Transcript Slide 1 - Laboratório de Metrologia

Resultados de
Medições Indiretas
Motivação
c ± u(c)
b ± u(b)
A=b.c
u(A) = ?

Como estimar a incerteza
do valor de uma
grandeza que é calculada
a partir de operações
matemáticas com os
resultados de outras
grandezas medidas?
Considerações Preliminares:
Medições indiretas


O valor do mensurando é determinado a
partir de operações matemáticas envolvendo
resultados de duas ou mais grandezas de
entrada medidas separadamente.
Exemplos:


A área de um terreno calculada através do
produto entre sua largura pelo seu comprimento.
Determinação da corrente elétrica multiplicando a
queda de tensão sobre um resistor pelo valor da
sua resistência.
O Modelo Matemático


É necessário um modelo matemático
que relacione as grandezas de entrada
com o valor do mensurando.
Exemplos:


A=l.h
V=d/t
d 
( x 2  x1 )  ( y 2  y1 )  ( z 2  z1 )
2
2
2
P
Z
z
Y
D
P
y
z
y
x
x
X
Dependência estatística e correlação


Duas variáveis aleatórias são consideradas
estatisticamente independentes ou não
correlacionadas se as variações aleatórias da
primeira não guardam nenhum tipo de
sincronismo com as da segunda.
Exemplo:

a temperatura da água do mar na praia da
Joaquina e a cotação do Dólar.
Dependência estatística


Duas variáveis aleatórias são consideradas
estatisticamente dependentes ou
correlacionadas se as variações aleatórias da
primeira ocorrem de forma sincronizada com
as variações aleatórias da segunda.
Exemplos:


Os valores em Real da cotação do Euro e do Dólar.
A temperatura da água do mar em duas praias
próximas.
Correlação direta

Na correlação direta as variações estão
sincronizadas de tal forma que:


(a) o aumento aleatório do valor da primeira
variável aleatória é acompanhado de um
aumento proporcional da segunda variável.
(b) a redução aleatória do valor da primeira
variável aleatória é acompanhado de uma
redução proporcional da segunda variável.
Correlação inversa

Na correlação inversa as variações estão
sincronizadas de tal forma que:


(a) o aumento aleatório do valor da primeira
variável aleatória é acompanhado de uma
redução proporcional da segunda variável.
(b) a redução aleatória do valor da primeira
variável aleatória é acompanhado de um
aumento proporcional da segunda variável.
Analogia da Gangorra ...
A
A
B
C
B
C
A e B possuem correlação direta
A e C possuem correlação inversa
B e C possuem correlação inversa
Coeficiente de Correlação
cov( X , Y )
 ( X ,Y ) 
 X . Y
sendo
(X,Y)
cov(X, Y)
X
Y
o coeficiente de correlação entre X e Y
a covariância entre X e Y
o desvio padrão da variável aleatória X
o desvio padrão da variável aleatória Y
Estimativa do Coeficiente de
Correlação
n
r( X ,Y ) 
 (x
i 1
i
 x )( yi  y )
n
n
2
(
x

x
)
.
(
y

y
)
 i
 i
2
i 1
sendo
r(X, Y)
xi e yi
x e y
n
i 1
estimativa do coeficiente de correlação para X e Y
i-ésimo par de valores das variáveis X e Y
valores médios das variáveis X e Y
número total de pares de pontos das variáveis X e Y
Correlação direta e inversa
Correlação direta perfeita:
ρ(X, Y) = +1,00
 Correlação inversa perfeita:
ρ(X, Y) = -1,00
 Ausência total de correlação
ρ(X, Y) = 0,00

Correlação entre múltiplas
variáveis aleatórias
A
A
D
B
C
B
C
A
B
C
D
D
A
+1
+1
-1
-1
B
+1
+1
-1
-1
C
-1
-1
+1
+1
D
-1
-1
+1
+1
Nas medições indiretas há boas
chances de correlação quando:



Há erros sistemáticos consideráveis e não
compensados nas medições de ambas
grandezas;
Uma mesma grandeza de influência age
fortemente em ambos processos de medição;
Ambas grandezas são medidas pelo mesmo
SM em condições distintas das de calibração
ou muito tempo após a calibração ter sido
realizada.
Nas medições indiretas há boas chances
de não haver correlação se:


Ambos os sistemas de medição foram
recentemente calibrados e estão operando
em condições próximas das condições de
calibração e as respectivas correções estão
sendo aplicadas;
Distintos sistemas de medição são utilizados
em condições em que não há uma mesma
grandeza de influência presente que possa
afetar significativamente ambos os processos
de medição.
Estimativa da Incerteza
Combinada em
Medições não
Correlacionadas (MNC)
Caso Geral de MNC
G  f ( X 1, X 2 , , X n )
2
2
 f

 f
  f

u ( G ) = 
u ( X 1 )   
u ( X 2 )     
u ( X n ) 
 X 1
  X 2

 X n

2
f
= coeficiente de sensibilidade
X i
Podem ser calculados analitica ou numericamente
2
Exemplo: Adição de MNC
mT = m1 + m2
MNC
2
1
2
 f
  f

2



u ( mT ) = 
u (m1 )   
u ( m 2 ) 
  m1
   m2

u 2 ( m T ) = 1 . 3   1 . 4   2 5
2
m1 = (1000 ± 6) g
m2 = (2000 ± 8) g
u(m1) = 6/2,0 = 3 g
u(m2) = 8/2,0 = 4 g
2
u(mT) = 5 g
U = t . u = 2,0 . 5 = 10 g
mT = (3000 ± 10) g
2
Exemplo: Subtração de MNC
mC = m2 – m1
MNC
2
1
m1 = (1000 ± 6) g
m2 = (2000 ± 8) g
mC + m1 = m2
2
  f
  f

2



u (mc ) = 
u (m 2 )   
u ( m1 ) 
  m2
   m1

u 2 ( m C ) = 1 . 4     1 . 3   25
2
2
u(mC) = 5 g
U = t . u = 2,0 . 5 = 10 g
mC = (1000 ± 10) g
2
Exemplo: Divisão de MNC
V
R
V
I
R
I
Determine a corrente
elétrica que passa por um
resistor de (500,0 ± 1,0) 
sobre o qual foi medida
uma queda de tensão de
(150,0 ± 3,0) V.
u(R) = 1,0/2,0 = 0,5 Ω
u(V) = 3,0/2,0 = 1,5 V
V
I
R

 f
  f
u (I ) = 
u (V )   
u ( R ) 
 V
  R

2
2
1
  V

u ( I ) =  . u (V )    2 u ( R ) 
R
  R

2
2
u ( I ) =  9 0 0  9 . 1 0
2
8
u ( I )  0 ,0 0 3 0 1 4 9 6 3 A
2
2
Cálculo do número de graus de
liberdade efetivos
 f

 f

u (V ) 
u(R) 


4
u ( I )  V
R





 ef
V
R
4
 ef  
4
Valor da corrente elétrica:
u ( I )  0 ,0 0 3 0 1 4 9 6 3 A
U(I) = 2,000 . u(I)
U(I) = 2,000 . 0,003014963 = 0,006029925 A
V
I =  0 ,3 A
R
I = (0,300  0,006) A
I = (300  6) mA
Exemplo: Caso Geral de MNC

Na determinação da massa específica (ρ) de
um material usou-se um processo indireto,
medindo-se em um laboratório, com uma
balança, a massa (m) de um cilindro cujo
diâmetro (D) e altura (h) foram determinados
por um micrômetro e um paquímetro
respectivamente. Após a compensação dos
erros sistemáticos, foram encontrados os
seguintes resultados e os respectivos
números de graus de liberdade para cada
grandeza de entrada:
Medições Realizadas
Para a massa:
m = (1580 ± 22) g
νm = 14
h
D
Para o diâmetro:
D = (25,423 ± 0,006) mm
νD = ∞
Para a altura:
h = (77,35 ± 0,11) mm
νh = 14
Massa Específica
 = f (m , D , h )
h
D
m
=
Vol
=
4m
 D2 h
Considerando que as medições foram efetuadas em
condições de laboratório e as componentes sistemáticas
foram compensadas, é muito provável que as medidas das
três grandezas sejam não correlacionadas.
A incerteza padrão associada a cada grandeza envolvida
será calculada dividindo-se a incerteza expandida pelo
coeficiente t de Student:
u(m) = U(m)/t14 = 22/2,195 = 10,023 g
u(D) = U(D)/t = 0,006/2,00 = 0,0030 mm
u(h) = U(h)/t14 = 0,11/2,195 = 0,0501 mm
Cálculo da incerteza combinada
2
2
 f
  f
  f

u (  ) = 
u ( m )   
u ( D )   
u ( h ) 
 m
  D
  h

2
2
 4
   8m
   4m

u (  ) =  2 u (m )    3 u ( D )    2 2 u (h) 
 D h
  D h
  D h

2
2
2
u 2 (  ) =  6 5 1 5 ,8 1  9 ,0 1 8 9 3 9 8 6  6 7 ,9 6 7 6 5 2 5 . 1 0  1 1
u (  )  0,000256765 g/mm
3
2
Cálculo do número de graus de
liberdade efetivos
 f
  f
  f

u ( m)   u ( D )   u ( h) 

