Transcript Cours 8 - Tarification - Indiqué

Faculté des arts et des sciences
Mathématiques et statistique
Partie 2
Principes de tarification de base
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Mathématiques et statistique
Indiqué
Lors des cours précédents, nous avons appris divers techniques servant à ajuster
l'expérience passée à une période de tarification futur.
À l'intérieur de ce cours, nous verrons comment combiner ces divers estimés afin
de déterminer si le niveau courant de taux est adéquat (i.e. Si le profit visé sera
atteint ou dépassé sans aucun changement de taux)
En particulier, nous aborderons deux méthodes principales pour calculer un indiqué
ou en d'autres mots, déterminer le changement de taux nécessaire pour atteindre
un certain seuil de rentabilité.
1) Méthode de la Prime Pure
2) Méthode du Ratio Sinistres-Primes
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Méthode de la Prime Pure
La méthode de la prime pure est considéré comme étant la plus simple et la plus
direct, car elle détermine directement la prime moyenne indiqué au lieu d'un
changement de taux nécessaire.
Cette méthode consiste à projeter les sinistres & LAE moyens ainsi que les
dépenses fixes moyennes par unité d'exposition jusqu'à la période où les taux
entreront en vigueurs.
Le total de ces deux estimés est ensuite ajusté pour prendre en compte les
dépenses variables ainsi que le profit visé.
Note : Prime pure = Sinistres moyens par unité d'exposition
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Méthode de la Prime Pure
P = Prime moyenne indiqué
L = Sinistres projetées
EL = Dépenses reliées aux sinistres (LAE)
EF = Dépenses fixes
V = Dépenses variables en % de la prime
QT = Profit visé en % de la prime
X = Nombre d'expositions
Selon l'équation de base en tarification, on obtient l'égalité suivante :
Prime totale = Sinistres + Dépenses + Profit
Prime totale = (L + EL) + (EF + V*P) + QT*P
Prime totale= (L + EL+ EF) / (1 – V – QT)
P= [ (L+ EL+ EF) / X ] / (1 – V – QT)
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Méthode de la Prime Pure
Exemple 1 : Selon l'information suivante, calculer la prime moyenne indiqué :
- Prime Pure projetée incluant LAE : 300$
- Dépenses fixes projetées par unité d'exposition : 25$
- Dépenses variables : 25%
- Profit visé : 10%
Solution
P= (E(L) + E(EL) + E(EF)) / (1 – V – QT)
P= (300+ 25 ) / (1 – 0.25 – 0.10) = 325/0.65 = 500$
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Méthode du Ratio Sinistres-Primes
La méthode du ratio sinistres-primes est probablement la plus populaire des deux.
Cette approche consiste à comparer le pourcentage estimé de chaque dollar de
prime servant à payer les sinistres & LAE futures et dépenses fixes futures au
montant de chaque prime étant « disponible » pour payer ces coûts.
En d'autres mots, cette méthode compare le ratio sinistres-primes projet avec
un ratio sinistres-primes visé aussi appelé Variable Permissible Loss Ratio (VPLR)
afin de déterminer le changement de taux indiqué :
Variable Permissible Loss Ratio = (1 – V – QT)
(PLR excluant le ratio des dépenses fixes)
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Méthode du Ratio Sinistres-Primes
Pp = Prime totale projetée
Pm = Prime moyenne projetée
P= [ (L+ EL+ EF) / X ] / (1 – V – QT) = (L + EL + EF) / VPLR
Pour arriver à l'équation de la méthode du ratio sinistres-primes à partir de
l'équation la prime pure, on a qu'à diviser par la prime moyenne projetée :
P / Pm = [ (L+ EL+ EF) / (X * Pm)] / (1 – V – QT)
La prime moyenne indiquée divisée par la prime moyenne projetée moins 1.00
représente le changement de taux indiqué pour la période future de tarification.
Pp = P m * X
Chg de taux indiqué= [ (L + EL + EF ) / Pp ] / (1 – V – QT) – 1.00
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Méthode du Ratio Sinistres-Primes
Cette formule peut prendre différentes formes selon les différents termes que l'on a
appris.
