Transcript Exemplo 1 - IME-USP

Aula 11. Variáveis Aleatórias
Contínuas Bidimensionais
Resumo de caso unidimensional
Caso Discreto
𝑝1
𝑝2
𝑥1
Caso Contínuo
𝑓(𝑥)
𝑝3
𝑥2
𝑥3
+∞
𝑝𝑖 = 1
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1
−∞
𝑖
𝑿
𝑷
𝑥1
𝑝1
𝑥2
𝑝2
𝑥3
𝑝3
Caso bidimensional
Caso Discreto
𝑦1
𝑦2
𝑥1
𝑝11
Caso Contínuo
𝑝12 𝑝22
𝑝32
𝑝21
𝑝31
𝑥2
𝑥3
𝑝𝑖𝑗 = 1
𝑖,𝑗
𝑋\𝑌
𝑦1
𝑦2
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑝11
𝑝21
𝑝31
𝑝12
𝑝22
𝑝32
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 1
Exemplo 1: Um banco resolveu apostar num serviço “Van Gogh”, além
do atendimento convencional. Em um dia seja 𝑋 a proporção de tempo
do serviço “Van Gogh”, e 𝑌 de caixa convencional. Assim, 𝑋 ∈ (0,1) e
𝑌 ∈ (0,1). Sabe-se que a distribuição conjunta de 𝑋, 𝑌 é
6
2 , se 𝑥 ∈ 0,1 , 𝑦 ∈ 0,1
𝑥
+
𝑦
𝑓 𝑥, 𝑦 = 5
0
caso contrario
Verificamos de o volume debaixo desse superfície é igual 1:
11
11
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 =
00
6
=
5
00
1
6
𝑥 + 𝑦 2 𝑑𝑥𝑑𝑦
5
1
𝑥 + 𝑦 2 𝑑𝑥 𝑑𝑦
0
0
6
5
1
1
𝑥
0
6
=
5
0
1
0
+ 𝑦2
6
𝑑𝑥 𝑑𝑦 =
5
1
6
2
+ 𝑦 𝑑𝑦 =
2
5
6 1 1
5
=
+
= =1
5 2 3
5
1
0
1
1
1
𝑦 2 𝑑𝑥 𝑑𝑦 =
𝑥𝑑𝑥 +
0
0
1
𝑑𝑦 +
2
0
1
6 1
𝑦 𝑑𝑦 =
+
5 2 3
2
0
𝑦3
1
=
0
Calculo de probabilidade
Caso unidimensional:
𝑏
𝑃 𝑎≤𝑋≤𝑏 =
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑃 𝑋∈𝐴 =
𝑎
Caso bidimensional:
𝐴
𝑏𝑑
𝑃 𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏; 𝑐 ≤ 𝑌 ≤ 𝑑 =
𝑑
=
𝑏
𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦 𝑑𝑥
𝑎
𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 𝑑𝑦
𝑐
𝑎
𝑑
𝑃 𝑋 ∈ 𝐴; 𝑌 ∈ 𝐵 =
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦
𝐴𝐵
𝑑
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 =
𝑎𝑐
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑐
𝑎
𝑏
𝑐
Exemplo 1: Um banco resolveu apostar num serviço “Van Gogh”, além
do atendimento convencional. Em um dia seja 𝑋 a proporção de tempo
do serviço “Van Gogh”, e 𝑌 de caixa convencional. Assim, 𝑋 ∈ (0,1) e
𝑌 ∈ (0,1). Sabe-se que a distribuição conjunta de 𝑋, 𝑌 é
6
2 , se 𝑥 ∈ 0,1 , 𝑦 ∈ 0,1
𝑥
+
𝑦
𝑓 𝑥, 𝑦 = 5
0
caso contrario
Calcule a probabilidade de nenhum dos serviços estar ocupados em
mais de um quarto de tempo.
