Geometri: Areal - Gentofte Ungdomsskole 10.A 2012-13

Transcript Geometri: Areal - Gentofte Ungdomsskole 10.A 2012-13

Geometri: Areal

Fladefigurer og deres arealer Sammensatte fladefigurer Specielle fladefigurer Fladefigurer i koordinatsystemet

Figurer og deres arealer

Der er kun to forskellige ”enkle” fladefigurer: cirkler og n-kanter (polygoner): trekanter, firkanter, femkanter, sekskanter, osv.

Man kan finde både omkreds og areal af fladefigurer.

Sammensatte fladefigurer består af flere enkle figurer, der er sat sammen, f.eks. en halv cirkel sat sammen med et kvadrat, en trekant eller lign.

Cirklen

Arealet af en cirkel: A =  ·r 2 , hvor r er cirklens radius.

Cirklen

Arealet af en cirkel: A =  ·r 2 , hvor r er cirklens radius.

Omkredsen af en cirkel: O = 2·  ·r (læses og huskes som “2, pi, r” = “2 piger”) r

Cirklen

Arealet af en cirkel: A =  ·r 2 , hvor r er cirklens radius.

Omkredsen af en cirkel: O = 2·  ·r (læses og huskes som “2, pi, r” = “2 piger”) Omkredsen kan også findes som: O =  ·d , hvor d er cirklens diameter d

Firkanter

En firkant har 4 sider og dermed også 4 vinkler mellem siderne… Firkanten kan være

konveks

(ingen vinkler over 180 o – som den sorte firkant til højre)

Firkanter

En firkant har 4 sider og dermed også 4 vinkler mellem siderne… Firkanten kan være

konveks

(ingen vinkler over 180 o – som den sorte firkant til højre) … eller

konkav

større end 180 o røde firkant) (én vinkel – som den

Firkanter

Der er 5 specielle former for firkanter: 1.

Trapez

- har 2 sider, der er parallelle

Firkanter

Der er 5 specielle former for firkanter: 1.

Trapez

- har 2 sider, der er parallelle

Firkanter

Der er 5 specielle former for firkanter: 1. 2.

Trapez

- har 2 sider, der er parallelle

Parallelogram

- har 2 par parallelle sider

Firkanter

Der er 5 specielle former for firkanter: 1. 2.

Trapez

- har 2 sider, der er parallelle

Parallelogram

- har 2 par parallelle sider

Firkanter

Der er 5 specielle former for firkanter: 1. 2. 3a.

Trapez

- har 2 sider, der er parallelle

Parallelogram

- har 2 par parallelle sider

Rektangel

- har 4 rette vinkler

Firkanter

Der er 5 specielle former for firkanter: 1. 2. 3a.

Trapez

- har 2 sider, der er parallelle

Parallelogram

- har 2 par parallelle sider

Rektangel

- har 4 rette vinkler

Firkanter

Der er 5 specielle former for firkanter: 1. 2.

Trapez

- har 2 sider, der er parallelle

Parallelogram

- har 2 par parallelle sider 3a. 3b.

Rektangel

- har 4 rette vinkler

Rombe

- har 4 lige lange sider

Firkanter

Der er 5 specielle former for firkanter: 1. 2.

Trapez

- har 2 sider, der er parallelle

Parallelogram

- har 2 par parallelle sider 3a. 3b.

Rektangel

- har 4 rette vinkler

Rombe

- har 4 lige lange sider

Firkanter

Der er 5 specielle former for firkanter: 1. 2. 4.

Trapez

- har 2 sider, der er parallelle

Parallelogram

- har 2 par parallelle sider 3a. 3b.

Rektangel

- har 4 rette vinkler

Rombe

- har 4 lige lange sider

Kvadrat

- har 4 rette vinkler og 4 lige lange sider

Firkanter

Der er 5 specielle former for firkanter: 1. 2. 4.

Trapez

- har 2 sider, der er parallelle

Parallelogram

- har 2 par parallelle sider 3a. 3b.

