Transcript Jean-Philippe Roberge

Introduction à l’automatisation
-ELE3202Cours #2: Rappel des transformées de Laplace & Systèmes linéaires et stationnaires
Enseignant: Jean-Philippe Roberge
S
Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011
Cours # 2
S Bref rappel du cours #1:
S Systèmes en B.O. VS B.F.
S Lecture des schémas blocs
S Linéarisation des systèmes non-linéaires autour d’un point d’équilibre.
S La transformée unilatérale de Laplace
S La transformée inverse par fractions partielles
S Pôles réels et distincts
S Pôles complexes et distincts
S Pôles réels et multiples
2
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Cours #2
S Fonctions de transfert
S Algèbre des diagrammes fonctionnels
S La réponse temporelle:
S D‘un système de premier ordre
S D‘un système de deuxième ordre
S Gain statique
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Retour sur le cours #1 (I)
Systèmes en B.O.
S Aucune mesure n’est utilisée pour la régulation: le contrôleur ne
« connait » pas la valeur actuelle de la sortie.
S Exemples de système en boucle ouverte:
S Sécheuse
S Système d’arrosage automatique
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Retour sur le cours #1 (II)
Systèmes en B.F.
S C’est la technique d’automatisation la plus répandue.
S L’entrée du procédé dépend de la sortie: Généralement, le contrôleur
commande le procédé en fonction de l’erreur entre un signal de
référence (e.g.: une consigne) et la sortie actuelle.
S Exemples de système en boucle fermée:
S Régulateur de vitesse
S Four pour la cuisson
S Thermostat
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Lecture des schémas blocs (I)
S Nous avions vu (au tableau) que l’équation:
x t   a  x t   b  u t 
S Pouvait s’exprimer à l’aide du schéma bloc:
Système
u(t)
b
x t 
+

x t 
a
u(t)
Système
6
x(t)
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Lecture des schémas blocs (II)
S Aujourd’hui, nous verrons comment « lire » des schémas blocs
beaucoup plus compliqués:
S Surtout, nous apprendrons comment les simplifier…
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Linéarisation autour d’un point d’équilibre (I)
Rappel : Un dernier exemple
S
Soit « l » la longueur de la tige rigide et « M » la masse de
l’objet à l’extrémité de la tige: On s’intéresse au couple « T »
appliqué au pivot. L’équation dynamique de ce système
s’obtient très facilement:
T  M  g  l  sin  
S
Trouvons le système linéarisé autour du point θ=0:
T  T0  M  g  l
 sin  

  0 
 0
 M  g  l  cos  0     0   Mgl
**Par rapport au modèle non-linéaire, le modèle linéarisé est précis à 5% près sur une
étendue de ±30 degrés!
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Cours #2
Transformée unilatérale de Laplace (I)
S Le fait d’avoir appris à linéariser les systèmes non linéaires nous
permet désormais d’utiliser un outil fantastique: la transformée
(unilatérale) de Laplace.
S Cette transformée permet de résoudre beaucoup plus aisément les
équations différentielles linéaires à coefficients constants, en
ramenant la résolution des ces dernières à la résolution d’équations
affines (dont les solutions sont des fonctions rationnelles de « s »).
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Transformée unilatérale de Laplace (II)
Domaine temporel → Domaine de Laplace
s    j 
S La transformée unilatérale de Laplace:
L  f  t   F  s     e st f  t  dt

S Conditions:
0
S 1)Il faut que la fonction f(t) soit définie sur l’intervalle [0, ∞[
S 2)Il faut qu’il existe un α réel tel que l’intégrale ci-dessous converge :


0
f  t  e t dt  
**Principe: Transformer l’équation différentielle d’intérêt dans le domaine de
Laplace pour obtenir une équation beaucoup plus simple à manipuler!
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Transformée unilatérale de Laplace (III)
Domaine temporel → Domaine de Laplace
S Exemple:
S Soit une fonction f(t) tel que:
f  t   Aeat
A
L  Ae  
sa
 at
S Alors:
S Démonstration:
L  f  t   F  s     e

 st
0

f  t  dt    Ae  at e  st dt
0

A   s  a t
 s  a t
 A  e
dt  
e
0
sa

t 0
A

sa
**Généralement, nous utiliserons des tables au lieu de transformer « à la main » …
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Table de transformées de Laplace (I)
Font références aux propriétés
des transformées de Laplace
(voir prochain transparent)
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Propriétés des transformées de Laplace (I)
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Théorème de la valeur initiale (I)
S Si f(0-) existe, alors:
f  0   lim f  t   lim sF  s 
s 
t 0
S Démonstration au tableau..
S
Pour démontrer ce théorème, il faudra aussi démontrer la propriété #6 (dérivation)
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Théorème de la valeur finale (I)


