Transcript 2. La restricción presupuestaria

UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID
MÁSTER EN CIENCIAS ACTUARIALES Y FINANCIERAS
Microeconomía
Tema 1 (Parte 2): Las preferencias y la utilidad
Prof. Juan Gabriel Rodríguez
UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID
“Sin haber conocido la miseria es imposible
valorar el lujo”
Charles Chaplin
Índice
1.
Enfoque ordinal y cardinal.
2.
Axiomas de la elección racional: supuestos sobre las
preferencias.
3.
Las curvas de indiferencia. Propiedades.
4.
La función de utilidad.
5.
La Relación Marginal de Substitución.
Dos enfoques de la utilidad
1. Enfoque cardinal: marginalistas.
La utilidad es medible y comparable cardinalmente: la
utilidad transmite información cuantitativa
Si U(x) = 2U(x'), x es preferido el doble que x'
2. Enfoque ordinal moderno: Hicks
La utilidad es medible pero comparable ordinalmente: la
utilidad sólo transmite información cualitativa.
Si U(x) > U(x') sólo quiere decir que x es preferido a x',
pero no dice nada sobre cuánto más preferido
Es un enfoque más general (no tan restrictivo)
Ejemplos
La distancia
El peso
La temperatura
Km 1,692
M 1
•cardinal
•Cardinal
•ordinal
3,384
oF
50
100
2
oC
10
37,8
Es importante en nuestro caso, pues queremos
un modelo donde la utilidad optimizada sea
ordinal y el resultado de la elección no dependa
de la escala de medida
Enfoque ordinal
Establecemos un orden de preferencias que nos clasifique de
mejor a peor las cestas de consumo (que no dependa de
la escala de medida). Enfoques:
(1) Enfoque axiomático:
Partimos de unos axiomas y el orden de preferencias se
establece mediante un mapa de curvas de indiferencia
(Hicks, 1939).
(2) Enfoque de la preferencia revelada:
Sólo podemos tener en cuenta situaciones observadas para
establecer el orden de preferencias (Samuelson, 1947).
La relación (débil) de preferencias
La relación de preferencia débil
básica:

Nótese que
x x'

no es x  x'
“ La cesta x es al menos
tan preferida como la cesta x'
... ”
Podemos derivar a partir de la
anterior la relación de indiferencia:
“ x x' ” y “ x‘ x”
x ~ x'
…y la relación de preferencia
estricta…

x x'
“ x x' ” y no “ x‘ x”
Axiomas (enfoque axiomático)

Completitud
“ Para todo x, x'  Rn+ , bien x
x‘
x' , ó
x , ó los dos son verdad (en cuyo caso

Transitividad

Continuidad

Monotonicidad

(Estricta) Cuasi-concavidad

Diferenciabilidad
son indiferentes). ”
Completitud
bien...
ó...
...ó ambos (para todas las cestas)
Completitud
La idea que transmite es que no se admite la
“no comparabilidad”. Ej. películas

Gráficamente, no hay “huecos” en el orden de
preferencias

Axiomas

Completitud
“ Para todo x, x', x' '  Rn+, si x‘

Transitividad

Continuidad

Monotonicidad

(Estricta) Cuasi-concavidad

Diferenciabilidad
x' '
x' , entonces x' '
x”
x y
Transitividad
si
y
entonces
...
Transitividad
La idea que transmite es una cierta consistencia
en las preferencias y evitar circularidades
perversas

Junto con la completitud, son la base de la
racionalidad del consumidor

Axiomas

Completitud

Transitividad
“La conducta de los consumidores
no experimenta saltos”

Continuidad

Monotonicidad

(Estricta) Cuasi-concavidad

Diferenciabilidad
Las curvas de indiferencia
El conjunto I(x) ={x'  X, si x ~ x' } se denomina conjunto
o curva de indiferencia .

De los axiomas (1) a (3) se puede crear un mapa de
curvas de indiferencias tal que:
Por todo punto pasa una curva de indiferencia que de
ser una función es contínua
Continuidad
 Dada una cesta de
x2
consumo A.
La curva de indiferencia
es contínua.

A
x1
axiomas 1 a 3 son cruciales ...
completitud
transitividad
continuidad
La función
de utilidad
La función de utilidad representa el
orden de preferencias
x x'
U(x)  U(x')
Una función de utilidad
u
U(x1,x2)
Curva de
indiferencia
0
x2
Otra función de utilidad que
representa las mismas preferencias
u
U*(x1,x2)
La misma
curva de
indiferencia
0
x2
Las curvas de indiferencia
x2
U(x)
A
200
C
150
100
B
x1
Claves de las funciones de utilidad

Son contínuas

Representan órdenes de preferencias

Por lo tanto, la escala no importa
Asi, si transformamos la función de utilidad
utilizando cualquier forma monotóna...el orden de
preferencias no varía

Irrelevancia de la cardinalización


U(x1, x2,..., xn)
5+log( U(x1, x2,..., xn) )
exp(U(x1, x2,..., xn) )

( U(x1, x2,..., xn) )


a+f ( U(x1, x2,..., xn) )
(f es cualquier función creciente y
a es cualquier número real)
 Dada cualquier
función de utilidad...
 Esta transformación
representa las mismas
preferencias...
 …y éstas también
 y, en general, éstas...
Axiomas

Completitud

Transitividad

Continuidad

Monotonicidad (fuerte)

Convexidad

Diferenciabilidad
“Para todo x  x'  X, si  i, xi  x’i
entonces x
x’ ”
Da una clara
dirección
Monotonicidad...
x2
Dada una cesta de
consumo en X...
Estas cestas son
preferidas
estrictamente a A
A
x1
Monotonicidad...
Impone que xi i sea un bien…
Si imponemos no saciabilidad local:
“Dados x y >0 cualesquiera ,  x’ tal que ||x’-x||  y
x’ x’ ”

Ahora puede haber males aunque no todos pueden serlo.

