Transcript Geometri: Areal - Gentofte Ungdomsskole 10.A 2012-13
Geometri: Areal
Fladefigurer og deres arealer Sammensatte fladefigurer Specielle fladefigurer Fladefigurer i koordinatsystemet
Figurer og deres arealer
Der er kun to forskellige ”enkle” fladefigurer: cirkler og n-kanter (polygoner): trekanter, firkanter, femkanter, sekskanter, osv.
Man kan finde både omkreds og areal af fladefigurer.
Sammensatte fladefigurer består af flere enkle figurer, der er sat sammen, f.eks. en halv cirkel sat sammen med et kvadrat, en trekant eller lign.
Cirklen
Arealet af en cirkel: A = ·r 2 , hvor r er cirklens radius.
r
Cirklen
Arealet af en cirkel: A = ·r 2 , hvor r er cirklens radius.
Omkredsen af en cirkel: O = 2· ·r (læses og huskes som “2, pi, r” = “2 piger”) r
Cirklen
Arealet af en cirkel: A = ·r 2 , hvor r er cirklens radius.
Omkredsen af en cirkel: O = 2· ·r (læses og huskes som “2, pi, r” = “2 piger”) Omkredsen kan også findes som: O = ·d , hvor d er cirklens diameter d
Firkanter
En firkant har 4 sider og dermed også 4 vinkler mellem siderne… Firkanten kan være
konveks
(ingen vinkler over 180 o – som den sorte firkant til højre)
Firkanter
En firkant har 4 sider og dermed også 4 vinkler mellem siderne… Firkanten kan være
konveks
(ingen vinkler over 180 o – som den sorte firkant til højre) … eller
konkav
større end 180 o røde firkant) (én vinkel – som den
Firkanter
Der er 5 specielle former for firkanter: 1.
Trapez
- har 2 sider, der er parallelle
Firkanter
Der er 5 specielle former for firkanter: 1.
Trapez
- har 2 sider, der er parallelle
Firkanter
Der er 5 specielle former for firkanter: 1. 2.
Trapez
- har 2 sider, der er parallelle
Parallelogram
- har 2 par parallelle sider
Firkanter
Der er 5 specielle former for firkanter: 1. 2.
Trapez
- har 2 sider, der er parallelle
Parallelogram
- har 2 par parallelle sider
Firkanter
Der er 5 specielle former for firkanter: 1. 2. 3a.
Trapez
- har 2 sider, der er parallelle
Parallelogram
- har 2 par parallelle sider
Rektangel
- har 4 rette vinkler
Firkanter
Der er 5 specielle former for firkanter: 1. 2. 3a.
Trapez
- har 2 sider, der er parallelle
Parallelogram
- har 2 par parallelle sider
Rektangel
- har 4 rette vinkler
Firkanter
Der er 5 specielle former for firkanter: 1. 2.
Trapez
- har 2 sider, der er parallelle
Parallelogram
- har 2 par parallelle sider 3a. 3b.
Rektangel
- har 4 rette vinkler
Rombe
- har 4 lige lange sider
Firkanter
Der er 5 specielle former for firkanter: 1. 2.
Trapez
- har 2 sider, der er parallelle
Parallelogram
- har 2 par parallelle sider 3a. 3b.
Rektangel
- har 4 rette vinkler
Rombe
- har 4 lige lange sider
Firkanter
Der er 5 specielle former for firkanter: 1. 2. 4.
Trapez
- har 2 sider, der er parallelle
Parallelogram
- har 2 par parallelle sider 3a. 3b.
Rektangel
- har 4 rette vinkler
Rombe
- har 4 lige lange sider
Kvadrat
- har 4 rette vinkler og 4 lige lange sider
Firkanter
Der er 5 specielle former for firkanter: 1. 2. 4.
Trapez
- har 2 sider, der er parallelle
Parallelogram
- har 2 par parallelle sider 3a. 3b.