Par exemple, si on remplace les dépenses fixes divisés par la prime par le ratio
dépenses fixes (F)
F = E F / Pp
Chg de taux indiqué= [ (L + EL) / Pp + F ] / (1 – V – QT) – 1.00
Si on utilise le ratio des ULAE en fonction des sinistres ainsi que le ratio sinistres
primes projetés :
RSP = Ratio sinistres primes incl. ALAE projeté = (L+ALAE) / Pp
Chg de taux indiqué= [ RSP * (1+ULAE ratio) + F ] / (1 – V – QT) – 1.00
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Méthode du Ratio Sinistres-Primes
Exemple 2 ::A partir de l'information ci-dessous, calculer le changement de taux
indiqué :
- Ratio Sinistres Primes incluant LAE projeté : 65%
- Dépenses fixes projetées : 6.5%
- Dépenses variables : 25%
- Profit visé : 10%
Solution :
Chg de taux indiqué= (0.65 + 0.065) / (1-0.25-0.1) -1.00
= 0.715 / 0.65 -1.00 = + 10%
Pour atteindre le seuil de rentabilité désiré, il faut donc augmenter les taux en
moyennes par 10%.
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Comparaison des Méthodes
Même si les deux méthodes sont mathématiquement équivalente, certaines
différences par rapport à l'information nécessaire feront en sorte qu'une méthode
est préférable à l'autre pour certaines situations.
La différence principale est bien sûr qu'une méthode utilise un ratio sinistres-primes
(sinistres & LAE projetés divisés par prime acquise projeté) et l'autre la prime pure
(sinistres & LAE projetés divisés par les unités d'expositions projetées).
En d'autres mots, la méthode du ratio sinistres-primes nécessite le calcul de la
prime acquise projetée mise à niveau tandis que la méthode de la prime pure
nécessite des unités d'expositions projetées.
À cause de cette différence, la méthode de la prime pure sera toujours préférable
lorsque l'information sur la prime n'est pas disponible ou inadéquate.
Par exemple lorsqu'une compagnie entre dans une nouvelle ligne d'affaire, elle ne
possède aucune historique de prime, mais peu très bien estimer une Prime Pure à
partir de données externes.
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Comparaison des Méthodes
De la même façon, la méthode du ratio sinistres primes sera préférable lorsque
l'information sur les unités d'expositions n’est pas disponible ou inadéquate.
Par exemple une police de responsabilité commerciale peut posséder plusieurs
sous-lignes d'affaire servant à protéger l'assuré contre une multitude de risque,
chacune de ces sous-lignes peut posséder une base d'exposition différente.
L'autre différence majeure est le résultat produit par chacune des deux méthodes,
une produit une prime moyenne à charger et l'autre un changement moyen à
appliquer sur les primes.
Plusieurs actuaires préfèrent utiliser un changement de taux indiqué, car cela
représente bien l'impact moyen que les assurés existant prendraient au
renouvellement si le changement de taux est implémenté.
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Crédibilité
Nous avons précédemment vu comment utiliser l'expérience passée pour
développer des estimés actuarielles du futur.
Selon la loi des grands nombres, lorsque le volume d'unités d'exposition
indépendantes et similaires augmente, l'expérience observée devrait converger
vers la l’espérance des sinistres.
Même si l'expérience de chaque risque varie d'année en année, en assurant un
grand nombre de risque, l'expérience du groupe au complet devrait être plus stable
et plus facile à prédire.
Cependant, le volume d'information utilisé en tarification n'est pas toujours suffisant
pour produire des estimés stables et précis. L'actuaire peut donc utilisé des
méthodes de crédibilité afin d'ajouter de l'information supplémentaire à l'expérience.
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Crédibilité - Critères
La première étape en utilisant la crédibilité est de déterminer à quel point l'estimé
dérivé à partir de l'expérience est fiable. En assumant des risques homogènes, le
% de crédibilité donné à l'expérience observé, dénoté Z, doit respecter les trois
critères ci-dessous :
1) 0 <= Z <= 1.00
2) Z doit augmenter lorsque le nombre de risques de l'expérience augmente. Z est
donc strictement croissant en fonction de n (unités d'exposition)
3) Z doit augmenter à un taux décroissant. La 2e dérivé de la fonction de Z doit
donc toujours être négative.
