Transcript Pythagoras. Teori

Pythagoræiske
Læresætning
a2 + b2 = c2
Pythagoras i koordinatsystemet…
Bevis for den Pythagoræiske læresætning
Hvad siger Pythagoras?
Pythagoras udtaler sig om retvinklede trekanter.
Den Pythagoræiske læresætning siger:
”I en retvinklet trekant er hypotenusens kvadrat
lig summen af kateternes kvadrater”.
(a2 + b2 = c2)
Hvad siger Pythagoras?
Pythagoras udtaler sig om retvinklede trekanter.
Den Pythagoræiske læresætning siger:
”I en retvinklet trekant er hypotenusens kvadrat
lig summen af kateternes kvadrater”.
(a2 + b2 = c2)
Den omvendte Pythagoræiske læresætning siger:
”Når i en trekant kvadratet på en af siderne er lig
summen af de to andres siders kvadrater, er
trekanten retvinklet”.
Navngivning af siderne
Den Pythagoræiske læresætning siger:
”I en retvinklet trekant er hypotenusens kvadrat
lig summen af kateternes kvadrater”.
c
a
De 2 korteste sider,
a og b, kaldes
kateter
b
Navngivning af siderne
Den Pythagoræiske læresætning siger:
”I en retvinklet trekant er hypotenusens kvadrat
lig summen af kateternes kvadrater”.
c
a
b
Den længste side,
c, kaldes
hypotenusen
Navngivning af siderne
Den Pythagoræiske læresætning siger:
”I en retvinklet trekant er hypotenusens kvadrat lig
summen af kateternes kvadrater”.
c
a
Kateterne ligger altid
hos den rette vinkel!
b
Hypotenusen ligger altid
over for den rette vinkel!
Hvad siger Pythagoras?
Den Pythagoræiske læresætning siger:
”I en retvinklet trekant er hypotenusens kvadrat lig
summen af kateternes kvadrater”.
c
a
a2 + b2 = c2
De 2 korteste sider,
a og b, kaldes
kateter
b
Den længste side,
c, kaldes
hypotenusen
Hvad siger Pythagoras?
Eksempel:
a=3, b=4, c=5:
5
3
4
Hvad siger Pythagoras?
Eksempel:
a=3, b=4, c=5:
5
3
4
a2 + b2 = c2
32 + 42 = c2
9 + 16 = c2
25 = c2
5=c
Hvad siger Pythagoras?
Eksempel:
a=3, b=4, c=5:
5
3
a2 + b2 = c2
32 + 42 = c2
9 + 16 = c2
25 = c2
5=c
4
Man siger, at talsættet (3,4,5) er et pythagoræisk talsæt
Hvordan bruges Pythagoras?
Der er 3-4 opgavetyper, når der regnes med
Pythagoras:
(1) Finde hypotenusen, når man kender
kateternes længder
Hvordan bruges Pythagoras?
Der er 3-4 opgavetyper, når der regnes med
Pythagoras:
(1) Finde hypotenusen, når man kender
kateternes længder
(1a) Finde en katete, når man kender den
anden katetes og hypotenusens længde.
Hvordan bruges Pythagoras?
Der er 3-4 opgavetyper, når der regnes med
Pythagoras:
(1) Finde hypotenusen, når man kender
kateternes længder
(1a) Finde en katete, når man kender den
anden katetes og hypotenusens længde.
(2) Undersøge om en trekant er retvinklet, når
man kender de 3 siders længder (omvendt
Pythagoras)
Hvordan bruges Pythagoras?
Der er 3-4 opgavetyper, når der regnes med
Pythagoras:
(1) Finde hypotenusen, når man kender
kateternes længder
(1a) Finde en katete, når man kender den
anden katetes og hypotenusens længde.
(2) Undersøge om en trekant er retvinklet, når
man kender de 3 siders længder (omvendt
Pythagoras)
(3) Bruge pythagoras i rummet/på rumfigurer
(dobbelt Pythagoras)
Hvordan bruges Pythagoras?
(1) Finde hypotenusen, når man kender kateternes længder
Type 1
Hvordan bruges Pythagoras?
(1) Finde hypotenusen, når man kender kateternes længder
Teoretisk eksempel 1:
Find længden af hypotenusen i en
retvinklet trekant med katetelængder
på 7 cm og 24 cm
7
?
24
a2 + b2 = c2
Hvordan bruges Pythagoras?
(1) Finde hypotenusen, når man kender kateternes længder
Teoretisk eksempel 1:
Find længden af hypotenusen i en
retvinklet trekant med katetelængder
på 7 cm og 24 cm
7
?