Rektangel
- har 4 rette vinkler
Rombe
- har 4 lige lange sider
Kvadrat
- har 4 rette vinkler og 4 lige lange sider
Firkanter
Der er 5 specielle former for firkanter: 1. 2. 4. Trapez - har 2 sider, der er parallelle Parallelogram - har 2 par parallelle sider 3a. 3b. Rektangel - har 4 rette vinkler Rombe - har 4 lige lange sider Kvadrat - har 4 rette vinkler og 4 lige lange sider
2 3a 4 1 3b
Firkanter
Firkanternes arealer:
Kvadrat
Areal: A = s·s = s 2 A = s 2 s s
Firkanter
Firkanternes arealer:
Kvadrat
Areal: A = s 2 Omkreds: O = 4·s O = 4·s s s
Firkanter
Firkanternes arealer:
Rombe
D er den lange diagonal, d den korte diagonal.
er D d
Firkanter
Firkanternes arealer:
Rombe
D er den lange diagonal, d den korte diagonal.
er D d
Firkanter
Firkanternes arealer:
Rombe
D er den lange diagonal, d den korte diagonal.
er D d
Firkanter
Firkanternes arealer:
Rombe
D er den lange diagonal, d den korte diagonal.
er D d
Firkanter
Firkanternes arealer:
Rombe
D er den lange diagonal, d den korte diagonal.
er D d
Firkanter
Firkanternes arealer:
Rombe
D er den lange diagonal, d den korte diagonal.
er Areal: A = D·d 2 D d 2
Firkanter
Firkanternes arealer:
Rombe
D er den lange diagonal, d den korte diagonal.
er Areal: A = D·d 2 D A = D·d 2 d
Firkanter
Firkanternes arealer:
Rektangel
Areal: A = g·h A = g · h g (grundlinie) h (højde)
Firkanter
Firkanternes arealer:
Rektangel
Areal: A = g·h A = g · h g (grundlinie) h (højde) I stedet for begreberne grundlinie og højde bruges ofte begreberne længde og bredde.
Areal = længde · bredde
Firkanter
Firkanternes arealer:
Rektangel
Areal: A = g·h Omkreds: O = g+h+g+h O = 2 · (g + h) O = 2·(g + h) g (grundlinie) h (højde)
Firkanter
Firkanternes arealer:
Parallelogram
h er højden mellem de 2 parallelle sider, g er grundlinien.
h g
Firkanter
Firkanternes arealer:
Parallelogram
h er højden mellem de 2 parallelle sider, g er grundlinien.
Ved at flytte den viste tre kant, får vi et rektangel.
h g
Firkanter
Firkanternes arealer:
Parallelogram
h er højden mellem de 2 parallelle sider, g er grundlinien.
Ved at flytte den viste tre kant, får vi et rektangel.
h g
Firkanter
Firkanternes arealer:
Parallelogram
h er højden mellem de 2 parallelle sider, g er grundlinien.
Ved at flytte den viste tre kant, får vi et rektangel.
Areal: A = g·h h g
Firkanter
Firkanternes arealer:
Parallelogram
h er højden mellem de 2 parallelle sider, g er grundlinien.
Areal: A = g·h h g
Firkanter
Firkanternes arealer:
Trapez
h er højden mellem de 2 parallelle sider, a og b er længderne af de parallelle sider.
a h b
Firkanter
Firkanternes arealer:
Trapez
h er højden mellem de 2 parallelle sider, a og b er længderne af de parallelle sider.
For at finde arealet af trapezet, bruges følgende opskrift: a h b
Firkanter
Firkanternes arealer:
Trapez
h er højden mellem de 2 parallelle sider, a og b er længderne af de parallelle sider.
For at finde arealet af trapezet, bruges følgende opskrift: 1. Tegn linien præcis midt mel lem siderne a og b h a b
Firkanter
Firkanternes arealer:
Trapez
h er højden mellem de 2 parallelle sider, a og b er længderne af de parallelle sider.
For at finde arealet af trapezet, bruges følgende opskrift: 1. Tegn linien præcis midt mel lem siderne a og b Denne linie har længden: g = a+b 2 h a b
Firkanter
Firkanternes arealer:
Trapez
h er højden mellem de 2 parallelle sider, a og b er længderne af de parallelle sider.
For at finde arealet af trapezet, bruges følgende opskrift: 2. Flyt trekanterne som vist: h a b
Firkanter
Firkanternes arealer:
Trapez
h er højden mellem de 2 parallelle sider, a og b er længderne af de parallelle sider.
For at finde arealet af trapezet, bruges følgende opskrift: 2.– og derved dannes igen et rektangel.