1
1
6
𝑃 0 ≤ 𝑋 ≤ ;0 ≤ 𝑌 ≤
=
4
4
5
1/4
𝑥+𝑦
0
2
1/4
𝑥 + 𝑦 2 𝑑𝑦 𝑑𝑥
0
1
3 4
1 𝑦
𝑑𝑦 = 𝑥 ∙ +
4 3
1/4
0
0
1 3
𝑥
𝑥
1
4
= +
= +
4
3
4 192
1
1
6
𝑃 0 ≤ 𝑋 ≤ ;0 ≤ 𝑌 ≤
=
4
4
5
6
=
5
6
=
5
1/4
0
𝑥2
Resposta:
8
𝑥
1
6
+
𝑑𝑥 =
4 192
5
1/4
0
1/4
0
1/4
0
𝑥
1
+
𝑑𝑥 =
4 192
𝑥
𝑑𝑥 +
4
1/4
0
1
𝑑𝑥 =
192
1 1
6 1/16
1 1
7
+
∙
=
+
∙
=
192 4
5
8
192 4
640
1
1
7
𝑃 0 ≤ 𝑋 ≤ ;0 ≤ 𝑌 ≤
=
4
4
640
Distribuições marginais
Caso discreto
𝑚
𝑝21
𝑝22 ...
𝑝2𝑚 𝑝2∙
𝑥2
...
𝑝1𝑚 𝑝1∙
𝑝11 𝑝12
...
𝑦𝑚
...
𝑥1
𝑥𝑛
...
...
𝑦2
...
𝑦1
...
𝑋
𝑌
Caso contínuo
𝑝𝑛1 𝑝𝑛2 ... 𝑝𝑛𝑚 𝑝𝑛∙
𝑝∙1
𝑝∙2
...
𝑝∙𝑚
1
𝑝𝑖∙ =
𝑝𝑖𝑗
𝑓(𝑥,∙) =
𝑗=1
𝑦
+∞
𝑓𝑋 (𝑥) =
𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦
−∞
+∞
𝑓𝑌 (𝑦) =
𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥
−∞
𝑛
𝑝∙𝑗 =
𝑝𝑖𝑗
𝑖=1
𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑓(∙, 𝑦) =
𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑥
Exemplo 1: Um banco resolveu apostar num serviço “Van Gogh”, além
do atendimento convencional. Em um dia seja 𝑋 a proporção de tempo
do serviço “Van Gogh”, e 𝑌 de caixa convencional. Assim, 𝑋 ∈ (0,1) e
𝑌 ∈ (0,1). Sabe-se que a distribuição conjunta de 𝑋, 𝑌 é
6
2 , se 𝑥 ∈ 0,1 , 𝑦 ∈ 0,1
𝑥
+
𝑦
𝑓 𝑥, 𝑦 = 5
0
caso contrario
Calcule a distribuição de proporção do serviço de “Van Gogh”. Calcule
a distribuição de proporção do serviço de caixa convencional.
Distribuição marginal de proporção do serviço de “Van Gogh”:
+∞
𝑓𝑋 𝑥 =
1
𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦 =
−∞
0
6
𝑥 + 𝑦 2 𝑑𝑦 ,
5
𝑥 ∈ 0,1
Distribuição marginal de proporção do serviço de “Van Gogh”:
+∞
𝑓𝑋 𝑥 =
1
𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦 =
−∞
6
=
5
0
1
𝑥+𝑦
0
2
6
𝑑𝑦 =
𝑥+
5
6
1
=
𝑥+
,
5
3
6
𝑥 + 𝑦 2 𝑑𝑦 ,
5
1
𝑥 ∈ [0,1]
𝑦3
6
𝑦 𝑑𝑦 =
𝑥+
5
3
2
0
𝑥 ∈ 0,1
1
=
0
Distribuição marginal de proporção do serviço de caixas
convencionais:
+∞
𝑓𝑌 𝑦 =
1
𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 =
−∞
6
=
5
6
=
5
0
1
𝑥+𝑦
0
𝑥2
2
2
6
𝑑𝑥 =
5
1
+ 𝑦2
0
6
𝑥 + 𝑦 2 𝑑𝑥 ,
5
1
𝑥 𝑑𝑥 + 𝑦 2
0
6 1
=
+ 𝑦2
5 2
=
𝑦 ∈ 0,1
Independência de variáveis aleatórias
Caso discreto
duas variáveis aleatórias
discretas são independentes
se 𝑝𝑖𝑗 = 𝑝𝑖∙ 𝑝∙𝑗
para 𝑖, 𝑗 quaisquer.
