Transcript Modelowanie i symulacja

Modelowanie i symulacja
WYKŁAD 4
Przykłady ODE - odsetki
Oprocentowanie konta
 Kwota na koncie: S(t)
 Kwota początkowa: S0
 Różne schematy naliczania odsetek:
codziennie, co miesiąc, co rok, odsetki są
kapitalizowane, lub nie

Przykłady ODE - odsetki

Jeśli np. schemat co rok, z kapitalizacją, to
po pierwszym roku:
S 1  S0  rS0  S0 1  r 
po drugim roku:
S 2  S 1  rS 1  S 11  r   S0 1  r 1  r 
Ogólnie, po t latach:
S t   S0 1  r 
t
Przykłady ODE - odsetki

Przyrost kapitału (100 złotych na początku, 4% w
skali roku)
Rok
1
5
10
30
60
100
150
200
294

Milion po 294 latach!
Kapitał
104,00
121,67
148,02
324,34
1051,96
5050,49
35892,27
255074,98
10181265,29
Przykłady ODE - odsetki
Przykłady ODE - odsetki

Schemat z naliczaniem odsetek co miesiąc,
z kapitalizacją. Po miesiącu:
r 
1

S    S0 1  
 12 
 12 
po dwóch miesiącach:
po t latach:
r 
2

S    S0 1  
 12 
 12 
2
12 t
r 

S t   S0 1  
 12 
Przykłady ODE - odsetki

Przyrost kapitału (100 złotych na początku, 4% w
skali roku)
Rok
1
5
10
30
60
100
150
200
294

Kapitał
104,00
121,67
148,02
324,34
1051,96
5050,49
35892,27
255074,98
10181265,29
Milion już po 290 latach!
Rok
1
5
10
30
60
100
150
200
290
Kapitał
104,07
122,10
149,08
331,35
1097,93
5423,62
39942,35
294156,26
10701341,96
Przykłady ODE - odsetki

Ogólniej, przy naliczaniu odsetek m razy w
roku:
 r
S t   S0 1  
 m
mt
Przykłady ODE - odsetki
Załóżmy „ciągły” model naliczania odsetek
– odsetki są naliczane co t , t  0
 Zmianę kapitału można opisać za pomocą
równania różniczkowego.
 Zapisując równanie różniczkowe nie
staramy się opisać bezwzględnej wartości
kwoty po pewnym czasie, a tylko zmianę
wartości w ciągu t , t  0

Przykłady ODE - odsetki

Przyrost kapitału w Δt:
S t  t   S t 1  rt 
S t  t   S t   rtS t 
S t  t   S t   rtS t 
(r to procentowy przyrost na jednostkę czasu,
jeśli w czasie Δt nie zmieni się, to
procentowy przyrost w tym czasie: rΔt)
Przykłady ODE - odsetki
S t  t   S t 
 rS t 
t
gdy t  0 :
dSt 
 rS t 
dt
S  rS
Przykłady ODE - odsetki

Otrzymane równanie:
S  rS
jest w postaci normalnej:
S  f t , S 
Przykłady ODE - odsetki
Normalna ścieżka rozwiązywania na
naszych zajęciach – przekazanie równania
do systemu numerycznego rozwiązywania
(MATLAB, ode45)
 Można jednak rozwiązać także
symbolicznie:

S t   S0e
rt
Przykłady ODE - odsetki

Rozwiązanie symboliczne
dS
 rS
dt
dS 1
r
dt S
dS d ln S 
r
dt dS
d ln S 
r
dt
ln S  rt  C
S  e rt eC
dla t  0, S 0  S 0
S 0   e r*0 eC  e 0 eC  eC  S 0
S t   S 0 e rt
Przykłady ODE - odsetki
Przykłady ODE - odsetki

Pole kierunkowe
S  rS
Przykłady ODE - odsetki



Równania różniczkowe określają relacje względne
– przyrosty (gradienty) zależne od wartości
zmiennych stanu – obrazuje to pole kierunkowe
Rozwiązanie równań różniczkowych, to
znalezienie takiej krzywej (trajektorii), która w
każdym punkcie „pasuje” do pola kierunkowego –
jej pochodna jest zgodna z pochodną określoną
przez równania różniczkowe
Konkretny przebieg trajektorii zależy od wartości
początkowych zmiennych stanu
Przykłady ODE - odsetki


Opis zjawiska można komplikować
Np. można uwzględnić stały ubytek kapitału
(regularne wypłaty):
S  rS  k

Nie komplikuje to bardzo zapisu równania
różniczkowego (nadal postać normalna), nieco
komplikuje rozwiązanie symboliczne:


k rt
S t   S 0 e  e  1
r
rt
Przykłady ODE - odsetki

Można założyć oprocentowanie i wypłaty
zmienne w czasie. Wtedy opis różniczkowy:
np.:
S  r t S  k t 
 2t 
 2t  1.2t

S  r0 sin
S  k0 sin
e
 365
 30 
Przykłady ODE - odsetki
Rozwiązanie numeryczne takiego problemu
nie nastręcza żadnych dodatkowych
trudności – nadal mamy równanie w postaci
normalnej
 Rozwiązanie symboliczne może już być
kłopotliwe, zależnie od postaci r(t), k(t)

Przykłady ODE - populacja
Zupełnie to samo prawo rozrostu populacji,
nazywane prawem Malthusa
 np. populacja bakterii, mnożących się przez
podział z szybkością k podziałów na
jednostkę czasu:

dN t 
 kN t 
dt
N  kN
Przykłady ODE - populacja
Prawo Malthusa nie uwzględnia żadnych
limitów przyrostu populacji i nie modeluje
np. danych o populacji ludzkiej
 Inny model:

N  u  z N
gdzie u – tempo narodzin, z – tempo zgonów
Przykłady ODE - populacje
Jeśli u, z są stałe, to powyższy model jest
równoważny z modelem Malthusa
 Jednak, zwykle tempo narodzin zależy od
wielkości populacji
 Np. populacja krokodyli, wstępnie 100
osobników, niech u=0.0005*N, z=0, wtedy:

2

N  0.0005N
Przykłady ODE - populacje

Rozwiązanie symboliczne:
2000
N t  
20  t
prowadzi do dość dziwnej konkluzji: po 20
latach populacja krokodyli będzie dążyła do
nieskończoności
Przykłady ODE - populacja
Model z ograniczeniami: obserwuje się, że
wraz ze wzrostem populacji spada tempo
narodzin (względne). Przyczyną mogą być
np. ograniczone zasoby żywieniowe
 Tak więc tempo narodzin:
u  u0  u1 N

Przykłady ODE - populacja

Model:
N  u0  u1 N  z N
2

N  u0  z N  u1 N