S Si la valeur finale existe et est définie lim f  t    , alors:
t 
lim f  t   lim sF  s 
t 
s 0
S Démonstration au tableau..
S
Pour démontrer ce théorème, on se servira encore de la démonstration de la propriété #6 (dérivation)
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Transformée inverse de Laplace (I)
Domaine de Laplace→ Domaine temporel
S La transformée inverse de Laplace dite « l’intégrale d’inversion » est
définie par:
S Où:
L
1
F  s   2 j 
1
  j
 j
F  s  e st ds  f  t  u  t 
u t   0
t0
u t   1
t0
S u(t) se nomme « Heaviside step function » ou en français : fonction d’Heaviside
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Transformée inverse de Laplace (II)
Domaine de Laplace→ Domaine temporel
1 
L F  s  
F  s  e ds  f  t  u  t 


2 j
1
 j
st
 j
S Il serait un peu mal commode de devoir
utiliser cette intégrale d’inversion:
S Il faudrait utiliser les notions d’intégration
complexe…
S Non seulement l’intégrale est-elle complexe, ses
bornes d’intégration le sont aussi.
S En pratique, nous effectuerons une
expansion en fractions partielles pour
ensuite utiliser des tables: beaucoup
plus facile!
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Transformée inverse de Laplace (III)
Expansion en fractions partielles
S
Principe: Pour trouver la transformée de Laplace inverse d’une fonction compliquée,
nous pouvons convertir la fonction en une somme de termes plus simples pour lesquelles
nous connaissons les transformées inverses.
S
En effet, l’expansion en fractions partielles permet de représenter la transformée de
Laplace sous une forme beaucoup plus pratique lors de l’utilisation de la table de
transformées:
im1  s  zi 
b1s m  b2 s m 1  ...  bm 1
F s 
K n
n
n 1
s  a1s  ...  an
 i 1  s  pi 
Où : Somme des produits pi : Pôles de la fonction zi : Zéros de la fonction
S
Il y a trois cas à distinguer lors de l’expansion: 1) Pôles réels et distincts, 2) Pôles complexes et
distincts et 3)Pôles réels et multiples
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Expansion en fractions partielles(I)
Cas #1: Les pôles sont réels et distincts
S
Si les pôles sont réels et distincts, on peut représenter F(s) par:
C1
C2
Cn
F s 

 ... 
où: Ci   s  pi  F  s  s  p
i
s  p1 s  p2
s  pn
S
Ainsi, on peut prendre la transformée inverse de chacun des termes pour obtenir :


f  t   C1e p1t  C2e p2 t  ...  Cne pn t u1  t 
S
Trouvez la transformée inverse de:
F s 
S
2
 s  1 s  2 
Démonstration au tableau…
20
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Expansion en fractions partielles(II)
Cas #2: Les pôles sont complexes et distincts
S
Les pôles complexes résultent en des formes quadratiques au dénominateur. Ainsi, on
décompose d’une manière un peu différente:
N s
N s
C1
C2 s  C3
F s 



 ... (I)
2
2
D  s   s  p1   s  as  b  ...  s  p1  s  as  b
S
Où:
C1   s  p1  F  s  s  p
1
S
S
En ce qui a trait aux coefficients C2 et C3:
 s  p1   s 2  as  b 
S
On multiplie (I) par le plus petit commun dénominateur (Ex:
S
On résout l’équation en regroupant les termes en « s », et par la suite par simple déduction…
Exemple au tableau - Décomposons en F.P.:
21
F s 
)
3
s  s 2  2s  5 
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Expansion en fractions partielles(III)
Cas #3: Les pôles sont réels et multiples
S
Si les pôles sont réels et un des pôles se répète k fois, on peut repréesenter F(s) par:
F s 
S
S
N s
 s  p1   s  pk 1  s  pk  2  ...
k

Où pour les pôles simples, on a:
C1
C2
Ck
Ck 1
Cn


...



