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Mathématiques et statistique

Partie 2 Principes de tarification de base

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Mathématiques et statistique Introduction à la Tarification

Dans une société avec un marché libre, une compagnie offrant un produit doit déterminer le prix maximum auquel la compagnie sera prêt à vendre le produit et le consommateur sera prêt à l'acheter. Aux yeux de la compagnie, le produit doit couvrir les coûts associé au produit ainsi qu'avoir une marge de profit acceptable. Un modèle très simple pour déterminer le prix désiré serait donc :

Prix = Coût + Profit

Pour la majorité des industries, le coût associé à un produit peut facilement être estimé à partir des coûts de matériaux, salaires, infrastructures... nécessaire à la confection du produit.

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Mathématiques et statistique Introduction à la Tarification

Cependant, comme un produit d'assurance représente la promesse d'un paiement futur seulement si un certain événement survient durant une certaine période, le coût de l'assurance est inconnu au moment de la ventre du contrat. L'estimation du coût futur associé à cette promesse peut être très complexe et sera l'objectif principal des actuaires en tarification.

À travers ce cours, plusieurs méthodes de base seront présentées servant à estimer le coût ainsi que le prix de divers produits d'assurance. Nous allons tenter autant d'estimer le montant total qui devrait être chargé en agrégé pour une ligne d'affaire ainsi que le prix individuel idéal à chargé pour un certain type de risque.

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Mathématiques et statistique Terminologie - Tarification

Plusieurs termes seront vus à travers ce cours et seront fréquemment utilisés par les actuaires en tarification : •

Exposition (unités) Unités écrites

certaine période : Unités d'exposition provenant de polices écrites durant une

Unités acquises

: Représente la partie des unités écrites dont la couverture d'assurance a déjà été procurée à un certain moment dans le temps

Unités non-acquises

: Représente la partie des unités écrites dont la couverture d'assurance n'a pas encore été procurée à un certain moment dans le temps

Unités en force

: Représente les unités d'exposition étant exposés à subir un sinistre à un certain moment dans le temps Exemple d'unité d'exposition : une auto-année, un emplacement, une police...

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Mathématiques et statistique Terminologie - Tarification

● Primes Primes écrites

période : La prime total provenant de polices écrites durant une certaine

Primes acquises

: Représente la partie des primes écrites dont la couverture d'assurance a déjà été procurée à un certain moment dans le temps

Primes non-acquises

: Représente la partie des primes écrites dont la couverture d'assurance n'a pas encore été procurée à un certain moment dans le temps

Primes en force

: Représente la prime pour un terme complet pour tous risques étant exposés à subir un sinistre à un certain moment dans le temps

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Mathématiques et statistique Base d'exposition

Précédemment, nous avons appris diverses base d'expositions. Pour des fins de tarification, il faudra s'assurer que la base d’exposition utilisé répond aux critères suivants :

Proportionnelle aux Sinistres espérés

Afin d'être un bon « proxy » de l'exposition aux sinistres, il faut bien sûr que la base d'exposition varie au minimum de façon proportionnelle aux sinistres espérés.

- Pratique

L'information concernant la base d'exposition doit être disponible, fiable et la mise à jour doit être relativement facile.

Précédent historique

Même si une nouvelle base d'exposition serait plus valide qu'une ancienne, il faut s'assurer que le bénéfice d'utiliser cette nouvelle base surpasse les problèmes reliés à modifier toutes méthodologies existantes utilisant l'ancienne base.

