Transcript 由數學教學本質談數學教室的經營

數學可以這樣學數
國中小數學教育閒談
張英傑
1
[email protected]
國立臺北教育大學
數學暨資訊教育學系
2011 Spring NTUE Dr.ijChang2010 Fall NTUE
2010 Fall NTUE Dr.ijChang
Dr.ijChang
2011/03/27(Sat)09:00-11:00
新北市南山中學
2011 Spring NTUE Dr.ijchang
2
日本 9.0 地震、海嘯、核
災
3
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能活著，
真好!
50個福島電廠現代武士
50個都是準備當烈士的
--很專業又不失幽默
的解答
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福島電廠會像原子彈
一樣爆炸嗎？
我們為人父母、祖父母…
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要教孩子甚麼
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!?
弟子規
汎愛眾

聖人訓 首孝弟 次謹信
而親仁 有餘力 則學文
(20110306)週日看見南山中學王繼光校長應家
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長會之要求，將生活品德教育違規待加強的
學生，在假日上午留校寫〈弟子規〉書法，
並背誦完成後，方能改過銷案，看見這所以
美育風格為主的私立高中，學藝術的校長帶
著老師與家長志工，忙著指導學生寫書法，
並笑著對我们說：「要“整”學生，結果整
到自己！」
6
安身 安生 安心
 心存「善解」:
從改變觀念開始。
，是他人從未獲得的。
 其次是「感恩」，若能以感恩的心來面對一切，會
發現獲得的遠比付出的多。
 最後是「包容」:不妨換個角度、設身處地為對方
想，有時候退一步並不代表輸，容人所不能忍的，
是一種修養，也能讓心性變得更圓融，也更寬廣。
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 首先「知足」:不抱怨自己，說不定，你所擁有的
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國中小數學…
教甚麼？
怎樣教？
學甚麼？
怎樣學？
漫畫River’s 543
Ing-Jye Chang
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現行中學教育的缺點?!
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（一）偏重分數與升學的準備
（二）偏重書本中死的知識的記憶
（三）偏重從符號中學習
（四）偏重零碎知識的灌輸
省立台北成功中學生活中心教育實驗研究委員會主編(中
華民國四十八年五月一日) <<生活中心教育>>
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Ing-Jye Chang
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沒問題!有問題? (李美穗2010)
高年級教師數學教學信心不足
?!
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Dr.ijChang
?!
國小學生數學學習態度低落
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?!
國小數學教師專業受到質疑
教學本質在數學概念 :
教甚麼(Curriculum)? 怎樣教(Instruction)?
What?
When?
Why?
Where?

How?
Whom?
Who?
(5分) 請就每一位學生的解法和答案，分別予評分，並說 明理由。
4
2
3
5
7
有 公斤的糖，每 公斤裝成一袋，儘量裝完
時，可裝成幾袋？還剩下幾公斤？

2 5 14 5 14 7 98
8
4       6
3 7 3 7 3 5 15
15
8
答：可裝成6袋，還剩下 15
公斤。

(學生乙做法)
2 5 14 5 14 7 98
4        98  15  68
3 7 3 7 3 5 15
答：可裝成6袋，還剩下8公斤。
(學生丙做法)
2
5
4
3

7

14
5
98
15
8



 6 
3
7
21
21
21
答：可裝成6袋，還剩下
8
21
公斤。
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(學生甲做法)
13
學生甲
做法
14 5
1
0
0
0
學生乙
做法
1
5
9
2
1
2
學生丙
做法
2
0
7
6
4
1
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5分 4分 3分 2分 1分 0分
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N = 20
由程序操作中衍生概念理解!
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Procept =
Procedure +
Concept
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計算熟練奠基於瞭解概念!
23 × 56 = 1268
直式算則
23
× 56
168
112 .
1288
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16
23
× 56
138
115
1288
孩子要知道
當下他/她在做甚麼?
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How?

Why?

What?