4
u (  )  m
D
h








 ef
m
D
h
4
0 ,000256765 
 ef
4

4
4
0,00025260 939.10   - 9,49680992 .10   - 2,60706065 .10 
-4 4
14
 ef  1 4 , 3 3
- 06 4

- 05 4
14
t  2 ,1 9 5
Valor da massa específica:
U() = 2,195 . u()
U() = 2,195 . 0,000256765 = 0,000563598 g/mm3
4 .m
4 . 1580
3
=


0,040239
566
g/
m
m
 . D 2 .h 3 ,141 59 .(25 , 423 )2 .77,35
 = (0,04024  0,00056) g/mm3
Estimativa da Incerteza
Combinada de Medições
Correlacionadas (MC)
Caso Geral
G  f ( X 1 , X 2 ,..., X n )
 f
u ( G )   
i 1   X i
n
2
2
n 1
 2
 u ( X i )  2 
i 1

f f
u ( X i ).u ( X j ).r ( X i , X j )

j  i 1  X i  X j
n
f
= coeficiente de sensibilidade
X i
Pode ser calculado analitica ou numericamente
r ( X i , X j )  c o e f ic ie n t e d e c o r r e la ç ã o e n t r e X i e X
j
Medições correlacionadas e não
correlacionadas

Para múltiplos termos:
A B
G=A+B+C+D
r
A
B
C
D
A
+1
-1
0
B
+1
-1
0
C
-1
-1
0
D
0
0
0
D
C
Medições correlacionadas e não
correlacionadas
 f 
 f 
 f  2
 f  2
u 2 (G )    u 2 ( A)    u 2 ( B )  
 u (C )  
 u (D) 
 A 
 B 
 C 
 D 
f f
f f
f f
2
u ( A).u ( B ).r ( A, B )  2
u ( A).u (C ).r ( A, C )  2
u ( A).u ( D ).r ( A, D ) 
A B
A C
A D
f f
f f
f f
2
u ( B ).u (C ).r ( B , C )  2
u ( B ).u ( D ).r ( B , D )  2
u (C ).u ( D ).r (C , D )
B C
B D
C D
2
2
2
2
Medições correlacionadas e não
correlacionadas
u 2 (G )  u 2 ( A )  u 2 ( B )  u 2 (C )  u 2 ( D ) 
 2 u ( A ).u ( B ). 1  2 u ( A ).u (C ).(  1)  2 u ( A ).u ( D ). 0 
 2 u ( B ).u (C ).(  1)  2u ( B ).u ( D ). 0  2u (C ).u ( D ). 0
u 2 ( G )  u 2 ( A )  u 2 ( B )  u 2 ( C )  u 2 ( D )  2 u ( A ). u ( B )  2 u ( A ). u ( C )  2 u ( B ). u ( C )
u 2 ( G )  u ( A )  u ( B )  u ( C )   u 2 ( D )
2
Correlação parcial
G  f ( h ,  )  2 h s in (  )
com r(h, α) = -0,5
2
 f  2
f f
 f  2
2
 u ( h )  
u ( G )  
u
(

)

2
u ( h ).u ( ).r ( h ,  )

 h 
  
 h
2
u 2 ( G )  2 sin(  )  u 2 ( h )  2 h cos( )  u 2 ( )  2 ( 2 sin(  ))( 2 h cos( ))u ( h ).u ( ).(  0 ,5 )
2

2
u 2 (G )  4 sin 2 ( ) . u 2 ( h )  h 2 cos 2 ( ) . u 2 ( )  h sin(  ) cos( ) . u ( h ).u ( )

Bibliografia
Albertazzi, A., Souza, A. R. “FUNDAMENTOS METROLOGIA CIENTIFICA E
INDUSTRIAL”. 407p., Editora Manole, 2008.
Guia para Expressão da Incerteza de Medição (Guide to the Expression of
Uncertainty in Measurement - ISO GUM) – Inmetro, 2003
SI - SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES
http://www.inmetro.gov.br/infotec/publicacoes/Si.pdf
VIM 2008 - VOCABULÁRIO INTERNACIONAL DE METROLOGIA
http://www.inmetro.gov.br/infotec/publicacoes/VIM_2310.pdf