24
a2 + b2 = c2
72 + 242 = c2
Hvordan bruges Pythagoras?
(1) Finde hypotenusen, når man kender kateternes længder
Teoretisk eksempel 1:
Find længden af hypotenusen i en
retvinklet trekant med katetelængder
på 7 cm og 24 cm
7
?
24
a2 + b2 = c2
72 + 242 = c2
49 + 576 = c2
Hvordan bruges Pythagoras?
(1) Finde hypotenusen, når man kender kateternes længder
Teoretisk eksempel 1:
Find længden af hypotenusen i en
retvinklet trekant med katetelængder
på 7 cm og 24 cm
7
?
24
a2 + b2
72 + 242
49 + 576
625
=
=
=
=
c2
c2
c2
c2
Hvordan bruges Pythagoras?
(1) Finde hypotenusen, når man kender kateternes længder
Teoretisk eksempel 1:
Find længden af hypotenusen i en
retvinklet trekant med katetelængder
på 7 cm og 24 cm
7
?
24
a2 + b2
72 + 242
49 + 576
625
√625
=
=
=
=
=
c2
c2
c2
c2
c
Hvordan bruges Pythagoras?
(1) Finde hypotenusen, når man kender kateternes længder
Teoretisk eksempel 1:
Find længden af hypotenusen i en
retvinklet trekant med katetelængder
på 7 cm og 24 cm
7
25
a2 + b2 = c2
72 + 242 = c2
49 + 576 = c2
625 = c2
√625 = c
25 = c
Hypotenusen er 25 cm
24
Hvordan bruges Pythagoras?
(1) Finde hypotenusen, når man kender kateternes længder
Teoretisk eksempel 2:
Find længden af hypotenusen i en
retvinklet trekant med katetelængder
på 28 cm og 45 cm
28
?
45
a2 + b2 = c2
Hvordan bruges Pythagoras?
(1) Finde hypotenusen, når man kender kateternes længder
Teoretisk eksempel 2:
Find længden af hypotenusen i en
retvinklet trekant med katetelængder
på 28 cm og 45 cm
28
?
45
a2 + b2 = c2
282 + 452 = c2
Hvordan bruges Pythagoras?
(1) Finde hypotenusen, når man kender kateternes længder
Teoretisk eksempel 2:
Find længden af hypotenusen i en
retvinklet trekant med katetelængder
på 28 cm og 45 cm
28
?
45
a2 + b2 = c2
282 + 452 = c2
784 + 2025 = c2
Hvordan bruges Pythagoras?
(1) Finde hypotenusen, når man kender kateternes længder
Teoretisk eksempel 2:
Find længden af hypotenusen i en
retvinklet trekant med katetelængder
på 28 cm og 45 cm
28
?
45
a2 + b2
282 + 452
784 + 2025
2809
=
=
=
=
c2
c2
c2
c2
Hvordan bruges Pythagoras?
(1) Finde hypotenusen, når man kender kateternes længder
Teoretisk eksempel 2:
Find længden af hypotenusen i en
retvinklet trekant med katetelængder
på 28 cm og 45 cm
28
?
45
a2 + b2 = c2
282 + 452 = c2
784 + 2025 = c2
2809 = c2
√2809 = c
Hvordan bruges Pythagoras?
(1) Finde hypotenusen, når man kender kateternes længder
Teoretisk eksempel 2:
Find længden af hypotenusen i en
retvinklet trekant med katetelængder
på 28 cm og 45 cm
28
53
a2 + b2 = c2
282 + 452 = c2
784 + 2025 = c2
2809 = c2
√2809 = c
53 = c
Hypotenusen er 53 cm
45
Hvordan bruges Pythagoras?
(1) Finde hypotenusen, når man kender kateternes længder
Praktisk eksempel 1:
Hvor langt går man, hvis man går
tværs over en rektangulær mark, der
er 80 m lang og 84 m bred?
?
80 m
84 m
a2 + b2 = c2
Hvordan bruges Pythagoras?
(1) Finde hypotenusen, når man kender kateternes længder
Praktisk eksempel 1:
Hvor langt går man, hvis man går
tværs over en rektangulær mark, der
er 80 m lang og 84 m bred?
?
80 m
84 m
a2 + b2 = c2
802 + 842 = c2
Hvordan bruges Pythagoras?
(1) Finde hypotenusen, når man kender kateternes længder
Praktisk eksempel 1:
Hvor langt går man, hvis man går
tværs over en rektangulær mark, der
er 80 m lang og 84 m bred?
?
80 m
84 m
a2 + b2 = c2
802 + 842 = c2
6400 + 7056 = c2
Hvordan bruges Pythagoras?
