)
Système du premier ordre
S Considérons un système de premier ordre:
G s 
1
s  1
S La fréquence 1/τ est la fréquence de coupure et le système est atténué de 3
décibels à cette fréquence. Pour les fréquences supérieures, la courbe |G(jw)|
suit une asymptote de -20db/décade.
S Le déphasage passe de 0 à -90 degrés, en passant par -45 degré à la fréquence de
coupure
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Réponse en fréquence (IX)
Système du premier ordre
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Réponse en fréquence (X)
Système du premier ordre
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Réponse en fréquence (XI)
Système du premier ordre
S Démonstration d’un outil Matlab:
S Tf()
S ltiview
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Réponse en fréquence (XII)
Système du deuxième ordre
S Considérons un système du deuxième ordre:
n2
G s  2
s  2n s  n2
S Que l’on peut ré-écrire:
n2
1
G s  2

s  2n s  n2  s 2 2 s
1
  


n
 n
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Réponse en fréquence (XIII)
Système du deuxième ordre
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Réponse en fréquence (XIV)
Système du deuxième ordre
31
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Réponse en fréquence (XV)
Système du deuxième ordre
S Pour
 1
2
 0.707
il y a une fréquence de résonance (|G(jw)| > 1) :
r  n 1  2 2
S et la valeur de |G(jw)| est donnée par:
1
G  j  
2 1   2
S Ainsi, pour de petites valeurs de < 0.5, on peut utiliser l’approximation :
1
G  j  
2
S Pour ζ=0.707, la fréquence wn est la fréquence de coupure avec une atténuation
de 3 décibels. Pour les fréquences supérieures, la courbe |G(jw)| suit une
asymptote de -40db/décade. Le déphasage passe de 0 à -180 degrés, en passant à
-90 degré à la fréquence wn.
32
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Réponse en fréquence (XVI)
Exemple du circuit RC
S Considérons le circuit suivant:
R
V1(s)
C
V2(s)
S L’équation de la dynamique de ce système est:
v1  t  v2  t 
v2  t  

RC
RC
33
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Réponse en fréquence (XVII)
Exemple du circuit RC
v1  t  v2  t 
v2  t  

RC
RC
S Donc, dans le domaine de Laplace, développons la fct de transfert:
RCsV2  s   V1  s   V2  s 
V2  s  RCs  1  V1  s 
V2  s 
1
K
 G s 

V1  s 
RCs  1 s  1
S Où: 
 RC et K  1
S La dynamique de ce système dépend donc uniquement de la valeur
du produit R*C.
34
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Réponse en fréquence (XVIII)
Exemple du circuit RC
S La réponse en fréquence de ce système:
1
G  j  
RCj  1
35
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Réponse en fréquence (XIX)
Exemple du circuit RC
S Supposons maintenant vous ne connaissez absolument rien de la
valeur du produit RC du système électrique auquel vous faites face et
que vous désirez tout de même trouver sa fct de transfert...
S Facile! Vous excitez le système dans une plage de fréquences à l’aide
d’un générateur de fonctions et mesurez l’entrée et la sortie avec un
oscilloscope.
S Vous faites varier la fréquence du signal d’entrée jusqu’à ce que vous
obteniez un déphasage de -45 degrés: il s’agit de la fréquence de coupure.
S La fréquence de coupure est :
c  1  1 RC
36
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Réponse en fréquence (XX)
Exemple du circuit RC
S Seriez-vous capable d’identifier votre système à l’aide du diagramme
0
de Bode?
-5
Magnitude (dB)
-10
-15
-20
-25
-30
0
Phase (deg)
-30
-60
-90
-3
10
-2
10
-1
37
10
0
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10
Réponse en fréquence (XXI)
Exemple du circuit RC
S Conclusions:
S La réponse en fréquence permet généralement de bel et bien identifier un
procédé.
S En observant le diagramme de Bode, non seulement pouvons-nous
identifier le procédé, nous avons aussi une bonne idée de l’ordre du
système!
S La réponse en fréquence est aussi un outil puissant pour le design de
contrôleurs à avance/retard de phase, comme nous le verrons dans les
prochains cours.
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Conception de boucles de commande (I)
39
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Conception de boucles de commande (II)
S La performance d’un système de commande est décrite en termes de plusieurs
types de critères:
S 1) La stabilité: Les pôles sont-ils tous à partie réelle négative (demi-plan gauche)?
S 2) Les spécifications de la réponse temporelle en régime transitoire:
S
P: dépassement (en %), en anglais : overshoot
S
Tp: Temps de dépassement
S
Ts: Temps de réponse à 2% (ou 5%)
S
Kp: Constante d’erreur de position (vis-à-vis l’échelon)
S
Kv: Constante d’erreur de vitesse (vis-à-vis rampe)
S 3) Les spécifications de la réponse fréquentielle:
S
S
BW (Band Width): Bande passante
S
Mm: Gain à la résonance
4) L’atténuation des perturbations
40
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Conception de boucles de commande (III)
41
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Conception de boucles de commande (IV)
42
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Conception de boucles de commande (V)
43
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Conception de boucles de commande (VI)
Système de deuxième ordre
44
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Conception de boucles de commande (VII)
Système de deuxième ordre
45
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Conception de boucles de commande (VIII)
Système de deuxième ordre
46
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Conception de boucles de commande (IX)
Système de deuxième ordre
47
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Conception de boucles de commande (X)
Système de deuxième ordre
48
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Conception de boucles de commande (XI)
Système de deuxième ordre
49
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Exercices (I)
50
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Exercices (II)
51
Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011
Exercices (III)
52
Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011
Exercices (IV)
53
Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011
Exercices (V)
54
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Références
S Modern Control Systems – Richard C. Dorf & Robert H. Bishop
S Control Systems Engineering – Norman S. Nise
S Notes de cours (ELE3202) – Richard Gourdeau & John Thistle
S Linear System Theory – Wilson J. Rugh
S Caractérisation et conception d’une commande robuste pour un système
de type pendule inversé - Jean-Philippe Roberge
55
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