Højden: h – og Grundlinien: g = a+b 2 h g = a+b 2
Firkanter
Firkanternes arealer:
Trapez
h er højden mellem de 2 parallelle sider, a og b er længderne af de parallelle sider.
For at finde arealet af trapezet, bruges følgende opskrift: 3. Arealet er igen g·h, altså: A = a+b 2 · h h g = a+b 2
Firkanter
Firkanternes arealer:
Trapez
h er højden mellem de 2 parallelle sider, a og b er længderne af de parallelle sider.
A = a+b 2 · h a h b
Trekanter
Arealet af en trekant: h er højden, g er grundlinien.
h g
Trekanter
Arealet af en trekant: h er højden, g er grundlinien.
En trekant er nøjagtig halvt så stor som det rektangel, der har samme højde og grundlinie:
Trekanter
Arealet af en trekant: h A 1 er højden, = A 2 … g er grundlinien.
En trekant er nøjagtig halvt så stor som det rektangel, der har samme højde og grundlinie:
A 1 A 2
Trekanter
Arealet af en trekant: h A 1 er højden, = A 2 … og g er grundlinien.
En trekant er nøjagtig halvt så stor som det rektangel, der har samme højde og grundlinie:
A 1 A 2
Trekanter
Arealet af en trekant: h A A 1 3 er højden, = A = A 2 4 … og g er grundlinien.
En trekant er nøjagtig halvt så stor som det rektangel, der har samme højde og grundlinie:
A 4 A 3
Trekanter
Arealet af en trekant: h A A 1 3 er højden, = A = A 2 4 … og g er grundlinien.
En trekant er nøjagtig halvt så stor som det rektangel, der har samme højde og grundlinie: Derfor er arealet: A = h·g 2 h g
Trekanter
Arealet af en trekant: h er højden, g er grundlinien.
A = h·g 2 h g
Trekanter
Arealet af en trekant: h er højden, g er grundlinien.
Hvis trekanten er retvinklet, kan den ene katete bruges som højde, mens den anden katete er grundlinie.
A = h·g 2 h g
n-kanter
Arealet af en n-kant (polygon) - kan altid findes ved at dele figuren op i trekanter: F.eks. kan en 6-kant opdeles i 4 trekanter:
n-kanter
Arealet af en n-kant (polygon) - kan altid findes ved at dele figuren op i trekanter: F.eks. kan en 6-kant opdeles i 4 trekanter (og arealet findes som summen af de 4 trekanters arealer):
n-kanter
Arealet af en n-kant (polygon) - kan altid findes ved at dele figuren op i trekanter: … og en 8-kant opdeles i 6 trekanter,
n-kanter
Arealet af en n-kant (polygon) - kan altid findes ved at dele figuren op i trekanter: … og en 8-kant opdeles i 6 trekanter, osv…
Sammensatte figurer
Arealet af sammensat figur findes som summen af de figurer, der indgår!
Der er alle mulige tænkelige eksempler på sammensatte figurer.
På de følgende sider ses 3 eksempler.