(1) Finde hypotenusen, når man kender kateternes længder
Praktisk eksempel 1:
Hvor langt går man, hvis man går
tværs over en rektangulær mark, der
er 80 m lang og 84 m bred?
?
80 m
84 m
a2 + b2
802 + 842
6400 + 7056
13456
=
=
=
=
c2
c2
c2
c2
Hvordan bruges Pythagoras?
(1) Finde hypotenusen, når man kender kateternes længder
Praktisk eksempel 1:
Hvor langt går man, hvis man går
tværs over en rektangulær mark, der
er 80 m lang og 84 m bred?
?
80 m
84 m
a2 + b2
802 + 842
6400 + 7056
13456
√13456
=
=
=
=
=
c2
c2
c2
c2
c
Hvordan bruges Pythagoras?
(1) Finde hypotenusen, når man kender kateternes længder
Praktisk eksempel 1:
Hvor langt går man, hvis man går
tværs over en rektangulær mark, der
er 80 m lang og 84 m bred?
116 m
80 m
84 m
a2 + b2 = c2
802 + 842 = c2
6400 + 7056 = c2
13456 = c2
√13456 = c
116 = c
Hvordan bruges Pythagoras?
(1) Finde hypotenusen, når man kender kateternes længder
Praktisk eksempel 2:
Fra toppen af et 4 m højt livreddertårn
kan Per spytte hen i vandkanten, der
er 4,2 meter fra tårnets fod.
Hvor langt kan Per spytte?
?
4m
4,2 m
a2 + b2 = c2
Hvordan bruges Pythagoras?
(1) Finde hypotenusen, når man kender kateternes længder
Praktisk eksempel 2:
Fra toppen af et 4 m højt livreddertårn
kan Per spytte hen i vandkanten, der
er 4,2 meter fra tårnets fod.
Hvor langt kan Per spytte?
?
4m
4,2 m
a2 + b2 = c2
42 + 4,22 = c2
Hvordan bruges Pythagoras?
(1) Finde hypotenusen, når man kender kateternes længder
Praktisk eksempel 2:
Fra toppen af et 4 m højt livreddertårn
kan Per spytte hen i vandkanten, der
er 4,2 meter fra tårnets fod.
Hvor langt kan Per spytte?
?
4m
4,2 m
a2 + b2 = c2
42 + 4,22 = c2
16 + 17,64 = c2
Hvordan bruges Pythagoras?
(1) Finde hypotenusen, når man kender kateternes længder
Praktisk eksempel 2:
Fra toppen af et 4 m højt livreddertårn
kan Per spytte hen i vandkanten, der
er 4,2 meter fra tårnets fod.
Hvor langt kan Per spytte?
?
4m
4,2 m
a2 + b2
42 + 4,22
16 + 17,64
33,64
=
=
=
=
c2
c2
c2
c2
Hvordan bruges Pythagoras?
(1) Finde hypotenusen, når man kender kateternes længder
Praktisk eksempel 2:
Fra toppen af et 4 m højt livreddertårn
kan Per spytte hen i vandkanten, der
er 4,2 meter fra tårnets fod.
Hvor langt kan Per spytte?
?
4m
4,2 m
a2 + b2
42 + 4,22
16 + 17,64
33,64
√33,64
=
=
=
=
=
c2
c2
c2
c2
c
Hvordan bruges Pythagoras?
(1) Finde hypotenusen, når man kender kateternes længder
Praktisk eksempel 2:
Fra toppen af et 4 m højt livreddertårn
kan Per spytte hen i vandkanten, der
er 4,2 meter fra tårnets fod.
Hvor langt kan Per spytte?
5,8 m
4m
4,2 m
a2 + b2 = c2
42 + 4,22 = c2
16 + 17,64 = c2
33,64 = c2
√33,64 = c
5,8 = c
Hvordan bruges Pythagoras?
(1a) Finde en katete, når man kender den anden katetes og hypotenusens længde
Type 1a
Hvordan bruges Pythagoras?
(1a) Finde en katete, når man kender den anden katetes og hypotenusens længde
Teoretisk eksempel 1:
Find længden af kateten i en retvinklet
trekant, hvor hypotenusen er 17 cm og
den anden katete 8 cm.
17
8
?
a2 + b2 = c2
Hvordan bruges Pythagoras?
(1a) Finde en katete, når man kender den anden katetes og hypotenusens længde
Teoretisk eksempel 1:
Find længden af kateten i en retvinklet
trekant, hvor hypotenusen er 17 cm og
den anden katete 8 cm.