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Crédibilité Classique
L'approche de la crédibilité classique est probablement la méthode de crédibilité la
plus utilisé à cause de sa simplicité. Dans cette approche, Z est calculé et est utilisé
pour donner un poids à l'expérience observé et à un estimé a priori :
Estimé = Z * Expérience Observée + (1-Z) * Estimé a priori
L'actuaire doit donc déterminer la valeur approprié de Z, pour y arriver, il devra tout
d'abord déterminer le nombre espéré de réclamations nécessaire afin d'avoir une
crédibilité pleine (car les méthodes de crédibilité sont principalement utilisé à cause
de la volatilité des sinistres).
Définissons les variables suivantes :
S = Montant total de sinistres
Y = Nombre total de réclamations
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Crédibilité Classique
L'expérience observée est considérée 100% crédible lorsque la probabilité (p) est
suffisamment élevé pour que l'expérience observée ne soit pas différente de
l'expérience espéré par plus d'un facteur arbitraire (k). En terme statistique, cela se
traduit à :
Pr[ (1-k) * E(S) <= S <= (1+k) * E(S) ] = p
Selon le Théorème Limite Centrale :
(S – E(S)) / Var(S)^0.5 ~ N(0,1)
Comme la loi normale est symétrique, on obtient :
[(1+k)*E(S) – E(S)] / Var(S)^0.5 = z(p+1)/2
Où z(p+1)/2 est la valeur de la table normale correspondant à la probabilité (p+1) /2
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Crédibilité Classique
Nous allons considérer les hypothèses suivantes afin de simplifier les calculs :
1) Les unités d'expositions sont homogènes (i.e. Chaque unité possède la même
espérance du nombre de sinistres)
2) La survenance des sinistres suit une loi Poisson ce qui implique que Var(Y) = E(Y)
3) La sévérité est constante (Sev)
Selon cette hypothèse, la formule de la diapositive précédente se simplifie à :
[(1+k)*E(S) – E(S)] / Var(S)^0.5 = [(1+k)*E(Y) – E(Y)] * Sev / (Sev^2* E(Y)) ^0.5
= k * E(Y) / (E(Y) ^0.5) =
k * E(Y)^0.5 = z(p+1)/2
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Crédibilité Classique
En isolant E(Y), on obtient :
E(Y) = ( z(p+1)/2 / k )^2
Le nombre de sinistres espérés pour atteindre une pleine crédibilité sera donc égale à :
( z(p+1)/2 / k )^2
En d'autres mots : Z = 100% si Y => E(Y)
Si le nombre de réclamations est inférieur au standard de pleine crédibilité, la méthode
de crédibilité classique suggère que la racine carré doit être appliqué au ratio entre le
nombre réel de réclamation et le standard de pleine crédibilité :
Z = ( Y / E(Y) )^0.5 lorsque Y<E(Y)
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Crédibilité Classique
Exemple 4 : Déterminer le changement de taux indiqué crédibilisé à partir de
l'information suivante :
- Considérer que l'expérience est 100% crédible s'il y a une probabilité de 90% que
l'expérience observée soit à +/- 5% de son espérance.
- 100 réclamations sont survenus dans l'expérience observée
- Le changement de taux indiqué de la compagnie est +10%
- Le changement de taux indiqué de l'industrie est de +5%
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Crédibilité Classique
Exemple 3 : Suite...
( z(p+1)/2 / k )^2 = ( 1.645 / 0.05 ) ^2 = 1082
Z = Min[ (100/1082)^0.5, 1.00 ] = 0.30
Chg de taux indiqué crédibilisé =
0.30 * 0.10 + (1-0.3) * 0.05 = + 6.5%
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Complément de Crédibilité
Le complément de crédibilité est le terme générale utilisé pour définir l'expérience utilisé
afin de complété l'expérience observée.
