Transcript Ecuación de la recta y del plano en el espacio

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Ecuaciones de rectas y planos
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Coordenadas en el espacio
Matemáticas II
2.º BACHILLERATO
  
 Un punto O y una base B = { i , j , k } de los vectores libres del
espacio constituyen un sistema de referencia en el espacio.
  
Se escribe S = {O; i , j , k }.
 En lo que sigue, por comodidad, trabajaremos en la base ortonormal.
Vector de posición de P
Origen de coordenadas




[OP] = x . i + y . j + z . k
(x, y, z) son las coordenadas de P respecto del
sistema de referencia S.
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Ecuaciones de rectas y planos
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Ejes coordenados. Planos coordenados
Matemáticas II
2.º BACHILLERATO
• Los tres vectores de la base
B determinan con el origen
O tres ejes de coordenadas
OX, OY, y OZ.
• Los planos OXY, OYZ y
OZX se denominan planos
coordenados del sistema de
referencia.
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Ecuaciones de rectas y planos
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Coordenadas de un vector libre
Matemáticas II
2.º BACHILLERATO

 Los puntos P y Q determinan el vector fijo PQ
  
 OP + PQ = OQ
  
 PQ = OQ – OP

 
 [PQ] = OQ – OP = (b – a, b' – a' , b" – a")


  
Las coordenadas de un vector libre u = [PQ] respecto de la base B = { i , j , k }
se obtienen restando las coordenadas del punto P de las correspondientes de Q en
  
el sistema de referencia S = {O; i , j , k }.
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Ecuaciones de rectas y planos
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Coordenadas del punto medio de un segmento
Matemáticas II
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    1 
m = a + AM = a + AB =
2
 1  
1  
= a + (b–a)= (a+b)
2
2
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Ecuaciones de rectas y planos
5 Determinación de una recta. Ecuación vectorial
Matemáticas II
2.º BACHILLERATO
 Una recta viene determinada por un punto
y una dirección. La dirección está

marcada por un vector libre u llamado
vector director .

 Un punto X está en la recta si y sólo si PX



y u son proporcionales: [PX] = t . u


 Si p es el vector de posición de P, x es
el vector de posición de X, quedará:
 

 

x – p = t . u es decir: x = p + t . u
 

La expresión x = p + t . u con t  R es la ecuación vectorial de la recta que

pasa por P y tal que u es un vector director de la misma.
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Ecuaciones de rectas y planos
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Determinación de una recta. Ecuaciones paramétricas
Matemáticas II
2.º BACHILLERATO
 La recta que pasa por P de vector director

v (v1, v2, v3) se puede poner así:
(x, y, z) = (xo, yo, zo) + t (v1, v2, v3)
 Al igualar coordenadas obtenemos:
x = xo + t.v1
y = yo + t.v2
z = zo + t.v3
Las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por P(xo, yo, zo) y que tiene
x = xo + t.v1



por vector director v (v1, v2, v3) son y = yo + t.v2

z = zo + t.v3
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Ecuaciones de rectas y planos
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Ecuaciones de la recta en forma continua
Matemáticas II
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Las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por P(xo, yo, zo) y que tiene
x = xo + t.v1



por vector director v (v1, v2, v3) son y = yo + t.v2

z = zo + t.v3
Despejando t en cada una de ellas e igualando, obtenemos las ecuaciones de la
recta que no dependen de ningún parámetro.
Las ecuaciones en forma continua de la recta r que pasa por P(xo, yo, zo) y que
x – xo y – yo z – zo

tiene por vector director v (v1, v2, v3) son: v = v = v
1
2
3
1
Ecuaciones de rectas y planos
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8 Ecuaciones de los ejes en forma vectorial, paramétrica y continua
Vectorial Paramétrica Continua
x = t
x y z


Eje OX x = t i
= =
y = 0
1 0 0
z = 0
x = 0
x y z


Eje OY x = t j
y = t
= =
0 1 0
z = 0
Eje OZ


x =t k
x = 0
y = 0
z = t
x y z
= =
0 0 1
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Ecuaciones de rectas y planos
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Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
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(b1, b2, b3)
(a1, a2, a3)
La recta r queda determinada por la siguiente


determinación lineal: r(A, AB) ó r(B, AB)
Por tanto la ecuación de la recta será:
(x, y, z) = (a1, a2, a3) + t (b1–a1, b2–a2, b3–a3 )
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Ecuaciones de rectas y planos
10 Ecuación vectorial del plano
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Un plano queda determinado por un punto y dos vectores linealmente

independientes. Se dice que a(A, v, w ) es una determinación lineal del plano a.
X está en a si y solo si AX es

combinación lineal de 
v y w. Por tanto
existirán dos números reales s y t tales
que:

 
AX = s v + t w

 
Por tanto x – a = s v + t w
Y de aquí se obtiene la ecuación
vectorial del plano:
con s R y t R
x= a+ s v+ t w,
 
 
Se observa además que X a rango (AX, v, w) = 2  det (AX, v, w) = 0
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Ecuaciones de rectas y planos
11 Ecuaciones paramétricas y general del plano
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Partiendo de la ecuación vectorial del plano:
(x, y, z) = (x1, y1, x1) + t (a, b, c) + s (a', b', c')
obtenemos las ecuaciones paramétricas:
 
Sabemos además que X está en el plano si y sólo si det(AX, v , w ) = 0. Es decir:
x – x1 y – y1 z – z1
a
b
c
=0
a'
b'
c'
El desarrollo de este determinante conduce a la ecuación general del plano:
Ax + By + Cz + D = 0
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Ecuaciones de rectas y planos
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Matemáticas II
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Ecuaciones de los planos cartesianos
Vectorial
Paramétrica Implícia
x = t


Plano OXY 
z=0
y = s
x =t i +s j
z = 0
x = t


Plano OXZ 
y=0
y = 0
x =t i +s k
z = s


Plano OYZ 
x =t j +s k
x = 0
y = t
z = s
x=0
1
Ecuaciones de rectas y planos
13 Ecuación normal del plano
Matemáticas II
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Sea M un punto cualquiera del plano a, y
sea (A, B, C) un vector normal al plano.
Un punto X(x, y, z) está en el plano si y


sólo si n es perpendicular a MX Por tanto:
 
  
n . MX = 0  n . ( x – m ) = 0
que es la ecuación normal del plano.
Desarrollando la expresión anterior
obtenemos:
(A, B, C) . (x – x1 , y – y1 , z – z1 ) = 0
A( x – x1 ) + B(z – z1 ) + C(z – z1 ) = 0
o bien
Ax+By+Cz+D=0
donde A, B, y C son las componentes
del vector normal al plano
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Ecuaciones de rectas y planos
Matemáticas II
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14 Ecuación del plano que pasa por tres puntos
 
Sean A, B y C tres puntos no alineados. Por tanto los vectores AB y AC no
son paralelos.
La determinación lineal de dicho plano será:
(a", b", c") (x, y, z)
X
(a, b, c)
 
a(A, AB, AC)
Por lo tanto su ecuación se obtendrá
desarrollando el siguiente determinante:
  
det(AX, AB, AC)
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Ecuaciones de rectas y planos
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2.º BACHILLERATO
15 Posiciones relativas de dos planos
Sean p: ax + by + cz + d = 0 y p': a'x + b'y + c'z + d' = 0. Estudiar las posiciones relativas de
ambos planos equivale a estudiar el número de soluciones del sistema que forman sus
ecuaciones. Sean A y B las matrices asociadas a dicho sistema.
1
3
2
Sistema compatible
indeterminado de rango 2
Sistema incompatible
Sistema compatible
indeterminado de rango 1
rango(A) = rango(B) = 2
rango(A) = 1; rango(B) = 2
rango(A) = rango(B) = 1
a
b
a
c