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Mathématiques et statistique Terminologie - Tarification

Les actuaires en tarification vont fréquemment utiliser de l'information provenant des sinistres pour essayer d'estimer le coût de l'assurance. La majorité des termes apprit durant la 1ère partie du cours seront encore applicable : •

Sinistres Sinistres déclarés

: La somme des sinistres payés et des réserves aux dossiers

Sinistres déclarés = Sinistres payés + Réserves aux Dossiers Sinistres Ultimes Estimés

: Représente l'estimé final du montant nécessaire pour payer et fermer tous les sinistres d'une certaine période

Sinistres Ultimes Estimés = Sinistres Déclarés + Réserves actuarielles

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Mathématiques et statistique Terminologie - Tarification

Les sinistres ne sont pas les seuls coûts reliés à l'assurance, il faudra aussi considérer divers dépenses engendrées par les compagnies : •

Dépenses reliés aux sinistres (LAE) ALAE

: Dépenses reliés aux sinistres pouvant être attribuées à un sinistre en particulier Par exemple : Dépenses reliés à la défense légal d'une réclamation

ULAE

: Dépenses reliés aux sinistres ne pouvant pas être attribuées à un sinistre en particulier Par exemple : Salaires des ajusteurs de réclamations

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Mathématiques et statistique Terminologie - Tarification

Il existe bien sûr d'autres dépenses que celles reliés aux sinistres, elles seront généralement considérés sous la catégorie des dépenses de souscription.

•

Dépenses de souscription

Cette catégorie et très large et contiendra généralement toutes dépenses opérationnelles et administratives reliées à la vente de produits d’assurance pour une compagnie. Ce regroupement pourrait être divisé en 4 sous-catégories principales:

- Commission et frais de courtage - Autres frais d'acquisition Dépenses générales - Taxes, licences et frais Notes

Les dépenses reliées à l'investissement seront généralement traitées séparément

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Mathématiques et statistique Terminologie - Tarification

● Profit de souscription et profit d'investissement

Tel que mentionnée précédemment, le coût de l'assurance est inconnu au moment de la vente du contrat. En écrivant de l'assurance, une compagnie prend donc le risque que les primes ne soit pas suffisantes pour payer les sinistres et dépenses. La compagnie met donc son capital à risque lors de l'écriture de polices d'assurance et à donc droit de demander un retour (profit) sur ce capital. Le profit de souscription sera la somme des profits générés par la vente de polices d'assurances.

Le profit d'investissement, lui, représentera les profits générés par l'investissement des primes/actifs de la compagnie.

Le profit d'investissement sera considéré lors de l'utilisation de méthodes de tarification plus avancées qui ne seront malheureusement pas vu à l'intérieur de ce cours.

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Mathématiques et statistique Tarification de base

Jusqu'à présente nous avons utilisé une équation très générale pour définir le prix d'un produit d'assurance :

Prix = Coût + Profit

À l'aide des termes des diapositives précédentes, on peut détaillé l'équation ci dessous pour l'assurance IARD :

Prime chargé (Prix) = (Sinistres + LAE + Dépenses de Souscription) + Profit de Souscription Note

Le profit d'investissement sera considéré lors de l'utilisation de méthodes de tarification plus avancés qui ne seront malheureusement pas vu à l'intérieur de ce cours.

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Mathématiques et statistique Objectif de la tarification

L'objectif principal de la tarification est que la prime soit suffisante pour payer tous sinistres et dépenses futurs reliés au produit d'assurance tout en atteignant un certain profit ciblé. À fin d'atteindre cet objectif, deux points seront à considérer : • La tarification est prospective et NON rétrospective Contrairement à certaines croyances populaires, l'objectif des compagnies d'assurance est de charger le prix adéquat pour un risque pour les sinistres à venir et non pour se « refaire » par rapport aux sinistres passés.

• La prime chargé doit être déterminé à la fois en agrégé et au niveau individuel L'actuaire en tarification doit s'assurer que la compagnie reçoit suffisamment de prime pour payer les sinistres au total et que chaque type de risque paie un montant adéquat selon leur sinistres et dépenses espérés.

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Mathématiques et statistique Tarification prospective

Bien que la tarification en assurance soit prospective de nature, l'actuaire va fréquemment utiliser des données passés afin de projeter le futur. Afin de rendre l'expérience passé pertinente pour projeter le futur, plusieurs facteurs devront être considérés : • • • • • Changement de taux passés Changements opérationnelles Inflation annuelle affectant primes / sinistres Changement de la distribution des risques Changement légaux Nous verrons comment ajuster l’expérience passé pour ces différents points a travers les prochains cours.