Sammensatte figurer
Arealet af sammensat figur findes som summen af de figurer, der indgår: 1) Kvadrat + halv cirkel: s s
Sammensatte figurer
Arealet af sammensat figur findes som summen af de figurer, der indgår: 1) Kvadrat + halv cirkel: Kvadratet: A = s 2 s s
Sammensatte figurer
Arealet af sammensat figur findes som summen af de figurer, der indgår: 1) Kvadrat + halv cirkel: Kvadratet: A = Halv cirkel: A = s 2 ·( ·s) 2 2 s s
Sammensatte figurer
Arealet af sammensat figur findes som summen af de figurer, der indgår: 1) Kvadrat + halv cirkel: Kvadratet: A = Halv cirkel: A = s 2 ·( ·s) 2 2 ·( ·s) 2 2 s s
Sammensatte figurer
Arealet af sammensat figur findes som summen af de figurer, der indgår: 2) En husgavl bestående af 2 trapezer: a c b d
Sammensatte figurer
Arealet af sammensat figur findes som summen af de figurer, der indgår: 2) En husgavl bestående af 2 trapezer: Venstre trapez: A = a+c 2 · d 2 a c d b
Sammensatte figurer
Arealet af sammensat figur findes som summen af de figurer, der indgår: 2) En husgavl bestående af 2 trapezer: Venstre trapez: A = Højre trapez: A = c+b 2 a+c 2 · d 2 · d 2 a c d b
Sammensatte figurer
Arealet af sammensat figur findes som summen af de figurer, der indgår: 2) En husgavl bestående af 2 trapezer: Venstre trapez: A = Højre trapez: A = c+b 2 a+c 2 · d 2 · d 2 c+b 2 · d 2 a c d b
Sammensatte figurer
Arealet af sammensat figur findes som summen af de figurer, der indgår: 3) Rektangel + kvart cirkel: g h
Sammensatte figurer
Arealet af sammensat figur findes som summen af de figurer, der indgår: 3) Rektangel + kvart cirkel: Rektanglet: A = g·h g h
Sammensatte figurer
Arealet af sammensat figur findes som summen af de figurer, der indgår: 3) Rektangel + kvart cirkel: Rektanglet: A = g·h Kvart cirkel: A = ·g 4 2 h g
Sammensatte figurer
Arealet af sammensat figur findes som summen af de figurer, der indgår: 3) Rektangel + kvart cirkel: Rektanglet: A = g·h Kvart cirkel: A = ·g 2 4 I alt: A = g·h + ·g 2 4 g h
Specielle figurer
Specielle figurer, der tager udgangspunkt i en cirkel: Cirkelring: Arealet findes som forskellen mellem de 2 cirklers arealer: A = ·R 2 · r 2 eller A = ·(R 2 - r 2 ) R r
Specielle figurer
Specielle figurer, der tager udgangspunkt i en cirkel: Cirkeludsnit: - hvor v er cirkeludsnittets størrelse i grader.
Arealet findes som: A = ·R 2 · v 360 v R
Specielle figurer
Specielle figurer, der tager udgangspunkt i en cirkel: Ellipse (oval): - hvor a er den halve lilleakse og b den halve storeakse.
Arealet findes som: A = ·a·b b a
Specielle figurer
Specielle figurer, der tager udgangspunkt i en trekant: Ligesidet trekant: - alle 3 sider lige lange.
Højden kan beregnes ved Pythagoras til: h = √ 2 3 · s A = 1 2 ·h·g = √ 4 3 · s 2 s h s s
Areal i koordinatsystemet
Når man skal udregne arealet af en figur i et koordinatsystem – og gøre det nøjagtigt, skal det gøres på følgende måde: B A C
Areal i koordinatsystemet
Når man skal udregne arealet af en figur i et koordinatsystem – og gøre det nøjagtigt, skal det gøres på følgende måde: 1. Tegn lodrette linier gennem figurens hjørner, så den “pakkes ind i” et rektangel: A B C
Areal i koordinatsystemet
Når man skal udregne arealet af en figur i et koordinatsystem – og gøre det nøjagtigt, skal det gøres på følgende måde: 1. Tegn lodrette linier gennem figurens hjørner, så den “pakkes ind i” et rektangel: A B C
Areal i koordinatsystemet
Når man skal udregne arealet af en figur i et koordinatsystem – og gøre det nøjagtigt, skal det gøres på følgende måde: 1. Tegn lodrette linier gennem figurens hjørner, så den “pakkes ind i” et rektangel: A B C
Areal i koordinatsystemet
Når man skal udregne arealet af en figur i et koordinatsystem – og gøre det nøjagtigt, skal det gøres på følgende måde: 1. Tegn lodrette linier gennem figurens hjørner, så den “pakkes ind i” et rektangel (blåt) A B C
Areal i koordinatsystemet
