Transcript Espacio afín

Espacio afín
2º Bachillerato
Presentación elaborada por la profesora Ana Mª Zapatero a
partir de los materiales utilizados en el centro (Editorial SM)
Coordenadas en el espacio
  
 Un punto O y una base B = { i , j , k } de los vectores libres del
espacio constituyen un sistema de referencia en el espacio.
  
Se escribe S = {O; i , j , k }.
 En lo que sigue, por comodidad, trabajaremos en la base ortonormal.
Vector de posición de P
Origen de coordenadas




[OP] = x . i + y . j + z . k
P’
(x, y, z) son las coordenadas de P respecto
del sistema de referencia S.
Ejes coordenados. Planos coordenados
• Los tres vectores de la base B
determinan con el origen O
tres ejes de coordenadas
OX, OY, y OZ.
• Los planos OXY, OYZ y OZX
se denominan planos
coordenados del sistema de
referencia.




[OP] = x . i + y . j + z . k
Coordenadas de un vector libre cualquiera
 Los puntos P y Q determinan el

vector fijo PQ
  
 OP + PQ = OQ
  
 PQ = OQ – OP



 [PQ] = OQ – OP =
= (b – a, b' – a' , b" – a")


Las coordenadas de un vector libre u = [PQ] respecto de la base B =
  
{ i , j , k } se obtienen restando las coordenadas del punto P de las
  
correspondientes de Q en el sistema de referencia S = {O; i , j , k }.
Coordenadas del punto medio de un segmento
    1 
m = a + AM = a + 2 AB =
 
 1  
1
= a + (b–a)= (a+b)
2
2
Elementos geométricos
Los objetos o elementos geométricos elementales del espacio tridimensional son los
puntos, las rectas, los planos, las curvas y las superficies.
Estos elementos geométricos pueden determinarse mediante ecuaciones paramétricas. La
dimensión del elemento coincide con el número de parámetros.
Rectas y curvas
(dimensión 1)
Dimensión
Planos y superficies
(dimensión 2)
Rectas en el espacio: ecuación vectorial
x
p
 Una recta viene determinada por un punto
y una dirección. La dirección está

marcada por un vector libre u llamado
vector director.

 Un punto X está en la recta si y sólo si PX



y u son proporcionales: [PX] = t · u


 Si p es el vector de posición de P, x es
el vector de posición de X, quedará:
 

 

x – p = t · u es decir: x = p + t · u
 

La expresión x = p + t · u con t  R es la ecuación vectorial de la recta que

pasa por P y tal que u es un vector director de la misma.
Rectas en el espacio: ecuaciones paramétricas
 La recta que pasa por P de vector director

v (v1, v2, v3) se puede poner así:
(x, y, z)= (xo, yo, zo) + t (v1, v2, v3)
Al igualar las coordenadas queda:
(x, y, z) = ( x0+tv1, y0+tv2, z0+tv3)
por lo que
Las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por P(xo, yo, zo) y que tiene
x = xo + t.v1

por vector director v (v1, v2, v3) son y = yo + t.v2
z = zo + t.v3
Rectas en el espacio: ecuación en forma continua
Las ecuaciones paramétricas
 de la recta r que pasa por el punto P (x0,y0,z0) y
tienen por vector director v =(v1,v2,v3) son:
x  x 0  tv1

 y  y 0  tv2
z  z  tv
0
3

Despejando t en cada una de ellas e igualando, obtenemos las ecuaciones de
la recta que no dependen de ningún parámetro
Las ecuaciones en forma continua de la recta r que pasa por P(xo, yo, zo) y que
tiene por vector director (v1, v2, v3) son:
x – xo y – yo z – zo
v1 = v2 = v3
Rectas en el espacio: ecuación implícita
Las ecuaciones en forma cont ínua de la recta r que pasa por P(x o, yo, zo) y que

x  x0 y  y0 z  z0
tiene por vector director v (v1, v2, v3) son


v1
v2
v3
De aquí obtenemos tres ecuaciones:
x  x0 y  y0

v1
v2
z  z0 y  y0

v3
v2
x  x0 z  z0

v1
v3
Como la tercera ecuación es combinación lineal de la otras dos, suprimiendo
una ellas, la segunda por ejemplo, y operando obtenemos:
 xv2  yv1  y0 v1  x0 v2  0

 xv3  zv1  z0 v1  x0 v3  0
Este par de ecuaciones es la ecuación de la recta en forma implícita.
En general :
 Ax  By  Cz  D  0