ó

a'
b' a'
c' ó
b
c

b'
c'
a
b c d
= = c' 
a'
b'
d'
a
b c d
= = c' =
a'
b'
d'
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Ecuaciones de rectas y planos
Matemáticas II
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16 Posiciones relativas de tres planos (I)
Sean p: ax + by + cz + d = 0 y p': a'x + b'y + c'z + d' = 0 y p": a"x + b"y + c"z + d" = 0 . Estudiar las
posiciones relativas de ambos planos equivale a estudiar el número de soluciones del sistema que forman
sus ecuaciones. Sean A y B las matrices asociadas a dicho sistema.
2
a
1
Triedro
2
b
Tres planos distintos
Dos planos coincidentes
y un tercero secante a ellos
Los tres planos tienen
un punto en común
Los tres planos tienen
una recta en común
Los tres planos tienen
una recta en común
Sistema compatible
Determinado
de rango 3
Sistema compatible
indeterminado
de rango 2
Sistema compatible
indeterminado
de rango 2
rango(A) = rango(B) = 3
rango(A) = rango(B) = 2
rango(A) = rango(B) = 2
5
Ecuaciones de rectas y planos
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2.º BACHILLERATO
17 Posiciones relativas de tres planos (II)
Sean p: ax + by + cz + d = 0 y p': a'x + b'y + c'z + d' = 0 y p": a"x + b"y + c"z + d" = 0.
Estudiar las posiciones relativas de ambos planos equivale a estudiar el número de soluciones
del sistema que forman sus ecuaciones. Sean A y B las matrices asociadas a dicho sistema.
3
Tres planos coincidentes
4
a
4
b
Prisma
Dos planos paralelos
y un tercero secante a ellos
Los tres planos tienen
infinitos puntos
en común
Los tres planos no tienen
puntos en común
Los tres planos no tienen
puntos en común
Sistema compatible
indeterminado
de rango 1
Sistema incompatible
Sistema incompatible
rango(A) = rango(B) = 1
rango(A) = 2; rango(B) = 3
rango(A) = 2; rango(B) = 3
5
Ecuaciones de rectas y planos
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2.º BACHILLERATO
18 Posiciones relativas de tres planos (III)
Sean p: ax + by + cz + d = 0 y p': a'x + b'y + c'z + d' = 0 y p": a"x + b"y + c"z + d" = 0.
Estudiar las posiciones relativas de ambos planos equivale a estudiar el número de soluciones del
sistema que forman sus ecuaciones. Sean A y B las matrices asociadas a dicho sistema.
5
b
5
a
Tres planos paralelos
Dos planos coincidentes
y un tercero paralelo a ellos
Los tres planos no tienen
puntos en común
Los tres planos no tienen
puntos en común
Sistema incompatible
Sistema incompatible
rango(A) = 1; rango(B) = 2
rango(A) = 1; rango(B) = 2
5
Ecuaciones de rectas y planos
19
Ecuación de la recta como intersección de planos
Matemáticas II
2.º BACHILLERATO
Sean p: ax + by + cz + d = 0 y p': a'x + b'y + c'z + d' = 0 dos planos no paralelos.
Los puntos de la recta intersección son aquellos que verifican simultáneamente las
ecuaciones de ambos planos. Por ello la ecuación de la recta r será:



ax + by + cz + d = 0
r: a'x + b'y + c'z + d' = 0
Para obtener las ecuaciones paramétricas de la recta es suficiente obtener la solución
general del sistema indeterminado que forman las ecuaciones generales de los dos planos.
5
Ecuaciones de rectas y planos
Matemáticas II
2.º BACHILLERATO
20 Posiciones relativas de una recta y un plano
Sean p: ax + by + cz + d = 0 y y la recta r dada como intersección de p': a'x + b'y + c'z + d' = 0
y p":a"x + b"y + c"z + d" = 0 . Estudiar las posiciones relativas de recta y plano equivale
a estudiar el número de soluciones del sistema que forman las tres ecuaciones anteriores.
Sean A y B las matrices asociadas a dicho sistema.
1
2
3
Recta y plano
secantes
Recta contenida
en el plano
Sistema compatible
determinado
Sistema compatible
indeterminado de rango 2
rango(A) = rango (B) = 3 rango(A) = 2; rango (B) = 2
Recta y plano
paralelos
Sistema incompatible
rango(A) = 2; rango (B) = 3
5
Ecuaciones de rectas y planos
21 Posiciones relativas de dos rectas (I)
Matemáticas II
2.º BACHILLERATO
Sea r dada como intersección de los planos a1x + a2y + a3z + a4 = 0 y b1x + b2y + b3z + b4 = 0.
Sea la recta s dada como intersección de c1x + c2y + c3z + c4 = 0 y d1x + d2y + d3z + d4 = 0.
Estudiar las posiciones relativas de ambas rectas equivale a estudiar el número de soluciones del sistema
que forman las cuatro ecuaciones anteriores. Sean A y B las matrices asociadas a dicho sistema.
1
2
Rectas secantes
Rectas coincidentes
Las dos rectas tienen
un punto en común
Las rectas tienen todos
sus puntos comunes
Sistema compatible
determinado
Sistema compatible
indeterminado de rango 2
rango(A) = rango(B) = 3
rango(A) = rango(B) = 2
5
Ecuaciones de rectas y planos
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Posiciones relativas de dos rectas (II)
Matemáticas II
2.º BACHILLERATO
Sea r dada como intersección de los planos a1x + a2y + a3z + a4 = 0 y b1x + b2y + b3z + b4 = 0.
Sea la recta s dada como intersección de c1x + c2y + c3z + c4 = 0 y d1x + d2y + d3z + d4 = 0.
Estudiar las posiciones relativas de ambas rectas equivale a estudiar el número de soluciones del sistema
que forman las cuatro ecuaciones anteriores. Sean A y B las matrices asociadas a dicho sistema.
3
4
Rectas paralelas
Rectas que se cruzan
Las rectas no tienen
puntos en común
Las rectas no tienen
puntos en común
Sistema incompatible
Sistema incompatible
rango(A) = 2; rango(B) = 3
rango(A) = 3; rango(B) = 4