Caso contínuo
duas variáveis aleatórias
contínuas são independentes
se 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓𝑋 (𝑥)𝑓𝑌 (𝑦)
para 𝑥, 𝑦 quaisquer.
Independência de variáveis aleatórias
6
Exemplo 1
2 ,
𝑥
+
𝑦
𝑓 𝑥, 𝑦 = 5
0
se 𝑥 ∈ 0,1 , 𝑦 ∈ 0,1
caso contrario
6
1
𝑓𝑋 (𝑥) =
𝑥+
,
5
3
6 1
𝑓𝑌 𝑦 =
+ 𝑦2 ,
5 2
𝑓(𝑥, 𝑦) ≠ 𝑓𝑋 (𝑥)𝑓𝑌 (𝑦)
𝑥 ∈ [0,1]
𝑦 ∈ [0,1]
Exemplo 2: Uma mulher e um homem decidem se encontrar num
lugar. Se cada um deles independentemente um de outro chega no
local em um instante uniformemente distribuído entre 12hs e 13hs
Qual é a probabilidade de que o primeiro a chegar não vai esperar
o outro mais de que 10 min?
Seja 𝑋, 𝑌 tempo de chegada de mulher e de homem respectivamente.
1
A probabilidade de interesse é 𝑃( 𝑋 − 𝑌 < ). 𝑋, 𝑌~𝑈(0,1).
6
𝑃
1
𝑋−𝑌 <
=
6
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 =
𝑥−𝑦 <1/6
=
𝑓𝑋 (𝑥)𝑓𝑌 (𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑥−𝑦 <1/6
=
𝑰(𝑥, 𝑦 ∈ [0,1]) 𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑥−𝑦 <1/6
Exemplo 2
𝑃
1
𝑋−𝑌 <
=
6
𝑰(𝑥, 𝑦 ∈ [0,1]) 𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑥−𝑦 <1/6
𝑦
1
5/6
5
Á𝑟𝑒𝑎 = 1 −
6
2
11
=
36
1/6
𝑥
1/6
1
Exemplo 2
𝑃
1
𝑋−𝑌 <
=
6
𝑰(𝑥, 𝑦 ∈ [0,1]) 𝑑𝑥𝑑𝑦
𝑥−𝑦 <1/6
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑰 𝑥, 𝑦 ∈ 0,1
1, se 𝑥, 𝑦 ∈ 0,1
=
0, caso contrario
1
1
5/6
1/6
1/6
𝑥−𝑦 <1/6
1
11
𝑰(𝑥, 𝑦 ∈ [0,1]) 𝑑𝑥𝑑𝑦 = Á𝑟𝑒𝑎 × Altura =
36
Esperança de 𝑍 = 𝑔(𝑋, 𝑌)
Caso discreto
𝑥𝑛
𝑔(𝑥1 , 𝑦1 )𝑔(𝑥1 , 𝑦2 )
𝑝11 𝑝12
𝑔(𝑥2 , 𝑦1 )𝑔(𝑥2 , 𝑦2 )
𝑝21
𝑝22
𝑔(𝑥𝑛 , 𝑦1 )𝑔(𝑥𝑛 , 𝑦2 )
𝑝𝑛1 𝑝𝑛2
𝐸 𝑍 =
𝑔(𝑥1 , 𝑦𝑚 )
... 𝑝1𝑚
𝑔(𝑥2 , 𝑦𝑚 )
... 𝑝2𝑚
...
...
𝑥2
... 𝑦𝑚
𝑦2
...
𝑥1
𝑦1
...