A' x  B' y  C' z  D'  0
Ecuaciones de los ejes coordenados
Vectorial Paramétrica Continua
x = t
x y z


Eje OX x = t i
= =
y = 0
1 0 0
z = 0
x = 0
x y z


Eje OY x = t j
y = t
= =
0 1 0
z = 0
Eje OZ


x =t k
x = 0
y = 0
z = t
x y z
= =
0 0 1
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
(b1, b2, b3)
(a1, a2, a3)
La recta r queda determinada por la siguiente
 
 
determinación lineal: r(A, AB
 ) o por(B, AB )
Por tanto la ecuación de la recta será:
(x, y, z) = (a1, a2, a3) + t (b1–a1, b2–a2, b3–a3 )
 x  a1  t (b1  a1 )

 y  a2  t (b2  a2 )
 z  a  t (b  a )

3
3
3
z  a3
x  a1
y  a2


b1  a1 b2  a2 b3  a3
Planos: ecuación vectorial
Un plano queda determinado por un punto y dos vectores linealmente
independientes. Se dice que a (A, 
v, 
w ) es una determinación lineal del plano
.

X está en  si y solo si AX es
combinación lineal de 
v y
w. Por tanto
existirán dos números reales s y t tales
que:

 
AX = s v + t w

 
Por tanto x – a = s v + t w
Y de aquí se obtiene la ecuación
vectorial del plano:
con s R y t R
x= a+ s v+ t w,
 
 
Se observa además que X  rango (AX, v, w) = 2  det (AX, v, w) = 0
Planos: ecuaciones paramétricas y general
Partiendo de la ecuación vectorial del plano:
(x, y, z) = (x1, y1, x1) + t (a, b, c) + s (a', b', c')
obtenemos las ecuaciones paramétricas utilizando las operaciones con
ternas de números de R3 e igualando después. Por tanto las ecuaciones
paramétricas del plano son las siguientes:
 

= 0 la ecuación general del
Como el rango (AX, v, w) = 2  det (AX, v,w)
plano se obtiene a partir del determinante
x – x1 y– y1 z – z1
a
b
c
= 0 y operando queda Ax + By + Cz + D = 0
a’
b’
c’
Vector normal a un plano
Observamos que:

AB = (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1)
Como A (x1,y1,z1) p y B (x2,y2,z2) p
tenemos que:
ax1 + by1 + cz1 + d = 0
ax2 + by2 + cz2 + d = 0
Restando término a término obtenemos:
a(x2 – x1) + b(y2 – y1) + c(z2 – z1) = 0
(a, b, c) . (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1) = 0
 
n . [AB] = 0

El vector n es perpendicular a cualquier vector contenido en el plano, es
decir está en una dirección perpendicular al plano. Recibe el nombre de
vector normal al plano. Sus coordenadas son (a,b,c)
Planos: ecuación normal
Sea M un punto cualquiera del plano , y
sea (A, B, C) un vector normal al plano.
Un punto X(x, y, z) está en el plano si y


sólo si n es perpendicular a MX. Por tanto:
 
  
n · MX = 0  n · ( x – m ) = 0
que es la ecuación normal del plano.
Desarrollando la expresión anterior
obtenemos:
(A, B, C) · (x – x1 , y – y1 , z – z1 ) = 0
A( x – x1 ) + B(y – y1 ) + C(z – z1 ) = 0
o bien
Ax+By+Cz+D=0
donde A, B, y C son las componentes
del vector normal al plano.
Planos: ecuaciones de los planos coordenados
Vectorial
Paramétrica Implícia
x = t



Plano OXY x = t i + s j
z=0
y = s
z = 0
x = t



Plano OXZ x = t i + s k
y=0
y = 0
z = s


Plano OYZ 
x =t j +s k
x = 0
y = t
z = s
x=0
Ecuación del plano que pasa por tres puntos


