Transcript Ekonometrija panela

EKONOMETRIJA
Oblasti:
Modeli panela
Modeli simultanih jednačina
Predavač: Radmila Dragutinović Mitrović
EKONOMETRIJSKI MODELI PODATAKA
PANELA
Literatura
• Baltagi, B.H. (2008.), Econometric Analysis of Panel Data,
John Wiley & Sons.
• Greene, W.H. (2007.), Econometric Analysis (6th
International Edition), Prentice Hall
• Gujarati, D. (2009.), Basic Econometrics (5th edition),
McGraw Hill Higher Education
 Dragutinović Mitrović, R. (2002.), Analiza panel serija,
Zadužbina Andrejević, Beograd.
 Dragutinović Mitrović, R. (2005.), Ekonometrijsko
modeliranje spoljnotrgovinske gravitacije metodologijom
panela, doktorska disertacija, Ekonomski fakultet, Beograd.
Vrste kvantitativnih podataka u ekonometrijskim
istraživanjima:
• Podaci preseka, serije strukture (cross section data)
i=1,2,…N
• Vremenske serije (time series)
t=1,2,…T
• Podaci panela (panel data; longitudinal data)
i=1,2,…N;
t=1,2,…,T
Svaka panel opservacija ima dve dimenzije:
prostornu i vremensku.
Podaci panela:
 kombinacija podataka preseka i vremenskih serija
 podaci velikog broja istih jedinica posmatranih u
različitim vremenskim periodima
 ponovljene ankete jednog istog uzorka tokom
vremena
Primer dve serije podataka panela: Stopa inflacije i nezaposlenosti (%)
Zemlja
Madjarska
Poljska
Slovenija
Slovačka
Inflacija
Nezaposlenost
2003
5,7
5,9
2004
5,5
6,1
2005
3,3
7,2
2006
6,5
…
2003
1,7
…
2004
4,4
19,0
2005
0,7
17,8
2006
1,4
13,9
2003
4,6
6,7
2004
3,2
6,3
2005
2,3
6,5
2006
2,8
5,9
2003
9,2
17,6
2004
6,0
18,2
2005
3,7
16,3
2006
4,2
…
Period
Vrste podataka panela
• Balansirani paneli; nebalansirani paneli
• Klasični podaci panela (veliko N, malo T); longitudinalni podaci
(malo N, veliko T)
• Mikro paneli; makro paneli
• Rotacioni paneli
• Pseudo paneli
Prednosti korišćenja podataka panela u ekonometrijskim
istraživanjima
• Povećava se uzorak (sa N, odnosno T na NT podataka) i broj
stepeni slobode, maksimum informacija
• Veći varijabilitet, veća efikasnost ocena, manja mogućnost
pojave multikolinearnosti
• Nedovoljna dužina vremenske serije ili broj jedinica
posmatranja za primenu klasičnih tehnika ocenjivanja
• Izbegnut problem izbora reprezentativnog perioda.
• Dve dimenzije- istovremena analiza strukture i promena u
strukturi tokom vremena (individualni i vremenski efekti)
Ograničenja/problemi u korišćenju podataka panela
•
•
Problem raspoloživosti panel podataka, odnosno problem nedostajućih
podataka u pojedinim periodima; Rešenje: korišćenje drugih vrsta
panela (npr. nebalansirani, rotacioni i sl.)
Ekonometrijski problemi svojstveni i uporednim podacima (npr.
heteroskedastičnost) i vremenskim serijama (npr. autokorelacija).
Ekonometrijski modeli panela
•
Klasični linearni modeli panela
 Pretpostavke, metodi ocenjivanja i testiranja
 Neispunjenje polaznih pretpostavki: autokorelacija,
heteroskedastičnost, endogeni regresori i dr.
 Dinamički modeli panela
 Sistemi jednačina:
• Model simultanih jednačina sa komponentama slučajne
greške
• Model naizgled nepovezanih regresija sa komp. sl. greške
(error components seemingly unrelated regression)
•
•
Nestacionarni paneli: testovi jediničnog korena i kointegracija
Nelinearni modeli panela: panel modeli binarnog izbora,
probit, logit, tobit modeli
Linearni modeli panela
K
y it  β1it   β kit x kit  u it
k 2
Regr. parametri varijabilni po
jedinicama i /ili kroz vreme
(fiksni ili stohast.)
Svi regr. parametri
konstantni (pooled model)
Slobodni član varira,
Parametri uz regresore konst.
β kit
Model sa individualnim
efektima
•Slobodni član varira samo po
jedinicama posmatranja