17
8
?
a2 + b2 = c2
a2 = c2 – b2
Hvordan bruges Pythagoras?
(1a) Finde en katete, når man kender den anden katetes og hypotenusens længde
Teoretisk eksempel 1:
Find længden af kateten i en retvinklet
trekant, hvor hypotenusen er 17 cm og
den anden katete 8 cm.
17
8
?
a2 + b2 = c2
a2 = c2 – b2
a2 = 172 – 82
Hvordan bruges Pythagoras?
(1a) Finde en katete, når man kender den anden katetes og hypotenusens længde
Teoretisk eksempel 1:
Find længden af kateten i en retvinklet
trekant, hvor hypotenusen er 17 cm og
den anden katete 8 cm.
17
8
?
a2 + b2 = c2
a2 = c2 – b2
a2 = 172 – 82
a2 = 289 – 64
Hvordan bruges Pythagoras?
(1a) Finde en katete, når man kender den anden katetes og hypotenusens længde
Teoretisk eksempel 1:
Find længden af kateten i en retvinklet
trekant, hvor hypotenusen er 17 cm og
den anden katete 8 cm.
17
8
?
a2 + b2 = c2
a2 = c2 – b2
a2 = 172 – 82
a2 = 289 – 64
a2 = 225
Hvordan bruges Pythagoras?
(1a) Finde en katete, når man kender den anden katetes og hypotenusens længde
Teoretisk eksempel 1:
Find længden af kateten i en retvinklet
trekant, hvor hypotenusen er 17 cm og
den anden katete 8 cm.
17
8
?
a2 + b2 = c2
a2 = c2 – b2
a2 = 172 – 82
a2 = 289 – 64
a2 = 225
a = √225
Hvordan bruges Pythagoras?
(1a) Finde en katete, når man kender den anden katetes og hypotenusens længde
Teoretisk eksempel 1:
a2 + b2 = c2
Find længden af kateten i en retvinklet
a2 = c2 – b2
trekant, hvor hypotenusen er 17 cm og
2
2
2
a
=
17
–
8
den anden katete 8 cm.
a2 = 289 – 64
a2 = 225
a = √225
17
a = 15
8
Kateten er 15 cm
15
Hvordan bruges Pythagoras?
(1a) Finde en katete, når man kender den anden katetes og hypotenusens længde
Teoretisk eksempel 2:
Find længden af kateten i en retvinklet
trekant, hvor hypotenusen er 73 cm og
den anden katete 55 cm.
55
73
?
a2 + b2 = c2
a2 = c2 – b2
Hvordan bruges Pythagoras?
(1a) Finde en katete, når man kender den anden katetes og hypotenusens længde
Teoretisk eksempel 2:
Find længden af kateten i en retvinklet
trekant, hvor hypotenusen er 73 cm og
den anden katete 55 cm.
55
73
?
a2 + b2 = c2
a2 = c2 – b2
a2 = 732 – 552
Hvordan bruges Pythagoras?
(1a) Finde en katete, når man kender den anden katetes og hypotenusens længde
Teoretisk eksempel 2:
Find længden af kateten i en retvinklet
trekant, hvor hypotenusen er 73 cm og
den anden katete 55 cm.
55
73
?
a2 + b2 = c2
a2 = c2 – b2
a2 = 732 – 552
a2 = 5329 – 3025
Hvordan bruges Pythagoras?
(1a) Finde en katete, når man kender den anden katetes og hypotenusens længde
Teoretisk eksempel 2:
Find længden af kateten i en retvinklet
trekant, hvor hypotenusen er 73 cm og
den anden katete 55 cm.
55
73
?
a2 + b2 = c2
a2 = c2 – b2
a2 = 732 – 552
a2 = 5329 – 3025
a2 = 2304
Hvordan bruges Pythagoras?
(1a) Finde en katete, når man kender den anden katetes og hypotenusens længde
Teoretisk eksempel 2:
Find længden af kateten i en retvinklet
trekant, hvor hypotenusen er 73 cm og
den anden katete 55 cm.
55
73
?
a2 + b2 = c2
a2 = c2 – b2
a2 = 732 – 552
a2 = 5329 – 3025
a2 = 2304
a = √2304
Hvordan bruges Pythagoras?
(1a) Finde en katete, når man kender den anden katetes og hypotenusens længde
Teoretisk eksempel 2:
Find længden af kateten i en retvinklet
trekant, hvor hypotenusen er 73 cm og
den anden katete 55 cm.
55
73
a2 + b2 = c2
a2 = c2 – b2
a2 = 732 – 552
a2 = 5329 – 3025
a2 = 2304
a = √2304
a = 48
Kateten er 48 cm
48
Hvordan bruges Pythagoras?