Sean A, B y C tres puntos no alineados. Por tanto los vectores AB y AC no
son paralelos.
La determinación lineal de dicho plano
será:
(a", b", c")
(a, b, c)
 
(A, AB, AC)
X (x, y, z) Como los tres vectores están en el mismo
plano, son dependientes y por lo tanto su
ecuación se obtendrá desarrollando el
siguiente determinante:
  
det(AX, AB, AC) = 0
Posiciones relativas: recta y plano
a ' x  b' y  c ' z  d '  0
y la recta r 
a' ' x  b' ' y  c' ' z  d ' '  0

Estudiar las posiciones relativas de recta y plano equivale a estudiar el número
de soluciones del sistema que forman las tres ecuaciones anteriores. Sean A y B
las matrices asociadas a dicho sistema.
Sean el plano p: ax + by + cz + d = 0
1
2
3
Recta y plano
secantes
Recta contenida
en el plano
Recta y plano
paralelos
Sistema compatible
determinado
Sistema compatible
indeterminado con 1 g.l.
Sistema incompatible
rango(A) = rango (B) = 3
rango(A) = 2; rango (B) = 2
rango(A) = 2; rango (B) = 3
Posiciones relativas: dos planos
Sean dos planos p: ax + by + cz + d = 0 y p’: a'x + b'y + c'z + d' = 0.
Estudiar las posiciones relativas de ambos planos equivale a estudiar el número de
soluciones del sistema que forman sus ecuaciones. Sean A y B las matrices
asociadas a dicho sistema.
1
3
2
Sistema compatible
indeterminado con 1 g.l.
Sistema incompatible
Sistema compatible
indeterminado con 2 g.l.
rango(A) = rango(B) = 2
rango(A) = 1; rango(B) = 2
rango(A) = rango(B) = 1
a
b
a
c

ó

a'
b' a'
c' ó
b
c

b'
c'
a
b c d
= = c' 
a'
b'
d'
a
b c d
= = c' =
a'
b'
d'
Posiciones relativas: tres planos (I)
Sean p: ax + by + cz + d = 0 y p': a'x + b'y + c'z + d' = 0 y p": a"x + b"y + c"z + d" = 0.
Estudiar las posiciones relativas de estos planos equivale a estudiar el número de soluciones
del sistema que forman sus ecuaciones. Sean A y B las matrices asociadas a dicho sistema.
2
a
1
Triedro
2
b
Prisma
Dos planos paralelos
y un tercero secante a ellos
Los tres planos tienen
un punto en común
Los tres planos no tienen
puntos en común
Los tres planos no tienen
puntos en común
Sistema compatible
determinado
Sistema incompatible
Todos los menores de orden 2
son no nulos
Sistema incompatible
rango(A) = rango(B) = 3
rango(A) = 2; rango(B) = 3
rango(A) = 2; rango(B) = 3
a b c d
  
a ' b' c ' d '
Posiciones relativas: tres planos (II)
Sean p: ax + by + cz + d = 0 y p': a'x + b'y + c'z + d' = 0 y p": a"x + b"y + c"z + d" = 0.
Estudiar las posiciones relativas de ambos planos equivale a estudiar el número de soluciones
del sistema que forman sus ecuaciones. Sean A y B las matrices asociadas a dicho sistema.
3a
3
b
4
Tres planos distintos
Dos planos coincidentes
y un tercero secante a ellos
Los tres planos tienen
una recta en común
Los tres planos tienen
una recta en común
Sistema compatible
indeterminado
con 1 g.l.
Sistema comp. ind.
a b c d
  