βk
за k=2,…,K
Model sa indiv. i
vremenskim efektima
•Slobodni član varira po
jedinicama posmatranja i kroz
vreme
β1it  β1  μ i  λ t
Linearni modeli panela
1. Model sa konstantnim
K
regresionim parametrima y it  β1   β k x kit  u it
k 2
(pooled model)
2. Slobodni član varira, a parametri uz regresore konstantni:
• Slobodni član varira samo po jedinicama posmatranja -model sa
individualnim efektima
K
yit  1i   k x kit  u it
k 2
• Slobodni član varira po jedinicama posmatranja i kroz vreme model sa individualnim i vremenskim efektima
K
yit  1it   k x kit  u it
k 2
Modeli sa individualnim efektima
K
K
k 2
k 2
yit  1i   k x kit  u it  1   k x kit  i  u it
• fiksni parametar
β1i  β1  μ i
• stohast.promenljiva
μ i  u it  vit
Individualni efekti i - efekti individualnih promenljivih, koje nisu
eksplicitno uključene u model, na razlike između jedinica posmatranja
Individualne promenljive (time invariant variables) imaju različite
vrednosti po jedinicama, a iste tokom vremena.
Model sa fiksnim individualnim efektima
(FE –fixed effects model)
K
yit  1i   k x kit  u it
k 2
gde je
 1i   1   i
• 1 - prosek za svih N jedinica;
• i
- odstupanje 1i i-te jedinice posmatranja od proseka 1
(fiksni, nepoznati parametri).
• Varijabilni slobodni članovi-razlike (heterogenost) između
jedinica posmatranja.
Pretpostavke:
1) E(ui)=0;
2) E(u i u i ' )   2u I T ;
3) E(u i u j ' )  0 za ij
4) Regresori nestohastičke promenljive, nezavisne od sl. greške;
E(Xiui)=0.
• Zanemarivanje varijabilnosti regr. parametara u modelu panela
vodi nekonzistentnim ocenama:
- Ocenjivanje uz pretpostavku konstantnih regresionih
parametara vodi prosečnoj oceni,
Y
yit  β1  β2 x it  u it
Pravi regr. parametri (slobodni
članovi) za pojedine jedinice
posmatranja odstupaju od proseka:
...
12
11
X
yit  β1i  β2 x it  u it
Metod ocenjivanja
• Metod običnih najmanjih kvadrata (OLS-Pooled OLS method)
na FE model sa veštačkim promenljivim (LSDV-Least Square
Dummy Variable Model):
y it   11 j1   12 j 2  ...   1N j N 
K
 x
k
kit
 u it
k 2


1 i  1
1 i  N
j1  
,...
jN  
.
0 ostalo

 0 ostalo

ili za svih NT podataka u matričnoj formi :
 y1   jT
y   0
 2
 ...   .
  
