Transcript Teoria

El conjunto de los
números reales es
Completo
Completitud de los Números Reales
Supremo (Sup) e Ínfimo (Inf)
Caracterización del Sup y del Inf
Los números reales/ Completitud de los números reales
Cota Superior e Inferior
Todos los conjuntos que trataremos en esta
presentación contienen algún elemento.
Definición
Un número M es una cota superior de un conjunto A
si, para todos los elementos a de A, a ≤ M.
Observación
Un conjunto A puede no tener cota superior.
El conjunto A está acotado superiormente si A
tiene una cota superior finita.
Los números reales/ Completitud de los números reales
Cota Superior e Inferior
Definición
Un número m es una cota inferior de un
conjunto A si, para todos los elementos de A,
a ≥ m.
El conjunto A está acotado inferiormente si A
tiene una cota inferior finita.
El conjunto A está acotado si lo está superior e
inferiormente.
Los números reales/ Completitud de los números reales
Cotas de Enteros, Racionales y Reales
Observaciones
1
2
Todo conjunto no vacío de números
reales, con un número finito de
elementos, está acotado. Entre los
elementos de un conjunto finito existe
siempre un elemento mayor y otro
menor que todos los demás.
Todo conjunto no vacío de números
enteros, acotado superiormente, tiene
siempre un elemento superior a los demás
que es también un entero. Éste es la
menor cota de dicho conjunto.
Los números reales/ Completitud de los números reales
Cotas de Enteros, Racionales y Reales
Observaciones
3
Considerar el conjunto de números reales
A = {r | r2 ≤ 2}.
Este conjunto claramente está acotado superior e
inferiormente.
El conjunto de las cotas superiores racionales de los
elementos de A no tiene un elemento inferior a
todos los demás.
Esto es debido al hecho de que
no es racional.
¡Esto significa que el conjunto de los números
racionales no es completo!
Los números reales/ Completitud de los números reales
Supremo
Sea A un conjunto no vacío de números
reales acotado superiormente.
Completitud de los Números Reales
El conjunto A tiene una cota superior menor a
las demás cotas superiores.
Definición
La cota superior más pequeña del conjunto A se
llama el supremo del conjunto A.
Notación sup(A) = el supremo del conjunto A.
Los números reales/ Completitud de los números reales
Supremo
Ejemplo
sup {–1,1,2,5} = 5.
Sea A = { 1 – 2-n | n natural }.
Entonces sup(A) = 1.
Los números reales/ Completitud de los números reales
Ínfimo
Sea A un conjunto no vacío de números reales
acotado inferiormente.
Completitud de los Números Reales
El conjunto A tiene una cota inferior mayor a las
demás cotas inferiores.
Definición
La cota inferior mayor del conjunto A se llama el
ínfimo del conjunto A.
Notación inf(A) = el ínfimo del conjunto A.
Los números reales/ Completitud de los números reales
Ínfimo
Ejemplo
inf {–1,1,2,5} = –1 .
Sea A = { 1 + 2-n | n natural}.
Entonces inf(A) = 1.
Los números reales/ Completitud de los números reales
Caracterización del Supremo
Teorema
s = sup( A ) sí y sólo si:
1. a  A : s  a
2.   0 a  A tal que s  a  
Demostración
Supongamos que s = sup( A ). Como s es una cota
superior del conjunto A, la condición 1 se cumple.
Los números reales/ Completitud de los números reales
Caracterización del Supremo
Teorema s = sup( A ) sí y sólo si:
1.
a  A : s  a
2.
  0 a  A tal que s  a  
Demostración (continuación)
Para comprobar que la condición 2 también se cumple,
supongamos que es falsa. Entonces existe un número
positivo ε tal que no existen elementos a del conjunto
A con |s – a| < ε.
Entonces s – ε es también una cota superior de A.
Esto es imposible, ya que s es la cota superior más
pequeña del conjunto A.
Los números reales/ Completitud de los números reales
Caracterización del Supremo
Teorema
s = sup( A ) sí y sólo si:
1.
a  A : s  a
2.
  0 a  A tal que s  a  
Demostración (continuación)
Supongamos ahora que s cumple las condiciones 1 y 2.
Tenemos que demostrar que s es la cota superior
mínima del conjunto A.
La condición 1 implica que s es una cota superior de
A.
Los números reales/ Completitud de los números reales
Caracterización del Supremo
Teorema
s = sup( A ) sí y sólo si:
1.
a  A : s  a
2.
  0 a  A tal que s  a  
Demostración (continuación)
Para demostrar que s es la cota superior mínima,
suponemos que no lo es.
Entonces existiría una cota superior t de A, t < s.
Por lo tanto s – t > 0. Por tanto s no cumpliría la
condición 2 para ε = s – t.
Los números reales/ Completitud de los números reales
Caracterización del Ínfimo
Teorema
r = Inf( A ) sí y sólo si:
1.
a  A : r  a
2.
  0 a  A tal que r  a  
Los números reales/ Completitud de los números reales
Usando las Caracterizaciones
Definición
Para un conjunto A, A ⊂ R, se define
2A por
2A  2a / a  A
Enunciado
Suponiendo que sup( A ) < ∞,
sup( 2A ) = 2sup( A ).
Los números reales/ Completitud de los números reales
Usando las Caracterizaciones
Enunciado
sup( 2A ) = 2sup( A ).
Demostración usando:
Teorema
s = sup( A ) sí y sólo si:
1.
1.
a  A : s  a
2.
  0 a  A tal que s  a  
Los números reales/ Completitud de los números reales
Usando las Caracterizaciones
Enunciado
sup( 2A ) = 2sup( A ).
Demostración
a  A
a ≤ sup( A ) de donde 2a ≤ 2sup( A )
Por tanto 2 sup( A ) ≥ sup( 2A ).
Los números reales/ Completitud de los números reales
Usando las Caracterizaciones
Enunciado sup( 2A ) = 2sup( A ).
Demostración
Sea ε > 0. Tenemos que demostrar que
a  A
tal que |2sup( A ) – 2a | < ε.
Como ε/2 > 0, a  A tal que
|sup( A ) – a | < ε /2.
Multiplicando por 2 obtenemos |2sup( A ) – 2a | < ε.
Ésto demuestra el enunciado.
Los números reales/ Completitud de los números reales
Cálculo en una variable
Autor: Mika Seppälä
Traducción al español:
Félix Alonso
Gerardo Rodríguez
Agustín de la Villa