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【河內之塔(TOWER OF
HANOI)】
 有三根豎立的柱子，其中一根穿有64片
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不同半徑的同心圓片(由小到大方式往
下排列)。當有人依照下列兩條規定，
將此64片同心圓，移到另外一根柱子時
，則這個世界將會毀滅。
 這兩條規定是：「(1)每一次只能移動
一片(2)在每次移動的過程當中，較大
的圓片，不能蓋在比較小的圓片上。」
 問題：
「為什麼世界到現在還不會毀滅？」
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若有N個盤子，則移動完畢所需之次數為
2^N - 1

所以當盤數為64時，則所需次數為：
假設每秒鐘搬一個盤子為5.05390248594782e+16年
，也就是約5000世紀，
 約5850億年左右。

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264- 1 =
18446744073709551615
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解決問題 與邏輯思考

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瞭解問題
擬訂計畫
執行計畫
回顧答案
*解題方法/解題策略
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樣式(PATTERN)
尋找
規律
規律
公式
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……
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關係
數列（SEQUENCE）函數（FUNCTION)
第6個數與第7個數是多少？
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1, 2, 4, 8,
16, ?, ?,…
x = 1,2,3,4,5 
y = 1, 2, 4, 8, 16
(1) x =6, y = ?
(2) x =7, y = ?
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【分割區域】(GENERALIZATION一般化)
 連結圓周上2點可將圓分成2個區域。連結圓
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周上3點可圓分成4個區域。連結圓周上4點可
將圓分成8個區域。
 (1) 如果圓周上有6點，連結這6點可將圓最多
分成幾個區域？ 答：
個
 (2) 如果圓周上有7點，連結這7點可將圓最多
分成幾個區域？ 答：
個
 (3) 如果圓周上有n點，連結這n點可將圓最
多分成幾個區域？
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參考解答
VS.
標準答案
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開放問題
答案開放
方法開放
條件開放
WIN的策略：
What If Not
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從算術走到代數來來去去!
以符號代表變數
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以符號代表未知數
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雞兔同籠
（請用2 種以上方法解題）
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雞兔各幾頭？
32 條腿，
雞兔同籠共12頭
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數學遊戲…戲遊學數
不要讓孩子成為教室的「客人」！
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讓孩子喜歡學數學
不拒絕學數學
不討厭學數學
不逃避學數學
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邏輯思考與英語單字
將撲克牌同花色1~13十三張牌
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正面向下疊成一堆
依序逐 一唸出每一個字母one,
two, three, four, five,…,ten,
eleven,tweleve,thriteen
也依序拿出該張號碼牌
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計算機魔術 →電話號碼
~JUST
FOR FUN!
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一‧ 請對方將電話前四碼鍵入計算機
二‧ X 80 =
三‧ + 1 =
四‧ X 250 =
當然不是！！
五‧ + 電話號碼後四碼 =
六‧ + 電話號碼後四碼 =
七‧ - 250 =
八‧ 請確認螢幕上數字是否為正確的電話號碼
37
原理解說
令前四碼為x，後四碼為y
 [(80*x+1)*250+y+y-250]/2
=(20000x+2y)/2=10000x+y
電話號碼(八碼)
80*250=20000

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也可以用手機號碼喔~
(扣掉0不算，有九碼，
將80換成800即可
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數學猜謎
兩牛相鬥
(猜數學名詞）
爺爺競賽
 7 ÷ 8 (猜成語）
1000 的平方 = 100 的立方
 3 < x < 4

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員
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人本數學
學生學得有意義
數學教育之發展，就靠研究之推動。
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老師教得有感覺
40
HTTP://NUMBERYOURDAYS.COM/
There
have been 22,768 days
since 你的生辰八字
hrs由程序操作中衍生概念理解!
32,785,520
mins
1,967,155,200
secs
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546,432
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離屆齡退休…有感覺?!
There
are973 days
until屆齡退休
hrs
1,401,120
mins
84,067,200
secs
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23,352
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教育體制改革永遠是夢？
數學教學
Myth：理想與現實之掙扎
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（一）課本上的所有東西都要教完？！
（二）教過的所有東西都要考試？！
（三）測驗是考學生不會的地方？！
43
43
Ing-Jye Chang
檢定考試
格式
時機
運用
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內涵
中一中高一陳和謙 AMC10滿分
〔記者胡清暉／台北報導〕全球同步舉行的美國中學
數學分級能力測驗AMC10、AMC12成績公布，
AMC10全球有十六名滿分學生，台灣唯一滿分的是
台中一中高一學生陳和謙。台灣AMC10的平均分數
比全球高了二十七分，AMC12平均比全球高十三分
，表現不錯。
 全球16人滿分