y N   0
0
jT
.
0
... 0
... 0
. ..
... jT
X.1 
X. 2 



X. N 
 β11 
 β   u1 
 12   u 2 
 ...    
   ... 
β1N  u 
     N 
yi’=[yi1, …, yiT],
jT’=[1, 1, …, 1] i
ui’=[ui1, …, uiT] su
vektori dimenzija T×1
• Problem: veliko N, gubi se veliki broj stepeni slobode, inverzija
matrice velike dimenzije (N+K-1).
• Kovarijacioni metod (covariance method): primena OLS na
transformisani (kovarijacioni) model (sa centriranim varijablama):
K
(yit  y i ) 

k (x kit
 x ki )  ( i  i )  (u it  u i )
k 2
=0
T
yi =

t 1
y it
- individualni prosek zavisne promenljive
T
• Eliminišu se i (inverzija matrice reda K-1)
• LSDV model i kovarijacioni model fiksnih efekata - identične
ocene regr. parametara uz objašnjavajuće promenljive X.
Ocena FE modela po kovarijacionom metodu, ocena "unutar
grupa" (within group estimate):
ˆ


 i 1
N
FE

(x it - x i )(x it - x i )'

t 1
T

1
 N

 i 1

(x it - x i )(yit - y i )'

t 1
T

1) ne uzima u obzir varijacije između jedinica posmatranja (between group
variations),
2) konzistentna samo pod polaznim pretpostavkama
3) eliminiše individualne efekte - ne mogu identifikovati uticaji
individualnih promenljivih koje su uključene u model
Model stohastičkih efekata (RE –random effects model)
ili model sa komponentama slučajne greške
y it   1 
K
 x
k kit
k 2
 v it
 i  u it
• Slobodni član ne varira
• Varijacije obuhvaćene slučajnom greškom vit koja sadrži dve
komponente:
– individualne efekte i i
– ostatak slučajne greške uit
• individualni efekti i - deo slučajne greške (stohastička promenljiva);
heterogenost po jedinicama obuhvaćena njenom varijansom.
Pretpostavke modela:
1. i ~ N (0, 2 ),
2. cov(i,uit)=0;
u it ~ N(0,  2u )
cov(i,j)=0;
3. cov(uit,ujt)=0 za ij; cov(uit,uis)=0 za ts; cov(uit,ujs)=0 za ij, ts;
4. E(iXit)=0, E(uitXit)=0;
5. kit=k
6. E(1i)= 1; Var(1i)=  2
Pretpostavke o slučajnoj grešci
7. E(vit)=0
8. Var(vit)= Var(i)+Var(uit)=
vit  i  u it
2  2u
(homoskedastičnost)
9. cov(vit,vjs)=0 za ij, t=s
2
10. cov(vit,vjs)=  
za i=j, ts , tj.
   2 /( 2   u2 )
(greške iste jedinice i u različitim periodim t i s korelisane)
•  - mera relativnog značaja indiv. efekata (udeo varijanse tih
efekata u varijansi ukupne greške).
• Zbog pretpostavke 10. primena OLS metoda daje neefikasne ocene
parametara RE modela.
• OLS metod samo kada je Var(vit)=Var(uit).
Metod ocenjivanja
• Metod uopštenih najmanjih kvadrata sa komponentama sl.greške
(REGLS ili ECGLS –random effects (error components) generalized least
squares method):
ˆREGLS  (X' 1 X )1 X' 1 y
• Specifična struktura kovarijantne matrice slučajne greške vit:
σ μ2  σ 2u

2
σ
μ
 i  
...

2
 σ μ
 (T2   2u )
σ μ2
σ μ2  σ 2u
...
σ μ2


...
σ μ2 
2
2


j
j
'


 T T
u IT 

...
...

2
2
... σ μ  σ u 
...
σ μ2
jT jT '
j j '
  2u (I T  T T )
T
T
jT jT '
- matrica dimenzije T×T sa elementima jednakim jedinici
IT
- jedinična matrica T×T
• Prema pretpostavkama 2. i 3. opservacije i i j su međusobno
nezavisne, kovarijantna matrica za svih NT opservacija je:
 I N  i
(vandijagonalni elementi nule, a na glavnoj dijagonali i).
• Inverzna matrica varijansi i kovarijansi slučajne greške vit :
jT jT '
jT jT '
1
1
Ω  2 (IT 
)
σu
T
Tσ μ2  σ 2u T
1
i
jT jT '
jT jT '
2 1
σ u Ω i  (I T 
) 
T
T
ponder:  
 u2
T 2   u2
Suština metoda REGLS:
1/2
σ
Ω
•Promenljive RE modela se množe sa u i
,
• Dobija se transformisani model koji zadovoljava pretpostavke za
primenu OLS metoda:
K