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Mathématiques et statistique Ratios en tarification

Afin de suivre et d'évaluer la rentabilité d'une ligne d'affaire, plusieurs ratios peuvent être utilisés : • Fréquence Fréquence = Nombre de réclamations / Nombre d’exposition Normalement, le numérateur est le nombre de réclamations déclarés et le dénominateur le nombre d'unités acquises. D'autres variations sont quand même utilisées.

• Sévérité (moyenne) Sévérité = Sinistres Totaux / Nombre de réclamations La sévérité peut être calculée en utilisant les sinistres payés / # réclamations fermées ou les sinistres déclarés / # réclamations déclarés. Les dépenses reliés aux sinistres peuvent être inclut / exclut de ce calcul.

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Mathématiques et statistique Ratios en tarification

• Prime Pure (Loss Cost) La prime pure représente le sinistre moyen payé par chaque unité d'exposition et est calculé de cette façon :

Prime Pure = Sinistres Totaux / Nombre d’exposition

Prime Pure = (Sinistres Totaux / Nombre d’exposition) * (Nombre de Réclamation / Nombre de Réclamation )

Prime Pure = Fréquence * Sévérité

• Prime moyenne Prime moyenne = Prime / Nombre d’exposition Le ratio précédent sert principalement à analyser les coûts espérés d'un risque, mais il sera tout aussi important de regarder la prime moyenne généré par un risque. Il faudra aussi s’assurer que la prime et l'exposition soit sur la même base (écrite, acquise, en force...)

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Mathématiques et statistique Ratios en tarification

●

Ratio Sinistres-Primes (Loss Ratio) Le ratio sinistres-primes est une mesure de la proportion des primes allant au paiement des sinistres :

RSP = Sinistres / Primes

RSP = (Sinistres / Primes) * (Nombre d'exposition / Nombre d'exposition)

RSP = Prime Pure / Prime moyenne Note

Le ratio sinistres primes peut être en fonction des sinistres déclarés ou des sinistres ultimes et inclure/exclure les dépenses reliés aux sinistres

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Mathématiques et statistique Ratios en tarification

●

LAE Ratio (LAE= Loss Adjustment Expenses) Le LAE ratio représente le facteur d'ajustement qui doit être apporté aux sinistres afin d'inclure les dépenses reliés aux sinisres :

LAE Ratio = Dépenses reliés aux sinistres / Sinistres Rappel

Dépenses reliés aux sinistres = Loss Adjustment Expenses (LAE)

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Mathématiques et statistique Ratios en tarification

● Underwriting Expense Ratio

Ce ratio représente la proportion de la prime servant à payer les dépenses de souscription et est calculé de cette façon :

UW Expense Ratio = Dépenses de souscription / Prime

Si le type de dépense est payé au complet au début de la police (i.e. commission, taxes, licences, frais...), il sera préférable de diviser les dépenses par la

prime écrite.

Si au contraire le type de dépense est payé tout au long du terme de la police (i.e. dépenses générales ), il sera préférable de diviser les dépenses par la

prime acquise.

Changer le dénominateur selon le type de dépense sert à mieux lier le paiement des dépenses à la prime correspondante.

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Mathématiques et statistique Ratios en tarification

● Ratio combiné

Le ratio combiné est très suivit en assurance, il est un des indicateurs principales de la rentabilité globale d'une ligne d'affaire.

Ratio Combiné = RSP * (1+LAE Ratio) + UW Expense Ratio

Le ratio combiné représente donc la proportion de la prime servant à payer les sinistres et toutes les dépenses. Un ratio de 1.00 implique donc que la compagnie ne fait aucun profit de souscription pour une certaine ligne d'affaire. Un ratio <1.00 impliquerait que la compagnie fait un profit positif et un ratio >1.00 impliquerait une perte (profit négatif).

Note

On doit multiplier le RSP par le LAE Ratio seulement si le RSP ne tient pas déjà en compte les dépenses reliés aux sinistres.