𝑋
𝑌
Caso contínuo
𝑔(𝑥𝑛 , 𝑦𝑚 )
... 𝑝𝑛𝑚
𝑔 𝑥𝑖 , 𝑦𝑗 𝑝𝑖𝑗
𝑖,𝑗
𝐸 𝑍 =
𝑔 𝑥, 𝑦 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 𝑑𝑦
Covariância e coeficiente de correlação
Covariância entre duas v.a.s cov(𝑋, 𝑌) é, pela definição, a esperança
cov 𝑋, 𝑌 = 𝐸(𝑋 − 𝐸 𝑋 )(𝑌 − 𝐸 𝑌 )
Outra forma alternativa de calcular a covariância cov(𝑋, 𝑌) é
cov 𝑋, 𝑌 = 𝐸 𝑋𝑌 − 𝐸 𝑋 𝐸 𝑌
Caso discreto
𝐸 𝑋𝑌 =
𝑥𝑖 𝑦𝑗 𝑝𝑖𝑗
Caso contínuo
𝐸 𝑋𝑌 =
𝑥𝑦𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 𝑑𝑦
𝑖,𝑗
𝐸 𝑋 =
𝑥𝑖 𝑝𝑖∙
𝐸 𝑋 =
𝑥𝑓𝑋 (𝑥) 𝑑𝑥
𝑦𝑗 𝑝∙𝑗
𝐸 𝑌 =
𝑦𝑓𝑌 (𝑦) 𝑑𝑦
𝑖
𝐸 𝑌 =
𝑗
Covariância e coeficiente de correlação
Se duas variáveis 𝑋 e 𝑌 são independentes, então cov 𝑋, 𝑌 = 0.
Para ver isso basta observar que neste caso 𝐸 𝑋𝑌 = 𝐸 𝑋 𝐸(𝑌):
𝐸 𝑋𝑌 =
𝑥𝑦𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 =
=
𝑥𝑓𝑋 (𝑥) 𝑑𝑥
𝑥𝑦𝑓𝑋 (𝑥)𝑓𝑌 (𝑦) 𝑑𝑥 𝑑𝑦
𝑦𝑓𝑌 (𝑦) 𝑑𝑦 = 𝐸 𝑋 𝐸(𝑌)
então
cov 𝑋, 𝑌 = 𝐸 𝑋𝑌 − 𝐸 𝑋 𝐸 𝑌
=𝐸 𝑋 𝐸 𝑌 −𝐸 𝑋 𝐸 𝑌 =0
Covariância e coeficiente de correlação
Coeficiente de correlação entre duas v.a.s 𝜌(𝑋, 𝑌) é dado pela formula
cov 𝑋, 𝑌
𝜌 𝑋, 𝑌 =
𝑉𝑎𝑟(𝑋) 𝑉𝑎𝑟(𝑌)
1. −1 ≤ 𝜌 𝑋, 𝑌 ≤ 1
2. 𝜌 𝑋, 𝑌 = 1 se e somente se existe 𝑏 > 0 e 𝑎 tais que 𝑌 = 𝑎 + 𝑏𝑋
3. 𝜌 𝑋, 𝑌 = −1 se e somente se existe 𝑏 < 0 e 𝑎 tais que 𝑌 = 𝑎 + 𝑏𝑋
Coeficiente 𝜌 𝑋, 𝑌 as vezes chamam de medida de dependencia
linear.