...

k
s  p1  s  p1 2
s  pn
 s  p1  s  pk 1
Ci  s F  s  s  p
i
Et pour les k pôles multiples , on a:
Ck i

1  di 
k
  i  s  pi  F  s   
où i  0,..., k  1


i !  ds
 s p
i
S
Exemple au tableau - Décomposons en F.P.:
F  s 
2
 s  1 s  2
22
2
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Expansion en fractions partielles(IV)
Cas #4: Les pôles sont réels, complexes et multiples
S
On ne traitera pas ce cas lors de ce cours, puisqu’en pratique ce sont des cas très très
rares. Cependant, si certains d’entre vous sont curieux de savoir comment on effectue une
décomposition en fractions partielles lors du cas le plus général où les pôles peuvent être
réels, complexes, simples et multiples, vous pouvez vous référer à ce site web du
département de mathématique de l’Université du Maryland:
http://www.math.umbc.edu/~rouben/ParFracs/repeated-complex.html
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Fonctions de transfert (I)
S
Les systèmes linéaires, stationnaires et continus (discrets) seront modélisés par des
équations différentielles (récurrentes) linéaires à coefficients constants.
S
S’inspirant de la résolution de ces équations par la méthode des transformées de
Laplace (transformées en z), on représente les systèmes sous forme de fonction de
transfert.
S
Exemple d’un système masse-ressort avec friction:
M
d 2 y t 
dt 2
b
dy  t 
dt
24
 ky  t   r  t 
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Fonctions de transfert (II)
M
d 2 y t 
dt
2
b
dy  t 
dt
 ky  t   r  t 
La transformée de Laplace de ce système est:
dy


M  s 2Y  s   sy  0    0    b sY  s   y  0   kY  s   R  s 
dt


S Considérons le cas particulier où:
S


r  t   0, y  0   y0 ,
S
On peut alors ré-écrire (I) tel que:
(I)
dy
0
dt t  0
Ms2Y  s   Msy0  bsY  s   y0  kY  s   0
S
En résolvant pour Y(s):
Y s 
 Ms  b  y0
Ms 2  bs  k
25
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Fonctions de transfert (III)
Y s 
 Ms  b  y0
Ms 2  bs  k
S
Si b/M=3, k/M=2 et y0 = 1, alors:
Y s 
S
La décomposition en fractions partielles donne:
 s  3  2  1
Y  s 
 s  1 s  2 s  1 s  2
S
En utilisant la table des transformées, on trouve que dans le domaine temporel:
 s  3
 s  1 s  2
y t   2et  1e2t
S
Théorème de la valeur finale:
lim y  t   lim sY  s   0
t 
s 0
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Fonctions de transfert (IV)
S
Soit maintenant le même système avec les conditions initiales nulles:
Ms2Y  s   bsY  s   kY  s   R  s 
S
La fonction de transfert est alors donnée par:
Y  s  sortie
1