Når man skal udregne arealet af en figur i et koordinatsystem – og gøre det nøjagtigt, skal det gøres på følgende måde: 1. Tegn lodrette linier gennem figurens hjørner, så den “pakkes ind i” et rektangel (blåt) 2. Aflæs længde
9
A B C
Areal i koordinatsystemet
Når man skal udregne arealet af en figur i et koordinatsystem – og gøre det nøjagtigt, skal det gøres på følgende måde: 1. Tegn lodrette linier gennem figurens hjørner, så den “pakkes ind i” et rektangel (blåt) 2. Aflæs længde og bredde af rektanglet A
9
B
10
C
Areal i koordinatsystemet
Når man skal udregne arealet af en figur i et koordinatsystem – og gøre det nøjagtigt, skal det gøres på følgende måde: 1. Tegn lodrette linier gennem figurens hjørner, så den “pakkes ind i” et rektangel (blåt) 2. Aflæs længde og bredde af rektanglet og find dets areal (90 cm 2 ) A
9 90 cm 2
B
10
C
Areal i koordinatsystemet
Når man skal udregne arealet af en figur i et koordinatsystem – og gøre det nøjagtigt, skal det gøres på følgende måde: 1. Tegn lodrette linier gennem figurens hjørner, så den “pakkes ind i” et rektangel (blåt) 2. Aflæs længde og bredde af rektanglet og find dets areal (90 cm 2 ) 3. Find herefter arealet af hver af de blå trekanter…
6 27 cm 2 9
Areal i koordinatsystemet
Når man skal udregne arealet af en figur i et koordinatsystem – og gøre det nøjagtigt, skal det gøres på følgende måde: 1. Tegn lodrette linier gennem figurens hjørner, så den “pakkes ind i” et rektangel (blåt) 2. Aflæs længde og bredde af rektanglet og find dets areal (90 cm 2 ) 3. Find herefter arealet af hver af de blå trekanter…
27 cm 2 4 14 cm 2 7
Areal i koordinatsystemet
Når man skal udregne arealet af en figur i et koordinatsystem – og gøre det nøjagtigt, skal det gøres på følgende måde: 1. Tegn lodrette linier gennem figurens hjørner, så den “pakkes ind i” et rektangel (blåt) 2. Aflæs længde og bredde af rektanglet og find dets areal (90 cm 2 ) 3. Find herefter arealet af hver af de blå trekanter…
27 cm 2 14 cm 2 10 10 cm 2 2
Areal i koordinatsystemet
Når man skal udregne arealet af en figur i et koordinatsystem – og gøre det nøjagtigt, skal det gøres på følgende måde: 1. Tegn lodrette linier gennem figurens hjørner, så den “pakkes ind i” et rektangel (blåt) 2. Aflæs længde og bredde af rektanglet og find dets areal (90 cm 2 ) 3. Find herefter arealet af hver af de blå trekanter… 4. Træk trekanternes arealer fra rektanglets areal – og man har figurens areal:
27 cm 2 14 cm 2 10 cm 2
Areal i koordinatsystemet
Når man skal udregne arealet af en figur i et koordinatsystem – og gøre det nøjagtigt, skal det gøres på følgende måde: 1. Tegn lodrette linier gennem figurens hjørner, så den “pakkes ind i” et rektangel (blåt) 2. Aflæs længde og bredde af rektanglet og find dets areal (90 cm 2 ) 3. Find herefter arealet af hver af de blå trekanter… 4. Træk summen af trekanternes arealer fra rektanglets areal – og man har figurens areal:
27 cm 2 14 cm 2
90 cm 2 – (27 cm 2 + 14 cm 2 + 10 cm 2 ) =
39 cm 2 10 cm 2
Lidt om tillægsord…
En kvadrat isk figur Har form som et kvadrat
Lidt om tillægsord…
En kvadratisk figur En rektangul ær figur Har form som et kvadrat Har form som et rektangel
Lidt om tillægsord…
En kvadratisk figur En rektangulær figur En triangul ær figur Har form som et kvadrat Har form som et rektangel Har form som en trekant
Lidt om tillægsord…
En kvadratisk figur En rektangulær figur En triangulær figur En cirkul ær figur Har form som et kvadrat Har form som et rektangel Har form som en trekant Har form som en cirkel
Lidt om tillægsord…
En kvadratisk figur En rektangulær figur En triangulær figur En cirkulær figur En ellipt isk figur Har form som et kvadrat Har form som et rektangel Har form som en trekant Har form som en cirkel Har form som en ellipse
Lidt om tillægsord…
En kvadratisk figur En rektangulær figur En triangulær figur En cirkulær figur En elliptisk figur Har form som et kvadrat Har form som et rektangel Har form som en trekant Har form som en cirkel Har form som en ellipse En regulær figur, regulær polygon Har lige lange sider