Las curvas de indiferencia no pueden ser gordas
Axiomas

Completitud

Transitividad

Continuidad

Monotonicidad
“ Para todo x  X, el conjunto preferido

Convexidad débil

Diferenciabilidad
débilmente a x, PD(x) ={x'  X, si x‘
es convexo ”
x}
Convexidad débil...
Dada una cesta de
consumo x.
x2

y
t y + (1-t) z
preferidas
débilmente a x...
El conjunto débilmente
preferido a x es
convexo:

Dados y, z  PD(x) y
t  [0,1], entonces
t y + (1-t) z  PD(x)
x

Admite tramos lineales en
las curvas de indiferencia
z
x1
Axiomas

Completitud

Transitividad

Continuidad

Monotonicidad
“ Para todo x  X, el conjunto preferido

Convexidad estricta

Diferenciabilidad
débilmente a x, PD(x) ={x'  X, si x'
es estrictamente convexo ”
x}
Convexidad estricta...
Dada una cesta de
consumo x.
x2

y
t y + (1-t) z
preferidas
estrictamente a x...

El conjunto débilmente
preferido a x es
estrictamente convexo:
Dados y  z  I(x) y
t  (0,1), entonces
x
t y + (1-t) z

z
x1
x
No admite tramos lineales
en las curvas de
indiferencia
Convexidad estricta
x2
 Dados dos puntos
indiferentes entre sí…
cualquier combinación
lineal entre ellos
(excluidos ellos)…
A

Alcanza un mayor
nivel de utilidad
C
B
Preferencia por la
diversificación
x1
Se excluyen casos como:
x2
A
B
x1
Relación Marginal de Sustitución
 Una medida del grado de sustitubilidad entre bienes nos
la da la Relación Marginal de Sustitución:
La Relación Marginal de Sustitución RMS entre x2 y x1 se define
como el número de unidades que el consumidor está dispuesto
a renunciar de x2 si aumenta el consumo de x1 en una unidad y
permanecer indiferente.
dx
RMS  
dx
2
1
1, 2
1
Umgx

Umgx
U
2
La Relación Marginal de Sustitución
x2
(-) la pendiente de la
C.I. es la Relación
Marginal de Sustitución
entre x2 y x1
Umg (x1)
————
Umg(x2)
x1
.
Convexidad estricta…
x2
La Relación Marginal de
Sustitución entre x2 y x1
es estrictamente
decreciente al aumentar
x1
.
x1
Función de utilidad
De los axiomas (1) a (5) se puede crear un mapa de
curvas de indiferencia con las siguientes propiedades:
Por todo punto pasa una curva de indiferencia
La curva de indiferencia es contínua
La curva de indiferencia no es creciente
No se cortan entre si
Mientras más alejadas del origen, más satisfacción
Son convexas (estrictas, si covexidad estricta)
La convexidad estricta no evita...
x2
RMS no definida
aquí
x1
Axiomas

Completitud

Transitividad

Continuidad

Monotonicidad

Convexidad estricta

Diferenciabilidad
“ La función de utilidad es diferenciable
en todo punto ”
Preferencias y Utilidad
EJERCICIOS:
(1) Dadas la completitud y la transitividad,
demostrad que dos curvas de indiferencia (con
distintos niveles de satisfacción) no se pueden
cortar.
(2) Represéntese el orden de preferencias
lexicográfico (a modo de diccionario) que se
define: Dados x,y  R2
x
x1  y1

y 
ó x1  y1 , x2  y2
¿Podemos representarlo por una función de
utilidad?
.
Preferencias y Utilidad
EJERCICIOS:
(3) a)Dada una función de utilidad U(x), cuáles
son transformaciones monótonas V=2U-13,
V=1/U2 , V=eU , V=U2 si U>0, y V=U2 si U<0?
b)Dada una función de utilidad U(x), la
transformación V=a+bU(x), a<0 y b>0
representa las mismas preferencias?
c)¿Son iguales los órdenes de preferencias dados
por U= x1 x2 y V= Ln x1 + Ln x2? ¿Y los dados por
U= 14x1 + 14x2 y V= (x1 + x2)
.
Preferencias y Utilidad
 (4)Considere los cuatro tipos de preferencias:
U=a log(x1) + (1- a) log(x2)
U= x1 + x2
U=min(x1, x2)
U=lnX1+ x2
donde a es un parámetro positivo.
Represente sus curvas de indiferencias.
¿Cumplen los axiomas (1) a (6)?
.
Preferencias y Utilidad
(5) El orden de preferencias representado por
curvas de indiferencias concéntricas ¿cumple los
axiomas vistos?
.
Una función de utilidad general: CES
Considere las preferencias:

U ( x1 , x2 )  a1 x1  a 2 x2

1

donde  es la elasticidad de sustitución, engloba
tres casos:
=1: bienes sustitutivos
 0: preferencias Cobb-Douglas
 -: bienes complementarios
.
Ejemplos de funciones de utilidad diferentes
A) U (l1 , l2 , K )   (l1 , l2 , K )  v(l2 )
[Becker (1957)]
 K es el factor capital utilizado por la empresa
 l1 and l2 son el número de trabajadores en el grupo 1 y grupo
2, respectivamente
  son los beneficios
 v es la función de aversión al colectivo 2
B)
UA =U(X1,UB)
[Andreoni y Miller (2002)]
.
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MÁSTER EN CIENCIAS ACTUARIALES Y FINANCIERAS
Microeconomía
Tema 1 (Parte 2): Las preferencias y la utilidad
Prof. Juan Gabriel Rodríguez