Transcript DM 14 Stereometrie a prostorová představivost

Didaktika matematiky KAG/MDIM7
Stereometrie
a prostorová představivost
Motto:
„Představivost je překrásnou a ohromující
schopností člověka.
Rozvinutá prostorová představivost je
důležitým prvkem obecné kultury.
Geometrie, která vyžaduje představovat si
geometrické útvary v jejich ideální
přesnosti a logické určenosti, dodává
prostorové představivosti na jemnosti,
přesnosti a vytříbenosti.
A. D. Alexandrov
Geometrii lze chápat jako:
způsob vidění a poznávání světa,
podtext některých filosofických směrů,
grafickou komunikaci - způsob
„zápisu“ informací,
součást matematiky s hojnými
vazbami k praxi,
vyučovací předmět, ve kterém se
rozvíjí geometrická představivost.
Stereometrie
Výchovné cíle :
- Rozvoj prostorové představivosti
- Rozvoj logického myšlení
Vzdělávací cíle:
- Úlohy polohy (vzájemné polohy, ax. systém)
- Metrické úlohy (definice, kriteria)
- Tělesa (tvary, objemy, povrchy, řezy..)
- Shodná zobrazení v prostoru
- Zobrazování prostorových situací (VRP, MP)
Problémy
 prostorové podněty se hůře kládají v mozku
 obtížnost vztahů
 3D situace nelze zobrazit přímo ve 2D, nýbrž
prostřednictvím různých zobrazovacích metod
Volné rovnoběžné promítání
Kombinace VRP a KP
Mnohostěny
 - viz DM 14a Mnohostěny
 - viz DM 14b V prostoru
Geometrická představivost
je schopnost představovat si
vlastnosti geometrických útvarů:
tvar,
polohu,
velikost,
umístění.
Nikdy není tak zle…
… aby nemohlo být hůř.
Co to je prostorová představivost ?
Perenčaj a Repáš (1985):
„Mohli by sme povedať, že je to akési
videnie priestoru. Problém je v tom, že
nestačí priestor vidieť, ale je nutné si ho i
zvedomovať.“
Gardner (1999)
Pod pojem prostorová představivost
zahrnuje prostorovou inteligenci,
jejímž jádrem jsou schopnosti, které
zajišťují přesné vnímání vizuálního
světa, umožňují transformovat a
modifikovat původní vjemy a vytvářejí
z vlastní zkušenosti myšlenkové
představy, i když žádné vnější
podněty nepůsobí.
Geometrická prostorová představivost
soubor schopností týkajících se
reprodukčních i anticipačních,
statických i dynamických představ
o tvarech, vlastnostech a
vzájemných vztazích mezi
geometrickými útvary v prostoru.
(Molnár 2004)
Na úroveň prostorové představivosti mají vliv
vnitřní faktory
 hladina pohlavních hormonů v prenatálním stadiu vývoje jedince,
 jejich aktuální stav v organizmu,
 celkový stav organismu,
vnější faktory