a ' b' c ' d '
Sistema comp. Ind.
Todos los menores de
orden dos son nulos
rango(A) = rango(B) = 2
rango(A) = rango(B) = 2
rango(A) = rango(B) = 1
Tres planos coincidentes
Los tres planos tienen
infinitos puntos
en común
Posiciones relativas: tres planos (III)
Sean p: ax + by + cz + d = 0 y p': a'x + b'y + c'z + d' = 0 y p": a"x + b"y + c"z + d" = 0.
Estudiar las posiciones relativas de ambos planos equivale a estudiar el número de soluciones
del sistema que forman sus ecuaciones. Sean A y B las matrices asociadas a dicho sistema.
5
a
5b
Tres planos paralelos
Dos planos coincidentes
y un tercero paralelo a ellos
Los tres planos no tienen
puntos en común
Los tres planos no tienen
puntos en común
Sistema incompatible
Todos los menores de orden 2
de A son nulos
Sistema incompatible
Hay dos planos con ecuaciones
de coeficientes proporcionales
rango(A) = 1; rango(B) = 2
rango(A) = 1; rango(B) = 2
Posiciones relativas: dos rectas (I)
a'" x  b'" y  c'" z  d '"  0
a' x  b' y  c' z  d '  0
Sea la recta r 
Sea la recta s a"" x  b"" y  c"" z  d ""  0

a' ' x  b' ' y  c' ' z  d ' '  0
Estudiar las posiciones relativas de ambas rectas equivale a estudiar el número de soluciones
del sistema que forman las cuatro ecuaciones anteriores. Sean A y B las matrices asociadas a
dicho sistema.
1
2
Rectas coincidentes
Las rectas tienen todos
sus puntos comunes
Sistema compatible
indeterminado con 1 g.l.
rango(A) = rango(B) = 2
Rectas paralelas
Las rectas no tienen
puntos en común
Sistema incompatible
rango(A) = 2; rango(B) = 3
Posiciones relativas: dos rectas (II)
a'" x  b'" y  c'" z  d '"  0
a ' x  b' y  c ' z  d '  0
Sea la recta r 
a' ' x  b' ' y  c' ' z  d ' '  0 Sea la recta s a"" x  b"" y  c"" z  d ""  0

Estudiar las posiciones relativas de ambas rectas equivale a estudiar el número de soluciones
del sistema que forman las cuatro ecuaciones anteriores. Sean A y B las matrices asociadas a
dicho sistema.
3
4
Rectas secantes
Rectas que se cruzan
Las dos rectas tienen
un punto en común
Las rectas no tienen
puntos en común
Sistema compatible
determinado
Sistema incompatible
Todos los menores de orden 3 son
no nulos
rango(A) = rango(B) = 3
rango(A) = 3; rango(B) = 4
Haces de planos
1
Haz de planos paralelos
Dado ≡Ax+By+Cz+D=0 todos los planos
paralelos tienen el mismo vector normal
por eso los coeficientes de x, y, z, son
todos proporcionales
Los haces de planos se pueden expresar
como Ax+By+Cz+=0 con  є R.
2
Haz de planos secantes
Dados p≡Ax+By+Cz+D=0
p ≡ Ax+By+Cz+D  =0
cualquier combinación lineal de ellos
Pertenece al haz
Los haces de planos se pueden expresar
como Ax+By+Cz+D+ (Ax+By+Cz+D )=0
Para que el haz quede completo hay que
añadir el 2ºplano :A’x+B’y+C’z+D’ = 0
Posiciones de dos planos dados por sus determinaciones
normales
Condición
1
2
Rango 2
Rango 1
Los vectores normales no
son paralelos
Los vectores normales son
paralelos y A no está en π’:
Aπ’
ó
 
AB·n2  0
Posición
Planos secantes
Planos paralelos
Los vectores normales son
3
Rango 1
paralelos y A está en π’: Aπ’ ó Planos coincidentes
 
n n


AB·n2  0
Posiciones de recta y plano dados por sus determinaciones
lineal y normal

u ·n
1
Condición

u·n  0

u·n  0
Los vectores no son
ortogonales
La recta y el plano
son secantes
Los vectores son ortogonales
La recta y el plano
y A no está en π: Aπ es
son paralelos
 
decir
AB·n  0
2
y
Aπ
3
  Los vectores normales son
u·n  0paralelos y A está en π:
y Aπ
Posición
Aπ es decir


AB·n  0
La recta está contenida en el plano
Posiciones de dos rectas dados por sus determinaciones
lineales
Posición
1
Rango 2
Rango 3
2
Rango 2
Rango 2
Rectas secantes
3
Rango 1
Rango 2
Rectas paralelas
Rango 1
Rango 1
Rectas coincidentes
 
n n
4
Se cruzan