(1a) Finde en katete, når man kender den anden katetes og hypotenusens længde
Praktisk eksempel 1:
En 5 m lang stige står op ad en mur, så
den netop når toppen.
Hvor høj er muren, når stigen når jorden
1,4 m fra muren?
55
?
5m
1,4 m
a2 + b2 = c2
a2 = c2 – b2
Hvordan bruges Pythagoras?
(1a) Finde en katete, når man kender den anden katetes og hypotenusens længde
Praktisk eksempel 1:
En 5 m lang stige står op ad en mur, så
den netop når toppen.
Hvor høj er muren, når stigen når jorden
1,4 m fra muren?
55
?
5m
1,4 m
a2 + b2 = c2
a2 = c2 – b2
a2 = 52 – 1,42
Hvordan bruges Pythagoras?
(1a) Finde en katete, når man kender den anden katetes og hypotenusens længde
Praktisk eksempel 1:
En 5 m lang stige står op ad en mur, så
den netop når toppen.
Hvor høj er muren, når stigen når jorden
1,4 m fra muren?
55
?
5m
1,4 m
a2 + b2 = c2
a2 = c2 – b2
a2 = 52 – 1,42
a2 = 25 – 1,96
Hvordan bruges Pythagoras?
(1a) Finde en katete, når man kender den anden katetes og hypotenusens længde
Praktisk eksempel 1:
En 5 m lang stige står op ad en mur, så
den netop når toppen.
Hvor høj er muren, når stigen når jorden
1,4 m fra muren?
55
?
5m
1,4 m
a2 + b2 = c2
a2 = c2 – b2
a2 = 52 – 1,42
a2 = 25 – 1,96
a2 = 23,04
Hvordan bruges Pythagoras?
(1a) Finde en katete, når man kender den anden katetes og hypotenusens længde
Praktisk eksempel 1:
En 5 m lang stige står op ad en mur, så
den netop når toppen.
Hvor høj er muren, når stigen når jorden
1,4 m fra muren?
55
?
5m
1,4 m
a2 + b2 = c2
a2 = c2 – b2
a2 = 52 – 1,42
a2 = 25 – 1,96
a2 = 23,04
a = √23,04
Hvordan bruges Pythagoras?
(1a) Finde en katete, når man kender den anden katetes og hypotenusens længde
Praktisk eksempel 1:
En 5 m lang stige står op ad en mur, så
den netop når toppen.
Hvor høj er muren, når stigen når jorden
1,4 m fra muren?
4,8 m
5m
1,4 m
a2 + b2 = c2
a2 = c2 – b2
a2 = 52 – 1,42
a2 = 25 – 1,96
a2 = 23,04
a = √23,04
a = 4,8
Hvordan bruges Pythagoras?
(1a) Finde en katete, når man kender den anden katetes og hypotenusens længde
Praktisk eksempel 2:
En kegleformet sandbunke har en sidelængde på 4,1 m og en radius på 4 m.
Hvor høj sandbunken?
4,1 m
h?
4m
a2 + b2 = c2
a2 = c2 – b2
Hvordan bruges Pythagoras?
(1a) Finde en katete, når man kender den anden katetes og hypotenusens længde
Praktisk eksempel 2:
En kegleformet sandbunke har en sidelængde på 4,1 m og en radius på 4 m.
Hvor høj sandbunken?
4,1 m
h?
4m
a2 + b2 = c2
a2 = c2 – b2
a2 = 4,12 – 42
Hvordan bruges Pythagoras?
(1a) Finde en katete, når man kender den anden katetes og hypotenusens længde
Praktisk eksempel 2:
En kegleformet sandbunke har en sidelængde på 4,1 m og en radius på 4 m.
Hvor høj sandbunken?
4,1 m
h?
4m
a2 + b2 = c2
a2 = c2 – b2
a2 = 4,12 – 42
a2 = 16,81 – 16
Hvordan bruges Pythagoras?
(1a) Finde en katete, når man kender den anden katetes og hypotenusens længde
Praktisk eksempel 2:
En kegleformet sandbunke har en sidelængde på 4,1 m og en radius på 4 m.
Hvor høj sandbunken?
4,1 m
h?
4m
a2 + b2 = c2
a2 = c2 – b2
a2 = 4,12 – 42
a2 = 16,81 – 16
a2 = 0,81
Hvordan bruges Pythagoras?
(1a) Finde en katete, når man kender den anden katetes og hypotenusens længde
Praktisk eksempel 2:
En kegleformet sandbunke har en sidelængde på 4,1 m og en radius på 4 m.