yit  (1 θ )yi  θ β1   k x kit  (1 θ )x ki  w it
k 2
(yit  y i )  θ yi
2
• Ako je   = 0, odnosno =1, REGLS ocena svodi se na OLS ocenu
• Ako je =0, REGLS ocena se svodi na kovarijacionu ocenu, a RE model
svodi se na FE.
• REGLS-generalizacija metoda ponderisanih najmanjih kvadrata sa
ponderima dobijenim inverzijom varijansi komponenata sl. greške vit.
Dvostepeni metod uopštenih najmanjih kvadrata
(FREGLS- Feasible Random Effects Generalized Least Squares Method)
 Komponente varijanse slučajne greške vit nisu poznate (matrica 
nije poznata), pa se pre primene REGLS metoda sprovodi ocenjivanje;
 Etape:
1. ocenjuju se nepoznate komponente
pondera,
ˆ
 2i
 u2i dobija se ocena
2. nepoznate komponente se zamenjuju njihovim ocenama, pa se
REGLS metodom ocenjuju regresioni parametri:
ˆ 1 X) 1 X' 
ˆ 1 y
ˆ FREGLS  (X' 
Ocenjivanje komponenata varijanse slučajne greške vit :
Swamy-Arora metod
2
- Nepristrasna ocena komponente  u na osnovu reziduala FE modela:
ˆ u2
uˆ ' uˆ

NT  N  (K  1)
- Ocena T 2   u2 na bazi reziduala modela: y i 
K

k 1
2
^
(T    u2 )
eˆ' eˆ

NK
k x ki
  i  ui
Osobine ocene
ˆ

• REGLS ocena - ponderisani prosek ocena „unutar grupa” (within
group estimate) i „između grupa” (between group estimate)
ˆ

- FE ocena „unutar grupa” objašnjava samo varijacije unutar
jedinica - kovarijaciona ocena iz FE regresije:
K
( y it  y i ) 
-
ˆ BE

k ( x kit
 x ki )  (uit  ui )
k 2
ocena „između grupa” uzima u obzir varijacije između
jedinica posmatranja; dobija se iz regresije:
K
(yi  y ) 

k 2
k (x ki
 x k )  (ui  u )

ˆβ
REGLS  
 i 1
N

(x it - x i )(x it - x i )'  θ (x i - x )(x i - x )'

t 1
T

N

 i 1
1

(x it - x i )(yit - yi )'  θ (x i - x )(yi - y )'