 G s 
R  s  entrée
Ms 2  bs  k
R(s)
S
1
Ms 2  bs  k
Y(s)
Supposons que l’entrée u(t) soit l’impulsion de Dirac, alors U(s)=1. Dans ce cas Y(s) est égal à la fonction
de transfert G(s). La fonction de transfert est donc la transformée de Laplace de la réponse du
système à une impulsion de Dirac, avec conditions initiales nulles.
27
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Fonctions de transfert (V)
Définitions
S
La réponse impulsionnelle d’un système est sa réponse à une entrée sous forme d’impulsion
de Dirac, avec conditions initiales nulles.
S
La fonction de transfert d’un système scalaire, linéaire et stationnaire, est la transformée de
Laplace de sa réponse impulsionnelle.
S
Le dénominateur de la fonction de transfert est dit le polynôme caractéristique du système, et
l’ordre du système est le degré de ce polynôme.
** Comme nous l’avons vu dans le cas de notre exemple, lorsque le système est représenté sous forme d’une
équation différentielle, on peut calculer sa fonction de transfert en prenant la transformée de Laplace avec
conditions initiales nulles.
28
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Algèbre des diagrammes fonctionnels (I)
S
Diagramme fonctionnel d’une fonction de transfert:
S
La représentation par des diagrammes fonctionnels permet de représenter la
combinaison de systèmes par un ensemble de blocs interreliés:
S
Des simplifications sont cependant possibles !
29
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Algèbre des diagrammes fonctionnels (II)
Règles de simplification
S
1)
S
2)
S
3)
30
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Algèbre des diagrammes fonctionnels (III)
Règles de simplification
S
4)
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Algèbre des diagrammes fonctionnels (IV)
Règles de simplification
S
5)
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Algèbre des diagrammes fonctionnels (V)
Simplification d’un diagramme
S
En utilisant les règles que l’on vient de présenter, il est possible de simplifier le
schéma de la figure suivante pour obtenir la fonction de transfert :
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Algèbre des diagrammes fonctionnels (VI)
Simplification d’un diagramme
S
On peut aussi écrire les équations pour la sortie de chacun des points de sommation
ainsi que pour Y (s) et que l’on solutionne en fonction de Y (s) et U(s). Dans
l’exemple précédent, on obtient :
S
Que l’on peut solutionner pour obtenir le même résultat.
U(s)
Y(s)
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Algèbre des diagrammes fonctionnels (VII)
Règle de Mason
S
La règle de Mason permet d’obtenir directement la solution des équations
simultanées tirées du schéma bloc. La fonction de transfert est donnée par:
35
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Algèbre des diagrammes fonctionnels (VIII)
Règle de Mason
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La réponse temporelle d’un système (I)
S
La réponse d’un système dynamique à une entrée quelconque est la sortie qui
correspond à cette entrée.
S
Pour calculer par simulation la réponse d’un système, on utilise normalement
l’intégration numérique pour résoudre le modèle d’état (Matlab, Simulink).
S
La fonction de transfert suggère deux autres façons de calculer la réponse.
S
1) Par la propriété de « convolution temporelle » de la transformée de Laplace, nous
avons avec conditions initiales nulles:
G  s U  s    g t  t ' u t ' dt '
G  s  est la réponse impulsionnelle du système.
y t  = L
t
1
Où g t  = L1
S
0
La sortie est donc la convolution de l’entrée avec la réponse impulsionnelle.
37
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La réponse temporelle d’un système (II)
Systèmes du premier ordre
S 2) Nous utiliserons toutefois l’inversion de la transformée de Laplace pour
calculer la réponse y(t). Considérons cet exemple:
v1  L
d
i  R1i  R2i
dt
v2  R2i  i 
Donc:
v1 
38
 R  R2 
L
v2   1
 v2
R2
 R2 
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v2
R2
La réponse temporelle d’un système (III)
Systèmes du premier ordre
 R1  R2 
L
v1  t   v2  t   
 v2  t 
R2
R

2

S Transformons cette dernière équation dans le domaine de Laplace:


 R1  R2 
L

L v1  t   L  v2  t   
v
t


 2 
R
R
 2


2



 R  R2 
L
sV2  s   V2  0    1
V2  s 
R2
 R2 
S La fonction de transfert est donc:
R2
V s
1
K
R1  R2
G  s  : 2



V1  s  C .I . 0 s L  R1  R2 s L  1 s  1
R2
R2
R1  R2
V1  s  
S Note importante:
K
s  1


correspond à la forme standard d’une fonction
de transfert d’un système du premier ordre.
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La réponse temporelle d’un système (IV)
Systèmes du premier ordre
S Position de l’unique pôle d’un système du premier ordre:
… Sur l’axe des réels, peut par contre être situé dans le demi-plan gauche
(partie réelle négative) ou dans le demi-plan droit (partie réelle positive).
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La réponse temporelle d’un système (V)
Systèmes du premier ordre
S Étudions la réponse impulsionnelle d’un système de premier ordre:
Réponse impulsionnelle  v1  t     t   V1  s   1  V2  G  s  
S La réponse impulsionnelle est donc:
K
s  1
1
 t
K
K


v2  t   L1 
  e  u t 
 s  1 
S τ est dite « constante de temps » du système:
S Lorsque t=1*τ, la sortie du système est à 63.2% de sa valeur finale.
S Lorsque t=4*τ, la sortie du système est à 98.17% de sa valeur finale.
S Lorsque t=5*τ, la sortie du système est à 99.33% de sa valeur finale.
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La réponse temporelle d’un système (VI)
Systèmes du premier ordre
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Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011
La réponse temporelle d’un système (VII)
Systèmes du premier ordre
S Au lieu de l’impulsion de Dirac, considérons un échelon à l’entrée du système:
Réponse indicielle  v1  t   u  t   V1  s  
1
1 K
K
K
1