Hvor høj sandbunken?
4,1 m
h?
4m
a2 + b2 = c2
a2 = c2 – b2
a2 = 4,12 – 42
a2 = 16,81 – 16
a2 = 0,81
a = √0,81
Hvordan bruges Pythagoras?
(1a) Finde en katete, når man kender den anden katetes og hypotenusens længde
Praktisk eksempel 2:
En kegleformet sandbunke har en sidelængde på 4,1 m og en radius på 4 m.
Hvor høj sandbunken?
4,1 m
0,9 m
4m
a2 + b2 = c2
a2 = c2 – b2
a2 = 4,12 – 42
a2 = 16,81 – 16
a2 = 0,81
a = √0,81
a = 0,9
Hvordan bruges Pythagoras?
(2) Undersøge om en trekant er retvinklet, når man kender de 3
siders længder (omvendt Pythagoras)
Type 2
Hvordan bruges Pythagoras?
(2) Undersøge om en trekant er retvinklet, når man kender de 3
siders længder (omvendt Pythagoras)
Eksempel 1:
En trekant har sidelængderne 12,
34 og 37 cm.
Er den retvinklet?
37
12
?
34
a2 + b2 = c2 ?
Hvordan bruges Pythagoras?
(2) Undersøge om en trekant er retvinklet, når man kender de 3
siders længder (omvendt Pythagoras)
Eksempel 1:
En trekant har sidelængderne 12,
34 og 37 cm.
Er den retvinklet?
37
12
?
34
a2 + b2 = c2 ?
122 + 342 = 372 ?
Hvordan bruges Pythagoras?
(2) Undersøge om en trekant er retvinklet, når man kender de 3
siders længder (omvendt Pythagoras)
Eksempel 1:
En trekant har sidelængderne 12,
34 og 37 cm.
Er den retvinklet?
37
12
?
34
a2 + b2 = c2 ?
122 + 342 = 372 ?
144 + 1156 = 1369?
Hvordan bruges Pythagoras?
(2) Undersøge om en trekant er retvinklet, når man kender de 3
siders længder (omvendt Pythagoras)
Eksempel 1:
En trekant har sidelængderne 12,
34 og 37 cm.
Er den retvinklet?
37
12
?
34
a2 + b2 = c2 ?
122 + 342 = 372 ?
144 + 1156 = 1369?
1300 = 1369?
Hvordan bruges Pythagoras?
(2) Undersøge om en trekant er retvinklet, når man kender de 3
siders længder (omvendt Pythagoras)
Eksempel 1:
En trekant har sidelængderne 12,
34 og 37 cm.
Er den retvinklet?
12
37
34
a2 + b2 = c2 ?
122 + 342 = 372 ?
144 + 1156 = 1369?
1300 = 1369?
Nej, 1300 ≠ 1369!
Dermed er der ikke
tale om en retvinklet
trekant!
Hvordan bruges Pythagoras?
(2) Undersøge om en trekant er retvinklet, når man kender de 3
siders længder (omvendt Pythagoras)
Eksempel 2:
En trekant har sidelængderne 80,
39 og 89 cm.
Er den retvinklet?
89
39
?
80
a2 + b2 = c2 ?
Hvordan bruges Pythagoras?
(2) Undersøge om en trekant er retvinklet, når man kender de 3
siders længder (omvendt Pythagoras)
Eksempel 2:
En trekant har sidelængderne 80,
39 og 89 cm.
Er den retvinklet?
89
39
?
80
a2 + b2 = c2 ?
392 + 802 = 892 ?
Hvordan bruges Pythagoras?
(2) Undersøge om en trekant er retvinklet, når man kender de 3
siders længder (omvendt Pythagoras)
Eksempel 2:
En trekant har sidelængderne 80,
39 og 89 cm.
Er den retvinklet?
89
39
?
80
a2 + b2 = c2 ?
392 + 802 = 892 ?
1521 + 6400 = 7921?
Hvordan bruges Pythagoras?
(2) Undersøge om en trekant er retvinklet, når man kender de 3
siders længder (omvendt Pythagoras)
Eksempel 2:
En trekant har sidelængderne 80,
39 og 89 cm.
Er den retvinklet?
89
39
?
80
a2 + b2 = c2 ?
392 + 802 = 892 ?
1521 + 6400 = 7921?
7921 = 7921?
Hvordan bruges Pythagoras?
(2) Undersøge om en trekant er retvinklet, når man kender de 3
siders længder (omvendt Pythagoras)
Eksempel 2:
En trekant har sidelængderne 80,
39 og 89 cm.
Er den retvinklet?
39
89
80
a2 + b2 = c2 ?