geografické, sociální a kulturní prostředí,

výchova a učení.
Metodika rozvoje prostorové
představivosti
 Model (+„vzdušná“ geometrie)
 Obrázek (+anaglyfy, stereomerické
diapozity, 3-D, počítačové
simulace atd.)
 Představa
Ze školních kuloárů
„Úroveň prostorové
představivosti i znalostí ze
stereometrie žáků se snižuje.“
Longitudální šetření
…úrovně prostorové představivosti
V letech 1984 – 1987 bylo prověřeno
870 žáků 2. stupně základních škol,
všech tří proudů středních škol a
studentů učitelství všeobecně
vzdělávacích předmětů.
Ve školním roce 2007/2008 byl celkový
počet respondentů 536 ze sedmi
středních škol.
Zadání didaktického testu
 1. úloha: rozviňte plášť krychle všemi
možnými způsoby (4 body).
 2. úloha: načrtněte těleso, které lze bez mezer
protáhnout všemi vyznačenými otvory (4
body).
3. úloha: naviňte na krychli drát podle
tří průmětů.(3 body)
bokorys
nárys
půdorys
4. úloha: načrtněte bokorys a názorný obrázek
tělesa, znáte-li jeho nárys a půdorys (4 body).
nárys
půdorys
Výsledky
6
5
4
rok 1984-1987
3
rok 2007-2008
2
1
0
1
2
3
4
5
…znalostí z učiva stereometrie
V letech 1984/1985 bylo prověřeno
523 žáků 14 základních a středních
škol.
V roce 2007/ 2008 bylo prověřeno 451
respondentů z 9 škol.
Test znalostí z učiva stereometrie
Příklad 1
Je dán trojboký kolmý hranol (viz obr.).
Určete:
a) dvě dvojice mimoběžek,
b) libovolnou přímku rovnoběžnou s rovinou ABB´,
c) dvě různoběžné roviny,
d) jejich průsečnici.
Příklad 2
Těleso je složeno z válce a polokoule. Válec má výšku
42 cm a průměr 30 cm shodný s průměrem polokoule.
Vypočtěte objem tohoto tělesa.
Příklad 3
Věžička má tvar pravidelného čtyřbokého jehlanu
s podstavnou hranou 0,8 m. Výška věžičky je 1,2 m.
Vypočtěte spotřebu barvy na natření této věžičky,
spotřebuje-li se 1 kg barvy na 6 m2.
Příklad 4
Kostka má vždy sousední stěny natřené stejnou
barvou. Je rozřezána na malé kostičky. Napište, kolik
kostiček je natřeno:
a) pouze jednou barvou,
b) pouze dvěma barvami,
c) pouze třemi barvami,
d) žádnou barvou.
Sledovaný jev
Relativní četnost v %
(1984/1985)
(2007/2008)
1.
a) určení mimoběžek
b) určení rovnoběžné přímky
c) určení různoběžných rovin
d) určení průsečnice
e) symbolické zápisy
68
71
67
49
65
51
42
31
16
40
2.
Náčrt
Dosazení do vzorce (válec)
Dosazení do vzorce (koule)
Určení objemu polokoule
Určení objemu tělesa
Odpověď
21
85
59
45
39
12
71
78
36
26
26
0
(1984/1985)
(2007/2008)
3. Náčrt
Stanovení výpočtu Q
Vzorec pro S
Znalost Pythagorovy věty
Užití Pythagorovy věty
Určení spotřeby barvy
Odpověď
20
9
14
24
12
13
3
53
49
18
24
12
1
0
4. a) počet kostek s 1 barvou
b) počet kostek se 2 barvami
c) počet kostek se 3 barvami
d) počet kostek bez barvy
30
18
26
18
34
34
28
26
Výsledky
60
80
70
50
60
40
50
rok 1984-1985
40
rok 2007-2008
30
rok 1984-1985
30
rok2007-2008
20
20
10
10
0
0
a
b
c
d
1
e
90
2
3
4
5
6
7
8
35
80
30
70
25
60
50
rok 1984-1985
40
rok 2007-2008
30
20
rok 1984-1985
15
rok 2007-2008
10
20
5
10
0
0
1
2
3
4
5
6
a
b
c
d
Závěr:
Výsledky poukazují na snižující se
úroveň prostorové představivosti i
znalostí ze stereometrie.
Všeobecná inteligence a
geometrická představivost
Pomocí Amthauerova I-S-T bylo testováno
60 dívek a 44 chlapců ve věku 15 let (PPP
Olomouc – profesní orientace) porovnávány
byly výsledky naměřeného IQ s výsledky
subtestu č. 8 (Úlohy s kostkami) pomocí
programu STATISTICA.
Byla prokázána korelace mezi všeobecnou
inteligencí a prostorovou představivostí
(korelační koef. 0,425) na hladině
významnosti 0,01.
IQ a PP - WISC III
U 54 chlapců a 54 dívek byla pomocí
Studentova t-testu prokázána korelace
(0,7212) výsledků subtestu Cubes a
všeobecného IQ získaných
prostřednictvím Wechslerova testu
inteligence WISC III.
Existuje vztah mezi matematickými
schopnostmi a všeobecnou inteligencí
u nadprůměrně nadaných jedinců?
22 dívek, 24 chlapců, 16-18 let,
I-S-T 2000 R,
PPP Ostrava (E. Witásková)
IQ
Průmě
r
r
Celkový
126,33 1,00
Verbální
126,57 0,39
Numerick 120,50 0,55
ý
Figurální 119,37 0,46
Některé příčiny nízké úrovně prostorové
představivosti
Motto:
„ Geometrie je do školy nevhodná.“
Posluchačka M-X při zkoušce z KG
Zjištěné příčiny:
-
nedocenění významu prost. představivosti,
nedostatečná časová dotace,
malá připravenost učitelů,
nerespektování ped.-psych. zásad,
opomíjení stereometrických úloh u přij. zkoušek,
aj.
Analogie ve vyučování stereometrii
 Využívá se analogie mezi uspořádáním objektů v
rovině (bod, přímka) a v prostoru (bod, rovina) k
urychlení výkladu alepšímu zapamatování učiva.
 Např.: „V rovině lze vést daným bodem k dané přímce
jedinou rovnoběžku.“ Analogicky: „V prostoru lze vést
daným bodem jedinou rovnoběžnou rovinu s danou
rovinou.“
 Ale pozor! „V rovině lze daným bodem vést k dané
přímce jedinou kolmici.“ Ale „V prostoru lze daným
bodem vést k dané rovině nekonečně mnoho kolmých
rovin.“ Analogie zde nefunguje.
 Nicméně lze nalézt jinou analogii: „ V prostoru lze
daným bodem vést jedinou kolmici k dané rovině.
Další směry výzkumu
 Lateralita a prostorová představivost
 Prostorová představivost mužů a žen
 Prostorová představivost a mimořádné nadání
(např. pomocí magnetické rezonance)