 
K 
s s  1 s s  1
s s  1


1
1
 V2  G  s 
s
s

t 

  v2  t   K 1  e  u1  t 




S Plus τ est petit, plus grande est la valeur absolue du pôle, et plus rapide est la
réponse du système.
 K 1  e  t   u t   K
lim
v
t

lim




S La valeur finale de la sortie du système est K: t  2
 
 1   
t  

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La réponse temporelle d’un système (VIII)
Systèmes du premier ordre
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La réponse temporelle d’un système (IX)
Systèmes du deuxième ordre
S En prenant l’exemple du lecteur de disque (notes de cours):
Y s
U s

1
Is 2  bs  k
k
1
1
n2
I


k s2  b s  k
k s 2  2n s  n2
I
I
   
Important: Forme standard d’un
système de deuxième ordre:
n2
s 2  2n s  n2
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La réponse temporelle d’un système (X)
Systèmes du deuxième ordre
n2
s 2  2n s  n2
S À l’aide des paramètres (ω,ξ) de la forme standard (système normalisé) du
système de deuxième ordre, il est possible de connaître une foule de
caractéristiques du système à l’étude…
S « ω » se nomme fréquence naturelle du système
S « ξ » se nomme rapport d’amortissement (ou coefficient d’amortissement).
S Les pôles du système sont situés en: s  n  n
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 2 1
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La réponse temporelle d’un système (XI)
Systèmes du deuxième ordre
n2
s 2  2n s  n2
S 1) Si
  : Système sur-amorti
S Les deux pôles seront réels, et nous aurons une décomposition en éléments
a
a2
simples de:
Gs  1 
s  p1 s  p2
S La réponse du système sera alors la somme des réponses des deux systèmes de
premier ordre.
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La réponse temporelle d’un système (XII)
Systèmes du deuxième ordre
n2
s 2  2n s  n2
S 2) Si
  : Système avec amortissement critique
S Les deux pôles seront réels, situés tous les deux à
s  n  n
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La réponse temporelle d’un système (XIII)
Systèmes du deuxième ordre
n2
s 2  2n s  n2
S 3) Si
0    : Système sous-amorti
S Les deux pôles seront complexes: s  n  jn 1   2
S La réponse impulsionnelle:

1  n
n t
2
y t   
e
sin n 1   t  u1  t 
2
k  1  

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Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011
La réponse temporelle d’un système (XIV)
Systèmes du deuxième ordre
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Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011
La réponse temporelle d’un système (XV)
Systèmes du deuxième ordre
51
Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011
Gain statique (I)
S
Une fonction de transfert est dite asymptotiquement stable si tous ses pôles se trouvent
dans le demi-plan gauche: s  0
S
Le gain statique d’une fonction de transfert stable G(s) est G(0). Par le théorème de la
valeur finale le gain statique représente la valeur de la réponse indicielle en régime
permanent :
1
lim y  t   lim sG  s 
(avec G  s  stable)
t 
s 0
s
=G  0 
S
K
s  1
Le gain statique du système du premier ordre
est donc K, alors que le gain
statique du système normalisé du deuxième ordre égale 1.
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Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011
Prochain cours
S
Retour assez exhaustif sur le cours #2
S
Exercices (que vous n’avez pas dans les notes + exercices tirés des examens pour lesquels
vous n’avez pas de solutionnaire)
S
Réponse en fréquence
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Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011
Références
S Modern Control Systems – Richard C. Dorf & Robert H. Bishop
S Control Systems Engineering – Norman S. Nise
S Notes de cours (ELE3202) – Richard Gourdeau & John Thistle
S Linear System Theory – Wilson J. Rugh
S Caractérisation et conception d’une commande robuste pour un système
de type pendule inversé - Jean-Philippe Roberge
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Jean-Philippe Roberge - Janvier 2011