Transcript Слайды - Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН
Исследование операций
1 лекция в неделю (9-11) 1 практика в 2 недели (4-6)
Лектор – проф. ЕРЗИН Адиль Ильясович
Ком. 223 (Институт математики СО РАН) Тел. 3634-623 E-mail: [email protected]
Лекции http://math.nsc.ru/LBRT/k4/LOR/ Практика http://math.nsc.ru/LBRT/k4/or/ + Семинары – к.ф.-м.н. Тахонов И.И.
Правила игры • 4 (домашние) задачи • письменный экзамен (конец апреля – начало мая) • устный (open book) экзамен (во время сессии) • 3 попытки…
Вид деятельности
Работа на семинаре у доски Активная работа на семинаре Домашние задачи Письменный экзамен 0-5
Количество баллов
1-5 0-10 0-10
Оценка
«отлично» «хорошо» «удовлетворительно»
Необходимые условия
(≥ 25 баллов) & (решены 4 задачи) & (п. экз. ≥ 6 баллов) (≥ 20 баллов) & (решены 4 задачи) Либо ≥ 15 баллов, либо ≥ 11 и ≥ 1 за работу на семинаре
Литература 1. Береснев В.Л., Дементьев В.Т.
Исследование операций. Введение
: Учеб. пособие, Новосибирск: Изд-во НГУ, 1979.
2. Гимади Э.Х., Глебов Н.И.
Экстремальные задачи принятия решений
: Учеб. пособие, Новосибирск: Изд-во НГУ, 1982.
3. Гимади Э.Х., Глебов Н.И.
Дискретные экстремальные задачи принятия решений
: Учеб. пособие, Новосибирск: Изд-во НГУ, 1991.
4. Ерзин А.И. Введение в исследование операций: Учеб. пособие, Новосибирск: Изд-во НГУ, 2006. math.nsc.ru/LBRT/k4/LOR.
5. Гончаров Е.Н., Ерзин А.И., Залюбовский В.В. Исследование операций. Примеры и задачи: Учеб. пособие, Новосибирск: Изд-во НГУ, 2005. math.nsc.ru/LBRT/k4/or.
6. Карманов В.Г.
Математическое программирование
. М.: Физматлит, 2004.
7. Форд Л., Фалкерсон Д.
Потоки в сетях
. М.: Мир, 1966. 8. Wolsey L.A.
Integer Programming
. New York: John Wiley & Sons, Inc, 1998.
Немного истории… 1935 – Великобритания – ПВО 1938 – Operational Research США – Operations Research – дальнейшее развитие…
Задачи ИО:
• целераспределения • быстродействия • упаковки • о рюкзаке…
В рамках ИО рассматриваются задачи:
• ЛП, ЦЛП, СЛП • теории расписаний и сетевого планирования • транспортные задачи и задачи о назначениях • маршрутизации и построения оптимальных структур • теории игр • потоки в сетях • управления запасами • теории массового обслуживания • …
Эйлер: «Все явления в Мире подчинены оптимизации, и нет никаких сомнений, что всё рациональное может быть объяснено оптимизационными методами»
Мат. анализ и экстремальные задачи •
f
(
x
) – гладкая выпуклая/вогнутая
f
(
x
)
=
0… •
x
D
градиентный метод; метод множителей Лагранжа; метод штрафных функций… •
f
(
x
) – линейная и мн. Симплекс метод…
D
задано линейными (не)равенствами… •
f
(
x
) – строго унимодальная ф. одной переменной дихотомия, метод золотого сечения (метод Фибоначчи)…
Принятие решений Какое решение является наилучшим? Ответ можно искать на основе опыта и здравого смысла
Но:
• решений много… • трудно представить реакцию системы на управление из-за ее сложности Основной способ ИО – это переход от качественной модели к математической математическое моделирование – основной метод ИО
Будем понимать под ИО науку о математических
моделях и методах принятия оптимальных решений
• • • Мат. моделирование
Математическая модель
объективная схематизация основных аспектов решаемой задачи, или описание задачи в математических терминах.
Общий вид математической модели:
max ( ),
x D
задача ЛП
:
задача ЦЛП
: или max max
cx
cx
задача булевого ЛП
: : :
Ax
max
cx b
, : •
задача смешанного ЛП
:
Ax
b
,
x x x
D
},
R n
Z n
; ;
Ax
b
, или
x
B n
;
cx
hy
max;
Ax
By
b
;
x
R n
,
y
Z n
.
max,
x D
Алгоритм Гаусса для решения системы линейных уравнений
The Nine Chapters on the Mathematical Art.
2nd century BC, New York Times of November 7, 1979: “A surprise discovery by an obscure Soviet mathematician has rocked the world of mathematics”. Этот неизвестный математик –
Л.Г. Хачиян
Он модифицировал метод эллипсоидов, который был разработан для нелинейного программирования Н.З. Шором и др., и доказал его полиномиальность. Это была сенсация!
. На практике метод эллипсоидов работал плохо… Karmarkar (1984)
Мат. моделирование Если целевая функция или/и ограничения нелинейные, то такая модель называется
нелинейной
. Оптимизационные задачи, в которых переменные принимают значения из конечного множества, называют
задачами
дискретной (или комбинаторной) оптимизации.
Комбинаторные
постановки задач часто можно записать в виде: min
S
N i
S c i
:
S
F
где
c i
R
,
i
N =
{1, …,
n
}.
N
и
F
– заданное множество подмножеств мн.
Булева задача о ранце (ЗР)
Дано:
N A
– множество предметов; – емкость ранца;
c j a j
≥ 0 ценность предмета; ≥ 0 – объем (вес) предмета.
Требуется
выбрать подмножество предметов максимальной ценности, объем которых не превосходит
A
.
Мат. постановка: max
n n
j
1
c x j j
;
j n
1
a x j j
A
.
Комбинаторная постановка:
max
S
N
{
j
S c j
:
j
S a j
A
}.
Задача коммивояжёра (КМ)
Дано:
N
– множество городов;
c ij
≥ 0 – расстояние (стоимость переезда).
Требуется
найти гамильтонов цикл min длины.
min
x
B n
n i n n
1 1
j c ij x ij
.
x ij
1,
i
x ij
1,
j
x ij S
,
или
x ij
|
S S N S
|
n
1.
Пример КМ 7 1 6 2 4 8 5 9 3
Задача производства и хранения продукции
Дано:
f d t t
≥ 0 – потребности; ≥ 0 – фиксированные затраты;
p t
≥ 0 – стоимость производства единицы продукции;
h t
≥ 0 – стоимость хранения единицы продукции.
Требуется
определить план: потребности удовлетворены, и суммарные затраты, связанные с производством и хранением, min
Переменные:
x t s t
– объем продукции, выпущенной в течение дня – количество продукции на складе к концу дня
y t
= 1, если в день
t
противном случае.
t t
; ; осуществляется производство и
y t
= 0 в
Задача производства и хранения продукции
n
min
n
1 ,
n x t
(
t n
1
p x t t Cy t
,
t
t n
1
h s t t
1 , ...,
n
.
t n
1
s t
1
x t
d t
s t
,
t
1 , ...,
n
.
f y t t
).
s
0
0 ,
s t
,
x t
0 ,
y t
{ 0 , 1 },
t
1 , ...,
n
.
Если доп. потребовать, что
s n =
0, то и справедливо равенство
x t
y t i n
t d i
,
t
1 , ...,
n
.
s t
i t
1 (
x i
d i
) .
Тогда пер.
s t
можно исключить