392 + 802 = 892 ?
1521 + 6400 = 7921?
7921 = 7921?
Ja, 7921 = 7921!
Dermed er der denne
gang tale om en
retvinklet trekant!
Hvordan bruges Pythagoras?
(3) Bruge Pythagoras i rummet/på rumfigurer (dobbelt Pythagoras)
Type 3
Hvordan bruges Pythagoras?
(3) Bruge Pythagoras i rummet/på rumfigurer (dobbelt Pythagoras)
Eks. 1:
Hvor høj er Khefrens
pyramide i Egypten?
Khefrens pyramide er kvadratisk med en
sidelængde på 215 m
Hvordan bruges Pythagoras?
(3) Bruge Pythagoras i rummet/på rumfigurer (dobbelt Pythagoras)
Eks. 1:
Hvor høj er Khefrens
pyramide i Egypten?
h
Khefrens pyramide er kvadratisk med en
sidelængde på 215 m
Højden kan ikke måles,
da pyramiden er massiv.
Hvordan bruges Pythagoras?
(3) Bruge Pythagoras i rummet/på rumfigurer (dobbelt Pythagoras)
Eks. 1:
Hvor høj er Khefrens
pyramide i Egypten?
Højden kan ikke måles,
da pyramiden er massiv.
Men sidelængden kan
måles præcist (209 m).
Khefrens pyramide er kvadratisk med en
sidelængde på 215 m
Hvordan bruges Pythagoras?
(3) Bruge Pythagoras i rummet/på rumfigurer (dobbelt Pythagoras)
Eks. 1:
Hvor høj er Khefrens
pyramide i Egypten?
Højden kan ikke måles,
da pyramiden er massiv.
Men sidelængden kan
måles præcist (209 m).
Herefter kan sidens højde
beregnes ved Pythagoras
Khefrens pyramide er kvadratisk med en
sidelængde på 215 m
Hvordan bruges Pythagoras?
(3) Bruge Pythagoras i rummet/på rumfigurer (dobbelt Pythagoras)
Eks. 1:
Hvor høj er Khefrens
pyramide i Egypten?
209 m
107,5 m
Khefrens pyramide er kvadratisk med en
sidelængde på 215 m
Højden kan ikke måles,
da pyramiden er massiv.
Men sidelængden kan
måles præcist (209 m).
Herefter kan sidens højde
beregnes ved Pythagoras
(179,2 m)
Hvordan bruges Pythagoras?
(3) Bruge Pythagoras i rummet/på rumfigurer (dobbelt Pythagoras)
Eks. 1:
Hvor høj er Khefrens
pyramide i Egypten?
h
Højden kan ikke måles,
da pyramiden er massiv.
Men sidelængden kan
måles præcist (209 m).
Herefter kan sidens højde
beregnes ved Pythagoras
(179,2 m)
Khefrens pyramide er kvadratisk med en
sidelængde på 215 m
Endelig kan pyramidens
lodrette højde findes ved
at anvende Pythagoras
en gang til! (143,4 m)
Hvordan bruges Pythagoras?
(3) Bruge Pythagoras i rummet/på rumfigurer (dobbelt Pythagoras)
Eks. 2:
Hvor lang er rumdiagonalen i en kasse?
7,2
5,0
9,6
Hvordan bruges Pythagoras?
(3) Bruge Pythagoras i rummet/på rumfigurer (dobbelt Pythagoras)
Eks. 2:
Hvor lang er rumdiagonalen i en kasse?
Først udregnes
diagonalen for en af
siderne…
7,2
5
5,0
9,6
Hvordan bruges Pythagoras?
(3) Bruge Pythagoras i rummet/på rumfigurer (dobbelt Pythagoras)
Eks. 2:
Hvor lang er rumdiagonalen i en kasse?
Først udregnes
diagonalen for en af
siderne… (her: 12,0)
7,2
12,0
5
5,0
9,6
Hvordan bruges Pythagoras?
(3) Bruge Pythagoras i rummet/på rumfigurer (dobbelt Pythagoras)
Eks. 2:
Hvor lang er rumdiagonalen i en kasse?
Først udregnes
diagonalen for en af
siderne… (her: 12,0)
7,2
… og derefter diagonalen
i diagonalfladen
12,0
5,0
9,6
Hvordan bruges Pythagoras?
(3) Bruge Pythagoras i rummet/på rumfigurer (dobbelt Pythagoras)
Eks. 2:
Hvor lang er rumdiagonalen i en kasse?