Rektangel

- har 4 rette vinkler

Rombe

- har 4 lige lange sider

Kvadrat

- har 4 rette vinkler og 4 lige lange sider

Firkanter

Der er 5 specielle former for firkanter: 1. 2. 4. Trapez - har 2 sider, der er parallelle Parallelogram - har 2 par parallelle sider 3a. 3b. Rektangel - har 4 rette vinkler Rombe - har 4 lige lange sider Kvadrat - har 4 rette vinkler og 4 lige lange sider

2 3a 4 1 3b

Firkanter

Firkanternes arealer:

Kvadrat

Areal: A = s·s = s 2 A = s 2 s s

Firkanter

Firkanternes arealer:

Kvadrat

Areal: A = s 2 Omkreds: O = 4·s O = 4·s s s

Firkanter

Firkanternes arealer:

Rombe

D er den lange diagonal, d den korte diagonal.

er D d

Firkanter

Firkanternes arealer:

Rombe

D er den lange diagonal, d den korte diagonal.

er D d

Firkanter

Firkanternes arealer:

Rombe

D er den lange diagonal, d den korte diagonal.

er D d

Firkanter

Firkanternes arealer:

Rombe

D er den lange diagonal, d den korte diagonal.

er D d

Firkanter

Firkanternes arealer:

Rombe

D er den lange diagonal, d den korte diagonal.

er D d

Firkanter

Firkanternes arealer:

Rombe

D er den lange diagonal, d den korte diagonal.

er Areal: A = D·d 2 D d 2

Firkanter

Firkanternes arealer:

Rombe

D er den lange diagonal, d den korte diagonal.

er Areal: A = D·d 2 D A = D·d 2 d

Firkanter

Firkanternes arealer:

Rektangel

Areal: A = g·h A = g · h g (grundlinie) h (højde)

Firkanter

Firkanternes arealer:

Rektangel

Areal: A = g·h A = g · h g (grundlinie) h (højde) I stedet for begreberne grundlinie og højde bruges ofte begreberne længde og bredde.

Areal = længde · bredde

Firkanter

Firkanternes arealer:

Rektangel

Areal: A = g·h Omkreds: O = g+h+g+h O = 2 · (g + h) O = 2·(g + h) g (grundlinie) h (højde)

Firkanter

Firkanternes arealer:

Parallelogram

h er højden mellem de 2 parallelle sider, g er grundlinien.

h g

Firkanter

Firkanternes arealer:

Parallelogram

h er højden mellem de 2 parallelle sider, g er grundlinien.

Ved at flytte den viste tre kant, får vi et rektangel.

h g

Firkanter

Firkanternes arealer:

Parallelogram

h er højden mellem de 2 parallelle sider, g er grundlinien.

Ved at flytte den viste tre kant, får vi et rektangel.

h g

Firkanter

Firkanternes arealer:

Parallelogram

h er højden mellem de 2 parallelle sider, g er grundlinien.

Ved at flytte den viste tre kant, får vi et rektangel.

Areal: A = g·h h g

Firkanter

Firkanternes arealer:

Parallelogram

h er højden mellem de 2 parallelle sider, g er grundlinien.

Areal: A = g·h h g

Firkanter

Firkanternes arealer:

Trapez

h er højden mellem de 2 parallelle sider, a og b er længderne af de parallelle sider.

a h b

Firkanter

Firkanternes arealer:

Trapez

h er højden mellem de 2 parallelle sider, a og b er længderne af de parallelle sider.

For at finde arealet af trapezet, bruges følgende opskrift: a h b

Firkanter

Firkanternes arealer:

Trapez

h er højden mellem de 2 parallelle sider, a og b er længderne af de parallelle sider.

For at finde arealet af trapezet, bruges følgende opskrift: 1. Tegn linien præcis midt mel lem siderne a og b h a b

Firkanter

Firkanternes arealer:

Trapez

h er højden mellem de 2 parallelle sider, a og b er længderne af de parallelle sider.

For at finde arealet af trapezet, bruges følgende opskrift: 1. Tegn linien præcis midt mel lem siderne a og b Denne linie har længden: g = a+b 2 h a b

Firkanter

Firkanternes arealer:

Trapez

h er højden mellem de 2 parallelle sider, a og b er længderne af de parallelle sider.

For at finde arealet af trapezet, bruges følgende opskrift: 2. Flyt trekanterne som vist: h a b

Firkanter

Firkanternes arealer:

Trapez

h er højden mellem de 2 parallelle sider, a og b er længderne af de parallelle sider.

For at finde arealet af trapezet, bruges følgende opskrift: 2.– og derved dannes igen et rektangel.

Højden: h – og Grundlinien: g = a+b 2 h g = a+b 2

Firkanter

Firkanternes arealer:

Trapez

h er højden mellem de 2 parallelle sider, a og b er længderne af de parallelle sider.