Exemplo 1
6
2 ,
𝑥
+
𝑦
𝑓 𝑥, 𝑦 = 5
0
se 𝑥 ∈ 0,1 , 𝑦 ∈ 0,1
caso contrario
6
1
𝑓𝑋 (𝑥) =
𝑥+
,
5
3
6 1
𝑓𝑌 𝑦 =
+ 𝑦2 ,
5 2
𝑥 ∈ [0,1]
𝑦 ∈ [0,1]
Achar covariância entre essas duas variáveis
Para isso temos que achar 𝐸(𝑋), 𝐸(𝑌) e 𝐸(𝑋𝑌)
Achamos 𝐸(𝑋):
𝐸 𝑋 =
1
𝑥𝑓𝑋 (𝑥) 𝑑𝑥 =
0
3
6 𝑥
=
5 3
1
0
6
1
6
𝑥 𝑥+
𝑑𝑥 =
5
3
5
2
6 𝑥
+
15 2
1
0
1
𝑥 2 𝑑𝑥
0
6
+
5
1
0
𝑥
𝑑𝑥 =
3
6
6
2 1 3
=
+
= + =
15 30 5 5 5
Achamos 𝐸(𝑌):
1
𝐸 𝑌 =
𝑦𝑓𝑌 (𝑦) 𝑑𝑦 =
0
6
=
10
𝑦2
2
1
0
6
+
5
6 1
6
2
𝑦
+ 𝑦 𝑑𝑦 =
5 2
5
𝑦4
4
1
0
1
0
𝑦
6
𝑑𝑦 +
2
5
6
6
3
3
3
=
+
=
+
=
20 20 10 10 5
1
𝑦 3 𝑑𝑦 =
0
Achamos 𝐸(𝑋𝑌):
11
𝐸 𝑋𝑌 =
6
=
5
6
=
5
1
𝑥𝑦𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 =
00
1
𝑥𝑦 𝑥 + 𝑦
0
1
0
6
=
15
6
𝑑𝑥 𝑑𝑦 =
5
2
0
3
𝑥
𝑦
3
𝑦2
2
1
0
1
0
2
𝑥
3
+𝑦
2
6
+
10
6
𝑥𝑦 𝑥 + 𝑦 2 𝑑𝑥 𝑑𝑦 =
5
𝑦4
4
1
0
1
0
6
𝑑𝑦 =
5
1
1
𝑥 2 𝑦 + 𝑥𝑦 3 𝑑𝑥 𝑑𝑦 =
0
1
0
0
𝑦 𝑦3
+
𝑑𝑦 =
3 2
6 1 6 1 1 3
7
=
∙ +
∙ = +
=
15 2 10 4 5 20 20
7 3 3
cov 𝑋, 𝑌 = 𝐸 𝑋𝑌 − 𝐸 𝑋 𝐸 𝑌 =
− ∙ = −0.01
20 5 5
Achamos coeficiente de correlação 𝜌(𝑋, 𝑌):
1
𝐸
𝑋2
𝑥 2 𝑓𝑋 (𝑥) 𝑑𝑥
=
6
=
5
1
0
6
3
𝑥 𝑑𝑥 +
5
1
0
𝑥2
=
0
6
1
𝑥+
𝑑𝑥 =
5
3
𝑥2
6
6
1
𝑑𝑥 =
+
=
3
20 30 2
𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝐸 𝑋
1
𝐸 𝑌
2
2
=
6
=
5
0
2
𝑦
6
𝑑𝑦 +
2
5
1
− 𝐸 𝑋
2
1
3
= −
2
5
7
=
50
6 1
𝑦
+ 𝑦 2 𝑑𝑦 =
5 2
2
𝑦 𝑓𝑌 (𝑦) 𝑑𝑦 =
1
2
2
0
𝑦 4 𝑑𝑦
0
𝑉𝑎𝑟 𝑌 = 𝐸
1 6
11
= +
=
5 25 25
𝑌2
− 𝐸 𝑌
2
11
3
=
−
25
5
2
2
1
=
=
50 25
Achamos coeficiente de correlação 𝜌(𝑋, 𝑌):
Coeficiente de correlação entre duas v.a.s 𝜌(𝑋, 𝑌) é dado pela formula
cov 𝑋, 𝑌
𝜌 𝑋, 𝑌 =
𝑉𝑎𝑟(𝑋) 𝑉𝑎𝑟(𝑌)
𝜌 𝑋, 𝑌 =
cov 𝑋, 𝑌
𝑉𝑎𝑟(𝑋) 𝑉𝑎𝑟(𝑌)
=
−0.01
0.14 0.04
= −0.134
Densidade condicional
Pela definição a densidade de 𝑋 dado 𝑌 = 𝑦0 é
𝑓(𝑥, 𝑦0 )
𝑓𝑋|𝑌=𝑦0 𝑥 =
𝑓𝑌 (𝑦0 )
Verificamos se isso é realmente uma função da densidade
+∞
+∞
𝑓𝑋|𝑌=𝑦0 𝑥 𝑑𝑥 =
−∞
−∞
𝑓(𝑥, 𝑦0 )
1
𝑑𝑥 =
𝑓𝑌 (𝑦0 )
𝑓𝑌 (𝑦0 )
1
=
𝑓𝑌 (𝑦0 ) = 1.