Estimé = Z * Expérience Observée + (1-Z) * Complément de Crédibilité
Comme il peut exister plusieurs compléments de crédibilité possible, il sera pratique de
définir les caractéristiques qu'un complément parfait possèderait :
1) Précis
2) Non biaisé
3) Indépendant de l'expérience observée
4) Disponible
5) Facile à calculer
6) Relation logique avec l'expérience
Cependant, un complément parfait n'existe pratiquement jamais, alors il faudra toujours
sélectionner le plus approprié selon chaque situation.
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Complément de Crédibilité
Utiliser l'expérience des compétiteurs
Lorsqu'une compagnie possède à peine d'expérience dans une ligne d'affaire, il serait
pratique d'utiliser l'expérience de compétiteurs ou de l'industrie au complet afin de
crédibilisé son expérience.
Avantages :
- Relation logique
- Généralement indépendant
Désavantages :
- Pas toujours disponible
- Peut être biaisé à cause de différentes pratiques de souscription/ajustement de
sinistres
- Pas très précis
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Complément de Crédibilité
Utiliser l'expérience d'un groupe plus large
Lorsqu'une compagnie possède à peine d'expérience dans une sous-ligne d'affaire, elle
peut toujours utiliser l'expérience d'une ligne plus large, mais quand même corrélé.
Par exemple, l'expérience en habitation au Canada peut être utilisé comme complément
à l'expérience de chacune des provinces.
Avantages :
- Disponible
- Facile à calculer
- Relation logique
Désavantages :
- Biaisé
- Peut ne pas être indépendant si l'expérience du sous-groupe est inclut
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Complément de Crédibilité
Taux présent inflationné
Lorsqu'il n'y a pas de groupe plus large disponible, l'actuaire peut utiliser les taux
courants comme complément de crédibilité. Normalement, deux ajustements sont fait
avant d'utiliser les taux courants :
1) Comme les assureurs n'implémentent pas nécessairement ce qui est indiqué, les taux
courants devraient être ajusté à partir du dernier estimé disponible.
2) Les taux devraient aussi être ajusté pour refléter les impacts de l'inflation (autant
l'inflation affectant les sinistres que celle affectant les primes), car on tarifie pour une
période future.
Complément = (Facteur d'inflation des sinistres / Facteur d'ajustement des primes) *
(1+Changement de taux indiqué précédent) / (1+Changement de taux implémenté)
Note : La prime pure peut bien sûr être utilisé à la place des changements de taux
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Complément de Crédibilité
Taux présent inflationné
Avantages
- Non biaisé
- Disponible
- Facile à calculer
Désavantages
- N'est pas nécessairement indépendant
- Précision peut varier
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Crédibilité Classique
Exemple 4 : Déterminer le complément de crédibilité selon la méthode des taux présent
inflationnés :
- Prime moyenne présente est de 200$
- L'inflation annuelle des sinistres est de 5%
- Le changement de taux indiqué lors de la dernière analyse était de +10% et la date
visée était le 1er Janvier, 2011
- Le changement de taux implémenté à la place a été de +6% le 1er Février, 2011
- Le prochain changement de taux devrait entrer en vigueur le 1er Janvier, 2013
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Crédibilité Classique
Exemple 4 : Suite...
La période d'inflation est toujours de la date visé du dernier changement de taux à la
date visé du prochain. Donc du 1er Janvier 2011 au 1er Janvier 2013 ( 2 ans)
Le complément de crédibilité est donc égale à :
C = 200 * 1.05^2 * 1.10 / 1.05 = 229$
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Exercices
Voici quelques exercices des examens antérieurs de la CAS
pertinents à la matière de cette section :
Exam 5 – Spring 2012 : #9
Exam 5 – Spring 2011 : #9, #10
Exam 5 – Spring 2010 : #26, # 27, #28
Exam 5 – Spring 2009 : #30, #31, #32
Exam 5 – Spring 2008 : #22, #23, #24, #25, #26, #27
Les numéros en gras ont été faits en classe...
Note
Les exercices sont disponibles sur la site de la CAS à l'adresse suivante :
http://www.casact.org/admissions/studytools/exam5/