Исследование операций

1 лекция в неделю (9-11) 1 практика в 2 недели (4-6)

Лектор – проф. ЕРЗИН Адиль Ильясович

Ком. 223 (Институт математики СО РАН) Тел. 3634-623 E-mail: [email protected]

Лекции http://math.nsc.ru/LBRT/k4/LOR/ Практика http://math.nsc.ru/LBRT/k4/or/ + Семинары – к.ф.-м.н. Тахонов И.И.

Правила игры • 4 (домашние) задачи • письменный экзамен (конец апреля – начало мая) • устный (open book) экзамен (во время сессии) • 3 попытки…

Вид деятельности

Работа на семинаре у доски Активная работа на семинаре Домашние задачи Письменный экзамен 0-5

Количество баллов

1-5 0-10 0-10

Оценка

«отлично» «хорошо» «удовлетворительно»

Необходимые условия

(≥ 25 баллов) & (решены 4 задачи) & (п. экз. ≥ 6 баллов) (≥ 20 баллов) & (решены 4 задачи) Либо ≥ 15 баллов, либо ≥ 11 и ≥ 1 за работу на семинаре

Литература 1. Береснев В.Л., Дементьев В.Т.

Исследование операций. Введение

: Учеб. пособие, Новосибирск: Изд-во НГУ, 1979.

2. Гимади Э.Х., Глебов Н.И.

Экстремальные задачи принятия решений

: Учеб. пособие, Новосибирск: Изд-во НГУ, 1982.

3. Гимади Э.Х., Глебов Н.И.

Дискретные экстремальные задачи принятия решений

: Учеб. пособие, Новосибирск: Изд-во НГУ, 1991.

4. Ерзин А.И. Введение в исследование операций: Учеб. пособие, Новосибирск: Изд-во НГУ, 2006. math.nsc.ru/LBRT/k4/LOR.

5. Гончаров Е.Н., Ерзин А.И., Залюбовский В.В. Исследование операций. Примеры и задачи: Учеб. пособие, Новосибирск: Изд-во НГУ, 2005. math.nsc.ru/LBRT/k4/or.

6. Карманов В.Г.

Математическое программирование

. М.: Физматлит, 2004.

7. Форд Л., Фалкерсон Д.

Потоки в сетях

. М.: Мир, 1966. 8. Wolsey L.A.

Integer Programming

. New York: John Wiley & Sons, Inc, 1998.

Немного истории… 1935 – Великобритания – ПВО 1938 – Operational Research США – Operations Research – дальнейшее развитие…

Задачи ИО:

• целераспределения • быстродействия • упаковки • о рюкзаке…

В рамках ИО рассматриваются задачи:

• ЛП, ЦЛП, СЛП • теории расписаний и сетевого планирования • транспортные задачи и задачи о назначениях • маршрутизации и построения оптимальных структур • теории игр • потоки в сетях • управления запасами • теории массового обслуживания • …

Эйлер: «Все явления в Мире подчинены оптимизации, и нет никаких сомнений, что всё рациональное может быть объяснено оптимизационными методами»

Мат. анализ и экстремальные задачи •

f

(

x

) – гладкая выпуклая/вогнутая 

f

 (

x

)

=

0… •

x



D

 градиентный метод; метод множителей Лагранжа; метод штрафных функций… •

f

(

x

) – линейная и мн. Симплекс метод…

D

задано линейными (не)равенствами… •

f

(

x

) – строго унимодальная ф. одной переменной  дихотомия, метод золотого сечения (метод Фибоначчи)…

Принятие решений Какое решение является наилучшим? Ответ можно искать на основе опыта и здравого смысла

Но:

• решений много… • трудно представить реакцию системы на управление из-за ее сложности Основной способ ИО – это переход от качественной модели к математической  математическое моделирование – основной метод ИО

Будем понимать под ИО науку о математических

моделях и методах принятия оптимальных решений

• • • Мат. моделирование

Математическая модель

 объективная схематизация основных аспектов решаемой задачи, или описание задачи в математических терминах.

Общий вид математической модели:

max ( ),

x D

задача ЛП

:

задача ЦЛП

: или max max 

cx



cx

задача булевого ЛП

: : :

Ax

max  

cx b

, : •

задача смешанного ЛП

:

Ax



b

,

x x x

  

D

},

R n



Z n

 ;  ; 

Ax



b

, или

x



B n

; 

cx



hy

 max;

Ax



By



b

;

x



R n

 ,

y



Z n

 .



max,

x D

Алгоритм Гаусса для решения системы линейных уравнений

The Nine Chapters on the Mathematical Art.

2nd century BC, New York Times of November 7, 1979: “A surprise discovery by an obscure Soviet mathematician has rocked the world of mathematics”. Этот неизвестный математик –

Л.Г. Хачиян

Он модифицировал метод эллипсоидов, который был разработан для нелинейного программирования Н.З. Шором и др., и доказал его полиномиальность. Это была сенсация!

. На практике метод эллипсоидов работал плохо… Karmarkar (1984)

Мат. моделирование Если целевая функция или/и ограничения нелинейные, то такая модель называется

нелинейной

. Оптимизационные задачи, в которых переменные принимают значения из конечного множества, называют

задачами

дискретной (или комбинаторной) оптимизации.

Комбинаторные

постановки задач часто можно записать в виде: min

S



N i

 

S c i

:

S



F

где

c i



R

,

i



N =

{1, …,

n

}.

N

и

F

– заданное множество подмножеств мн.

Булева задача о ранце (ЗР)

Дано:

N A

– множество предметов; – емкость ранца;

c j a j

≥ 0 ценность предмета; ≥ 0 – объем (вес) предмета.

Требуется

выбрать подмножество предметов максимальной ценности, объем которых не превосходит

A

.

Мат. постановка: max

n n



j

 1

c x j j

;

j n

  1

a x j j



A

.

Комбинаторная постановка:

max

S



N

{



j



S c j

:



j



S a j



A

}.

Задача коммивояжёра (КМ)

Дано:

N

– множество городов;

c ij

≥ 0 – расстояние (стоимость переезда).

Требуется

найти гамильтонов цикл min длины.

min

x



B n



n i n n

   1 1

j c ij x ij

.



x ij



1,

i

 

x ij

 1,

j





x ij S

  ,

или 

x ij

 |

S S N S

|

n

1.

Пример КМ 7 1 6 2 4 8 5 9 3

Задача производства и хранения продукции

Дано:

f d t t

≥ 0 – потребности; ≥ 0 – фиксированные затраты;

p t

≥ 0 – стоимость производства единицы продукции;

h t

≥ 0 – стоимость хранения единицы продукции.

Требуется

определить план: потребности удовлетворены, и суммарные затраты, связанные с производством и хранением, min

Переменные:

x t s t

– объем продукции, выпущенной в течение дня – количество продукции на складе к концу дня

y t

= 1, если в день

t

противном случае.

t t

; ; осуществляется производство и

y t

= 0 в

Задача производства и хранения продукции 

n



min



n

  1 , 

n x t

(



t n

  1

p x t t Cy t

,

t



t n

  1

h s t t



1 , ...,

n

.



t n

  1

s t

 1



x t



d t



s t

,

t

 1 , ...,

n

.

f y t t

).

s

0 

0 ,

s t

,

x t



0 ,

y t



{ 0 , 1 },

t



1 , ...,

n

.

Если доп. потребовать, что

s n =

0, то и справедливо равенство

x t



y t i n

 

t d i

,

t

 1 , ...,

n

.

s t



i t

  1 (

x i



d i

) .

Тогда пер.

s t

можно исключить