t 1
T

• REGLS ocena modela stohastičkih efekata:
– optimalna kombinacija ocena FE i BE (obuhvata sve
varijacije: odstupanja unutar grupa i između grupa)
– efikasna u odnosu na kovarijacionu ocenu FE modela.
Testiranje varijabilnosti regresionih parametara
1) Izbor specifikacije modela panela zavisi od rezultata
testiranja varijabilnosti regresionih parametara po
jedinicama (i=1, 2, ...,N) i/ili kroz vreme (t=1, 2, ,...,T).
• Testovi:
– Analiza varijanse (F test),
– Testovi Lagrange-ovog multiplikatora (LM testovi):
Breusch-Pagan, Honda, King-Wu i dr.
– Test količnika verodostojnosti i dr.
Testiranje individualnih (i vremenskih) efekata
• Hipoteza o postojanju individualnih efekata:
H0: i=0 ( 2 =0)
H1: i≠0 (  2 ≠ 0)
i=1,…, N-1
• Za model FE ekvivalentna hipotezi o varijabilnosti slobodnih
članova po jedinicama posmatranja:
H0: 11=12 =...= 1N = 1 (uz uslov: k1=k2 =...= kN = k)
H1: 1i ≠ 1j (uz uslov: k1=k2 =...= kN = k)
Testiranje individualnih i vremenskih efekata u FE specifikaciji
- Analiza varijanse (F test linearnih ograničenja na parametre)
-
Model sa ograničenjem je model sa konstantnim regr.
parametrima (pooled model)
K
yit  1   k x kit  u it
k 2
- Model bez ograničenja je model individualnim efektima
(varijabilni slobodni članovi)
K
yit  11  12  ... 1N   k x kit  uit
k 2
Statistika F testa:
F
(SO  SB ) /( N  1)
SB /( NT  N  (K  1))
 F [N-1; NT-N-(K-1)]
Izbor modela panela
Tradicionalna ekonometrija panela
Izbor zavisi od prirode podataka i cilja statističkog istraživanja:
• FE model – kada zaključivanje ograničavamo na specifičan skup
od nekoliko jedinica posmatranja (regiona, zemalja, i sl.)
• RE model – kada je veliki broj jedinica slučajnim putem izabran iz
populacije
Savremena literatura ekonometrije panela:
• Polazi se od stohastičke specifikacije (RE model)!
• Argument: i su po definiciji efekti indiv. promenljivih koje nisu
uključene u model; samim tim su deo slučajne greške, tj.
stohastičkog su karaktera.
•
Mundlakov kriterijum izbora:
– Izbor zavisi od ključne pretpostavku RE modela koja se
odnosi na odsustvo korelacije između regresora i i kao
komponente greške vit
– Da li postoji korelacija između i i X?
Ako je pretpostavka ispunjena - E(iXit)=0
– ne postoje statistički značajna razlika između ocena RE i
FE modela.
– REGLS ocena RE modela efikasna u odnosu na
kovarijacionu ocenu FE modela, bira se RE model.
Ako je pretpostavka narušena - E(iXit)  0:
•REGLS ocena RE modela pristrasna i nekonzistentna
•Kovarijaciona ocena ostaje nepristrasna i konzistentna
(zašto?); bira se FE model.
• Hausmanov test specifikacije - značajna razlika između ocena
FE i RE modela indikator greške specifikacije:
qˆ 1  ˆREGLS  ˆFE
• Testira se sledeća hipoteza:
H0: E(iXit)=0
H1: E(iXit)  0.
• Statistika Hausmanovog testa:
m1  qˆ 1 ' Var(qˆ 1 ) 1 qˆ 1  2 (K-1);
gde je Var(qˆ 1 )  Var(ˆFE )  Var( ˆREGLS )
• Pravilo odlučivanja: realizovana vrednost statistike m1 veća od
kritične vrednosti, H0 odbacujemo –postoji statistički značajna razlika
između ocena dva modela (narušenost pretpostavke E(iXit)=0); bira se FE
model.
• Hausmanov test ne možemo koristiti u prisustvu heteroskedastičnosti
i (ili) autokorelacije:
– Pristrasnost varijansi ocena regresionih parametara vodi
pristrasnosti samog testa.
• Modifikacije Hausmanovog testa
Procedura izbora optimalnog modela panela
Ukoliko su ispunjene polazne pretpostavke modela:
1. Testiranje varijabilnosti regresionih parametara (hipoteza o
individualnim i vremenskim efektima): F test, Breusch-Paganov
test, Honda, King-Wu i dr.
2. Izbor specifikacije modela: model sa konstantnim regresionim
parametrima (pooled model), model sa varijabilnim parametrima
po jedinicama posmatranja (individ. efekti) ili model sa
varijabilnim parametrima po obe dimenzije i i t na osnovu
rezultata iz 1. koraka.
3. Ocenjivanje izabranog modela sa fiksnim, a zatim i sa
stohastičkim efektima.
4. Izbor: FE ili RE model? Hausmanov test.