Først udregnes
diagonalen for en af
siderne… (her: 12,0)
13,0
7,2
12,0
5,0
9,6
… og derefter diagonalen
i diagonalfladen – og
hermed er længden af
rumdiagonalen fundet
(her: 13,0)
Afstande i koordinatsystemet
Man kan beregne afstanden mellem 2 punkter i koordinatsystemet
ved hjælp af Pythagoras:
Eks.
B
A
Find længden af liniestykket AB
i koordinatsystemet til venstre.
Afstande i koordinatsystemet
Man kan beregne afstanden mellem 2 punkter i koordinatsystemet
ved hjælp af Pythagoras:
Eks.
B
Find længden af liniestykket AB
i koordinatsystemet til venstre.
Fra liniestykkets ene endepunkt
(A) tegnes den lodrette linie
gennem punktet,
A
Afstande i koordinatsystemet
Man kan beregne afstanden mellem 2 punkter i koordinatsystemet
ved hjælp af Pythagoras:
Eks.
B
A
Find længden af liniestykket AB
i koordinatsystemet til venstre.
Fra liniestykkets ene endepunkt
(A) tegnes den lodrette linie
gennem punktet, og fra det
andet endepunkt (B) tegnes
den vandrette linie gennem
dette punkt.
Afstande i koordinatsystemet
Man kan beregne afstanden mellem 2 punkter i koordinatsystemet
ved hjælp af Pythagoras:
Eks.
B
A
Find længden af liniestykket AB
i koordinatsystemet til venstre.
Fra liniestykkets ene endepunkt
(A) tegnes den lodrette linie
gennem punktet, og fra det
andet endepunkt (B) tegnes
den vandrette linie gennem
dette punkt.
Herefter opstår en retvinklet
trekant, hvor kateternes
længder kan aflæses direkte.
Afstande i koordinatsystemet
Man kan beregne afstanden mellem 2 punkter i koordinatsystemet
ved hjælp af Pythagoras:
Eks.
9
6
A
B
Find længden af liniestykket AB
i koordinatsystemet til venstre.
Fra liniestykkets ene endepunkt
(A) tegnes den lodrette linie
gennem punktet, og fra det
andet endepunkt (B) tegnes
den vandrette linie gennem
dette punkt.
Herefter opstår en retvinklet
trekant, hvor kateternes
længder kan aflæses direkte.
Afstande i koordinatsystemet
Man kan beregne afstanden mellem 2 punkter i koordinatsystemet
ved hjælp af Pythagoras:
Eks.
9
B
Find længden af liniestykket AB
i koordinatsystemet til venstre.
Nu bruges Pythagoras til at
finde længden af liniestykket,
og man får, at AB = 10,82
6
A
Bevis for Pythagoras
Der findes mindst 75 forskellige beviser for, at den Pythagoræiske
læresætning nu også er gyldig!!!
(Se: www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml)
På de følgende sider vises ét af beviserne (tillagt den indiske
matematiker Bhaskara (12. årh. e. kr.):
Bevis for Pythagoras
Lad os se på den retvinklede
trekant ABC, hvor vinkel C er
ret.
Da vinkel C er 90o, må summen
af vinklerne A og B ligeledes
være 90o.
A
b
C
c
a
B
Bevis for Pythagoras
Vi kan nu lave firkanten til højre
ud fra 4 ens, retvinklede
trekanter, ABC. Denne firkant er
kvadratisk med sidelængden c,
da hvert hjørne udgøres af
vinkel A + vinkel B.
c
c
c
2
Arealet af hele firkanten er c .
a
c
b
Bevis for Pythagoras
Flytter vi lidt rundt på de 4
trekanter, kan man få følgende
figur:
b-a
b-a
c
b
c
a
b
a
Bevis for Pythagoras
Arealet af det røde område af
figuren må altså være:
b-a
(a – b)2 + 2ab =
(a2 + b2 – 2ab) + 2ab =
2
b-a
2
a +b
c
b
c
a
b
a
Bevis for Pythagoras
Arealet af figuren er med andre
ord fundet på 2 forskellige
måder:
Bevis for Pythagoras
Arealet af figuren er med andre
ord fundet på 2 forskellige
måder:
c
c
Her: Arealet = c2
c
a
c
b
Bevis for Pythagoras
Arealet af figuren er med andre
ord fundet på 2 forskellige
måder:
b-a
- og her: Arealet = a2 + b2
b-a
c
b
c
a
b
a
Bevis for Pythagoras
Arealet af figuren er med andre
ord fundet på 2 forskellige
måder:
2
2
Altså: Arealet = a + b = c
2
A
b
C
- eller:
a2 + b2 = c2
Og Pythagoras gælder altså!
c
a
B
Pythagoras