𝑓𝑌 𝑦0
+∞
𝑓(𝑥, 𝑦0 )𝑑𝑥 =
−∞
Exemplo 1
6
2 ,
𝑥
+
𝑦
𝑓 𝑥, 𝑦 = 5
0
se 𝑥 ∈ 0,1 , 𝑦 ∈ 0,1
caso contrario
6
1
𝑓𝑋 (𝑥) =
𝑥+
,
5
3
6 1
𝑓𝑌 𝑦 =
+ 𝑦2 ,
5 2
𝑥 ∈ [0,1]
𝑦 ∈ [0,1]
Achar densidade de 𝑋 dado 𝑌 = 0.5
𝑓𝑋|𝑌=0.5
6
𝑓(𝑥, 0.5) 5
𝑥 =
=
6
𝑓𝑌 (0.5)
5
4
1
= 𝑥 + ,𝑥
3
3
1
𝑥+
4 =4 𝑥+1 =
1 1
3
4
+
2 4
∈ [0,1]
Exemplo 3. Distribuição conjunta normal
Definição: Variáveis (𝑋, 𝑌) tem a distribuição bi-dimensional normal se a
sua densidade conjunta for dada por
𝑓 𝑥, 𝑦 =
1
× exp −
2(1 − 𝜚 2 )
1
𝜚2
×
2𝜋𝜎𝑥 𝜎𝑦 1 −
2
2
𝑦 − 𝜇𝑦
𝑦 − 𝜇𝑦 𝑥 − 𝜇𝑥
𝑥 − 𝜇𝑥
+
− 2𝜌
𝜎𝑥
𝜎𝑦
𝜎𝑥 𝜎𝑦
𝑥, 𝑦 ∈ (−∞, +∞)
Distribuições marginais: 𝑋~𝑁 𝜇𝑥 , 𝜎𝑥2 , 𝑌~𝑁 𝜇𝑦 , 𝜎𝑦2
Coeficiente de correlação: 𝜌 𝑋, 𝑌 = 𝜌
Exemplo 3. Distribuição conjunta normal
𝜇𝑥 = 𝜇𝑦 = 0, 𝜎𝑥2 = 𝜎𝑦2 = 1, 𝜌 = 0
independência
Exemplo 3. Distribuição conjunta normal
𝜇𝑥 = 𝜇𝑦 = 0, 𝜎𝑥2 = 𝜎𝑦2 = 1, 𝜌 = 0.7
dependência positiva
Exemplo 3. Distribuição conjunta normal
𝜇𝑥 = 𝜇𝑦 = 0, 𝜎𝑥2 = 𝜎𝑦2 = 1, 𝜌 = −0.7
dependência negativa
Exemplo 3. Distribuição conjunta normal
As distribuições conjuntas são normais, com densidades
𝜎𝑦
𝑓𝑌|𝑋 𝑥 𝑦 ~𝑁 𝜇𝑦 + 𝜌
𝑥 − 𝜇𝑥 ; 𝜎𝑦2 1 − 𝜌2
𝜎𝑥
𝜎𝑥
𝑓𝑋|𝑌 (𝑦|𝑥)~𝑁 𝜇𝑥 + 𝜌
𝑦 − 𝜇𝑦 ; 𝜎𝑥2 (1 − 𝜌2 )
𝜎𝑦