Transcript Regneregler
Overvej, at en given retvinklet trekant altid kan placeres som DOGF på tegningen Overvej, at trekanterne DOKD og DOFG er ensvinklede Udnyt dette til at bestemme forstørrelsesfaktoren, dvs størrelses- forholdet mellem de ensliggende sider i de to trekanter F 1 sin v hyp 1 v O cos v mod K D hos G Tip: Tegn de sig to trekanter hver for Udnyt dette til at godtgøre de to første formler (2.a og 2.b) Udnyt denne nye viden samt definitionen på tan til at vise den sidste formel (2.c) Bevis i detaljer Metode til beregninger F DOGF er en forstørrelse af DODK Forstørrelsesfaktoren kaldes k !) 1 · k = hyp a) cos v · k = hos hyp mod K 1 sin v v O cos v D O v hos G b) sin v · k = mod Af !) fås, at k = hyp, og ved indsættelse i a) og b) fås, at a) cos v · hyp = hos og b) sin v · hyp = mod Ved division med hyp på begge sider af lighedstegnet fås de to formler 2.a. og 2.b. Ved division af ligningen b) med ligningen a) - og efterfølgende forkortning med hyp fås sin v · hyp mod mod mod sin v tan v = = = hos hos cos v · hyp hos cos v Tilbage Metode til beregninger Formler for retvinklede trekanter 1. ”Pythagoras” hyp 2 = mod 2 + hos 2 2. Trigonometriske regler a) b) c) hos cos v = hyp mod sin v = hyp mod tan v = hos hyp v hos 3. Summen af de to spidse vinkler i en retvinklet trekant er 90, da vinkelsummen i hele trekanten er 180 mod Metode til beregning af ukendte størrelser 1. Navngiv de ukendte størrelser (sider og vinkler) Formler 2. Kig på de fire formler (1. og 2.a-c)og find den, der indeholder de opgivne størrelser samt den størrelse, du aktuelt ønsker at bestemme z hyp 3. Indsæt værdierne 4. Løs ligningen mht. den ukendte størrelse 50 hos 5. Gentag proceduren for alle de ukendte størrelser. Hvis den ene spidse vinkel er angivet, bestemmes den anden ud fra 3. Husk kontrol, fx med Pythagoras og vinkelsum! Eksempler 1a Hypotenuse & katete 1b To kateter 2a Vinkel & hypotenuse 2b Vinkel & hosliggende 2c Vinkel & modstående 5 1a Hypotenuse & katete kendt Bestemmelse af sidste katete x: 2 2 x +5 =7 v 2 7 5 2 x = 24 x = 24 = 4,9 u x Bestemmelse vinkel u: 5 sin u = 7 5 u = sin-1 ( ) = 45,6 7 Bestemmelse vinkel v: 5 cos v = 7 v = cos-1 ( 5 ) = 44,4 7 Kontrol: 45,6 + 44,4 = 90 7cos 45,6 = 7sin 44,4 = 4,9 x er hos i forhold til u og mod i forhold til v 1b De to kateter kendt Bestemmelse af hypotenusen hyp: 2 2 x =5 +7 v 2 x 5 2 x = 74 u x = 74 = 8,6 7 Bestemmelse vinkel u: 5 tan u = 7 5 u = tan-1 ( ) = 35,5 7 Bestemmelse vinkel v: 7 tan v = 5 7 -1 v = tan ( 5 ) = 54,5 Kontrol: 35,5 + 54,5 = 90 8,6cos 54,5 = 8,6sin 35,5 = 5,0 x er hos i forhold til u og mod i forhold til v 2a Vinkel & hypotenuse kendt Bestemmelse af modstående katete, mod: v mod sin 35 = 7 mod = 7 sin 35 = 4.0 7 35 hos Bestemmelse af hosliggende katete, hos: hos cos 35 = 7 hos = 7 cos 35 = 5.7 Bestemmelse af den sidste vinkel, v: v+ 35 = 90 v= 55 mod Kontrol: mod2 + hos2 = 49 = hyp2 4,0 tan 55 = 5,7 mod er hosliggende og hos er modstående i forhold til v 2b Vinkel & hosliggende kendt Bestemmelse af modstående katete, mod: v mod tan 35 = 7 mod = 7 tan 35 = 4.9 hyp 35 7 Bestemmelse af hypotenuse, hyp: 7 cos 35 = hyp hyp cos 35 = 7 7 hyp = cos 35 = 8,5 Bestemmelse af den sidste vinkel, v: v + 35 = 90 v = 55 mod Kontrol: mod2 + hos2 = 73,0 = hyp2 8,5cos 55 = 4,9 mod er hosliggende i forhold til v 2c Vinkel & modstående kendt Bestemmelse af hypotenuse, hyp: v 7 sin 35 = hyp hyp sin 35 = 7 7 hyp = sin 35 = 12,2 Bestemmelse af hosliggende katete, hos: 7 tan 35 = hos hos tan 35 = 7 7 hos = tan 35 = 10,0 Bestemmelse af den sidste vinkel, v: v + 35 = 90 v = 55 hyp 7 35 hos Kontrol: mod2 + hos2 = 148,9 = hyp2 12,2sin 55 = 10,0 hos er modstående i forhold til v SLUT!