For at finde arealet af trapezet, bruges følgende opskrift: 3. Arealet er igen g·h, altså: A = a+b 2 · h h g = a+b 2

Firkanter

Firkanternes arealer:

Trapez

h er højden mellem de 2 parallelle sider, a og b er længderne af de parallelle sider.

A = a+b 2 · h a h b

Trekanter

Arealet af en trekant: h er højden, g er grundlinien.

h g

Trekanter

Arealet af en trekant: h er højden, g er grundlinien.

En trekant er nøjagtig halvt så stor som det rektangel, der har samme højde og grundlinie:

Trekanter

Arealet af en trekant: h A 1 er højden, = A 2 … g er grundlinien.

En trekant er nøjagtig halvt så stor som det rektangel, der har samme højde og grundlinie:

A 1 A 2

Trekanter

Arealet af en trekant: h A 1 er højden, = A 2 … og g er grundlinien.

En trekant er nøjagtig halvt så stor som det rektangel, der har samme højde og grundlinie:

A 1 A 2

Trekanter

Arealet af en trekant: h A A 1 3 er højden, = A = A 2 4 … og g er grundlinien.

En trekant er nøjagtig halvt så stor som det rektangel, der har samme højde og grundlinie:

A 4 A 3

Trekanter

Arealet af en trekant: h A A 1 3 er højden, = A = A 2 4 … og g er grundlinien.

En trekant er nøjagtig halvt så stor som det rektangel, der har samme højde og grundlinie: Derfor er arealet: A = h·g 2 h g

Trekanter

Arealet af en trekant: h er højden, g er grundlinien.

A = h·g 2 h g

Trekanter

Arealet af en trekant: h er højden, g er grundlinien.

Hvis trekanten er retvinklet, kan den ene katete bruges som højde, mens den anden katete er grundlinie.

A = h·g 2 h g

n-kanter

Arealet af en n-kant (polygon) - kan altid findes ved at dele figuren op i trekanter: F.eks. kan en 6-kant opdeles i 4 trekanter:

n-kanter

Arealet af en n-kant (polygon) - kan altid findes ved at dele figuren op i trekanter: F.eks. kan en 6-kant opdeles i 4 trekanter (og arealet findes som summen af de 4 trekanters arealer):

n-kanter

Arealet af en n-kant (polygon) - kan altid findes ved at dele figuren op i trekanter: … og en 8-kant opdeles i 6 trekanter,

n-kanter

Arealet af en n-kant (polygon) - kan altid findes ved at dele figuren op i trekanter: … og en 8-kant opdeles i 6 trekanter, osv…

Sammensatte figurer

Arealet af sammensat figur findes som summen af de figurer, der indgår!

Der er alle mulige tænkelige eksempler på sammensatte figurer.

På de følgende sider ses 3 eksempler.

Sammensatte figurer

Arealet af sammensat figur findes som summen af de figurer, der indgår: 1) Kvadrat + halv cirkel: s s

Sammensatte figurer

Arealet af sammensat figur findes som summen af de figurer, der indgår: 1) Kvadrat + halv cirkel: Kvadratet: A = s 2 s s

Sammensatte figurer

Arealet af sammensat figur findes som summen af de figurer, der indgår: 1) Kvadrat + halv cirkel: Kvadratet: A = Halv cirkel: A = s 2  ·( ·s) 2 2 s s

Sammensatte figurer

Arealet af sammensat figur findes som summen af de figurer, der indgår: 1) Kvadrat + halv cirkel: Kvadratet: A = Halv cirkel: A = s 2  ·( ·s) 2 2  ·( ·s) 2 2 s s

Sammensatte figurer

Arealet af sammensat figur findes som summen af de figurer, der indgår: 2) En husgavl bestående af 2 trapezer: a c b d

Sammensatte figurer

Arealet af sammensat figur findes som summen af de figurer, der indgår: 2) En husgavl bestående af 2 trapezer: Venstre trapez: A = a+c 2 · d 2 a c d b

Sammensatte figurer

Arealet af sammensat figur findes som summen af de figurer, der indgår: 2) En husgavl bestående af 2 trapezer: Venstre trapez: A = Højre trapez: A = c+b 2 a+c 2 · d 2 · d 2 a c d b

