Transcript Paralelos - IES Campos Amaya

GEOMETRÍA ANALÍTICA
ESPACIO
POSICIONES RELATIVAS
DE RECTAS Y PLANOS
TEMA 5
Pág: 116-119
POSICIONES RELATIVAS DOS PLANOS
Las posiciones relativas de dos planos en el espacio son tres:
• SECANTES: tienen en común los puntos de una recta.
• PARALELOS: no tienen ningún punto en común.
• COINCIDENTES: tienen todos sus puntos en común.
Dados dos planos
Sea M la matriz de los coeficientes y M* la matriz ampliada
Ejemplos:
- Pág 116: 8
- Calcular “a” para que los planos x-y+3z=0 y
2x-ay+6z =3 sean paralelos
- Calcula “m” para que los planos x+4y =2 y
mx+3y-4z =4 sean perpendiculares.
POSICIONES RELATIVAS TRES PLANOS
Las posiciones relativas de tres planos en el espacio son ocho,
agrupadas en cinco casos:
• Secantes en común un punto.
• Se cortan dos a dos o uno a los otros dos que son
paralelos.
• Se cortan en una recta en forma de haz o porque dos son
iguales.
• Son paralelos, o dos son iguales y el tercero paralelo.
• Coincidentes: tienen todos sus puntos en común.
Dados tres planos
Sea M la matriz de los coeficientes y M* la matriz ampliada
Ejemplos:
- Pág 125: 2
- Posición relativa de tres planos en función de un
parámetro: Pág 125: 3 a, b
- Calcula “m” para que los planos :
x +y – z + 2 = 0, 2x – y + mz + 5 = 0
y
3x + 2z + 7 = 0 se corten en una recta. Escribe la
recta en forma paramétrica.
POSICIONES RELATIVAS RECTA y PLANO
Las posiciones relativas que pueden tener una recta y un plano
en el espacio son las siguientes:
• Secantes: tienen un punto en común.
• Paralelos: no tienen ningún punto en común.
• Recta contenida en el plano: todos los puntos de la recta
pertenecen al plano.
Dados la recta y el plano:
Sea M la matriz de los coeficientes y M* la matriz ampliada
Dados la recta y el plano:
Sustituimos los valores de x, y, z de la recta en el plano y despejamos t
Ejemplos:
- Pág 118: 9
- Pág 127: 22 (parámetro)
- Determina el valor de “a” para que la recta r:
y el plano π: x + y – z + 3 = 0
x  4  t

 y  1  at sean paralelos.
z  2  t

- Determina el valor de “m” para que la recta. r: x – y + z = 2,
x + z = 1 y el plano 3x - mz = 1 sean perpendiculares
POSICIONES RELATIVAS DOS RECTAS
Dos rectas en el espacio pueden tener las siguientes posiciones entre sí:
•
SE CRUZAN: no tienen ningún punto en común (no están situadas
en el mismo plano).
•
•
SECANTES: tienen un punto común
PARALELAS: no tienen ningún punto en común
COINCIDENTES: tienen todos los puntos en común.
En los tres últimos casos, las rectas están en el mismo plano
Dadas las rectas
r:
 Ax  By  Cz  D  0

 A' x  B' y  C ' z  D'  0
s:
 A' ' x  B' ' y  C ' ' z  D' '  0

 A' ' ' x  B' ' ' y  C ' ' ' z  D' ' '  0
Sea M la matriz de los coeficientes y M* la matriz ampliada
Dadas las rectas
r:
 x  a  u1 t

 y  b  u2t
z  c  u t
3

s:
 x  a1  v1

 y  a 2   v2
 z  a  v
3
3

Ejemplos:
- Pág 119: 10
- Pág 127: 21 (parámetro)
- Determina el valor de “a” para que las rectas
x
 x  2  4t

y

2

z
r: 2
y s:  y  a  t
estén situadas en
 z  2a  3t
el mismo plano

x 1 y  3
- Halla “k” para que las rectas r: k  5  z  1
y s: x  y  z  3 sean perpendiculares
.
2 x  y  z  2
PARALELISMO Y
PERPENDICULARIDAD
• Entre dos rectas r y s:
• Entre dos planos α y β:
 

r  s  vr . v s  0




r || s  vr  . v s
 

    n . n  0



 ||   n  . n

• Entre una recta r y un plano α:
 

r ||   v r . n  0




r    v r  . n
Ejercicios:
- Pág 127: 18 a, 19 a, 20
- Pág 128: 30, 32 a, 34
x
z

y

- Sea “a” un número real, y las rectas r: 2
a
 x  1  4t
y s:  y  2t . Para el valor de “a” para el que r y s
 z  3  2t

son paralelas, halla el plano que las contiene.