Sammensatte figurer

Arealet af sammensat figur findes som summen af de figurer, der indgår: 2) En husgavl bestående af 2 trapezer: Venstre trapez: A = Højre trapez: A = c+b 2 a+c 2 · d 2 · d 2 c+b 2 · d 2 a c d b

Sammensatte figurer

Arealet af sammensat figur findes som summen af de figurer, der indgår: 3) Rektangel + kvart cirkel: g h

Sammensatte figurer

Arealet af sammensat figur findes som summen af de figurer, der indgår: 3) Rektangel + kvart cirkel: Rektanglet: A = g·h g h

Sammensatte figurer

Arealet af sammensat figur findes som summen af de figurer, der indgår: 3) Rektangel + kvart cirkel: Rektanglet: A = g·h Kvart cirkel: A =  ·g 4 2 h g

Sammensatte figurer

Arealet af sammensat figur findes som summen af de figurer, der indgår: 3) Rektangel + kvart cirkel: Rektanglet: A = g·h Kvart cirkel: A =  ·g 2 4 I alt: A = g·h +  ·g 2 4 g h

Specielle figurer

Specielle figurer, der tager udgangspunkt i en cirkel: Cirkelring: Arealet findes som forskellen mellem de 2 cirklers arealer: A =  ·R 2  · r 2 eller A =  ·(R 2 - r 2 ) R r

Specielle figurer

Specielle figurer, der tager udgangspunkt i en cirkel: Cirkeludsnit: - hvor v er cirkeludsnittets størrelse i grader.

Arealet findes som: A =  ·R 2 · v 360 v R

Specielle figurer

Specielle figurer, der tager udgangspunkt i en cirkel: Ellipse (oval): - hvor a er den halve lilleakse og b den halve storeakse.

Arealet findes som: A =  ·a·b b a

Specielle figurer

Specielle figurer, der tager udgangspunkt i en trekant: Ligesidet trekant: - alle 3 sider lige lange.

Højden kan beregnes ved Pythagoras til: h = √ 2 3 · s A = 1 2 ·h·g = √ 4 3 · s 2 s h s s

Areal i koordinatsystemet

Når man skal udregne arealet af en figur i et koordinatsystem – og gøre det nøjagtigt, skal det gøres på følgende måde: B A C

Areal i koordinatsystemet

A B C

Areal i koordinatsystemet

9 90 cm 2

Areal i koordinatsystemet

Når man skal udregne arealet af en figur i et koordinatsystem – og gøre det nøjagtigt, skal det gøres på følgende måde: 1. Tegn lodrette linier gennem figurens hjørner, så den “pakkes ind i” et rektangel (blåt) 2. Aflæs længde og bredde af rektanglet og find dets areal (90 cm 2 ) 3. Find herefter arealet af hver af de blå trekanter…

6 27 cm 2 9

Areal i koordinatsystemet

27 cm 2 4 14 cm 2 7

Areal i koordinatsystemet

27 cm 2 14 cm 2 10 10 cm 2 2

Areal i koordinatsystemet

27 cm 2 14 cm 2 10 cm 2

Areal i koordinatsystemet

27 cm 2 14 cm 2

90 cm 2 – (27 cm 2 + 14 cm 2 + 10 cm 2 ) =

39 cm 2 10 cm 2

Lidt om tillægsord…

En kvadrat isk figur Har form som et kvadrat

Lidt om tillægsord…

En kvadratisk figur En rektangul ær figur Har form som et kvadrat Har form som et rektangel

Lidt om tillægsord…

En kvadratisk figur En rektangulær figur En triangul ær figur Har form som et kvadrat Har form som et rektangel Har form som en trekant

Lidt om tillægsord…

En kvadratisk figur En rektangulær figur En triangulær figur En cirkul ær figur Har form som et kvadrat Har form som et rektangel Har form som en trekant Har form som en cirkel

Lidt om tillægsord…

En kvadratisk figur En rektangulær figur En triangulær figur En cirkulær figur En ellipt isk figur Har form som et kvadrat Har form som et rektangel Har form som en trekant Har form som en cirkel Har form som en ellipse

Lidt om tillægsord…

En kvadratisk figur En rektangulær figur En triangulær figur En cirkulær figur En elliptisk figur Har form som et kvadrat Har form som et rektangel Har form som en trekant Har form som en cirkel Har form som en ellipse En regulær figur, regulær polygon Har lige lange sider