http://www.libertytimes.com.tw/2011/new/mar/24
/today-life18.htm
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
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由美國數學協會主辦的AMC測驗，分為AMC8（國
二以下）、AMC10（高一以下）、AMC12（高三
以下）。今年AMC10、AMC12於二月初在台、美
、加、星等二十多個國家及地區，超過二十萬名中學
生參加測驗，台灣約一萬五千人報名。
 AMC10台灣平均九十五．五分，遠高於全球平均的
六十七．八二分。陳和謙曾於小學六年級獲得AMC8
滿分，去年國二時跳級考國中基測，以四百一十分高
分，進入台中一中就讀，今年是第三度參加AMC10
，拿下一百五十分滿分。

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建構數學 讓學生變笨？
數學能力 我全球第一
畫」在五十七國，獲得
數學全球第一及
科學全球第四的耀眼佳績，閱讀領域則
排名第十六。
學生基礎素養國際研究計畫
（PISA2006）
PISA2009 ?!
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〔記者李文儀／台北報導〕建構式數學不像外界批判
的一無是處，課程改革也沒有讓學生越改越笨！台灣
首度參加簡稱ＰＩＳＡ的「學生基礎素養國際研究計
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國際教育學習成就調查委員會（International
Association for the Evaluation of Educational
Achievement，IEA）
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1970年 第一次國際數學與科學教育成就調查
FIRST INTERNATIONAL MATHEMATICS AND
SCIENCE STUDY
1980年 第二次國際數學與科學教育成就調查(SIMSS)
SECOND INTERNATIONAL MATHEMATICS AND
SCIENCE STUDY 1990年 第三次國際數學與科學教育成
就研究(TIMSS)
THIRD INTERNATIONAL MATHEMATICS AND
SCIENCE STUDY
1999年 第三次國際數學與科學教育成就研究後續調查
(TIMSS-R) ※之後每4年舉辦一次 (REPEAT)
TIMSS 2003年/ TIMSS 2007年/ TIMSS 2011年/ TIMSS
2015年
TREND INTERNATIONAL MATHEMATICS AND
48
SCIENCE STUDY
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TIMSS 主要內容領域：
2. 科學
四年級：生活科學、自然科學、地球科學
八年級：生物、化學、物理、地球科學
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1. 數學
四年級：數、幾何圖形與測量、資料呈現
八年級：數、代數、幾何、資料與機率
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Programme for International
Student Assessment（PISA）
學生基礎素養國際研究計畫 (2006)
學生能力國際評估計劃（PISA）
国际学生评估项目（PISA）
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學生能力國際評量計劃(2009)
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56
學生基礎素養國際研究計畫（PISA）
“PROGRAMME FOR INTERNATIONAL STUDENT
ASSESSMENT“
2006
2009
2012
ORGANIZATION FOR ECONOMIC COOPERATION AND
DEVELOPMENT (OECD)
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2000
2003
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每次評量會詳細測試一個學科領域，大約佔全部施測時間的三分之二，其學
科週期的排列如下:
2000
2003
2006
2009
2015
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閱讀
2012
數學
科學
問題解決
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PISA研究的宗旨PURPOSES
 PISA研究的宗旨是針對十五歲學生，生活知
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能的學習成效提供跨國際的比較，以及各國教
育效能的分析，並由此界定國民素養的內涵。
 PISA評量計劃為檢視學校教育結構如何影響
教育產出的品質和均等，
 而關於教育均等議題的探討，主要聚焦在社會
經濟背景指標所能解釋的變異比率。亦即國家
內公私立學校、城鄉間、各族群 (種族，移民
類別)間，教育品質和受教育的機會是否公平均
等。
59
數學素養（MATHEMATICAL LITERACY）
數學素養所關注的是學生應用習得的數學能力去面對
未來挑戰的能力。
 這些能力包括分析、推理以及有效的溝通概念，測驗
學生是否能透過形式、公式解決不同領域與情境的數
學問題。

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Numeracy
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M037：農場
在這你所看到的是一張有三角形屋頂的農場照片。
下面是一個學生依據對這個農場的屋頂做進一步測量結果
所做出的數學模型。
“
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

M124：步行
上圖代表一個男人步行的腳印。長度 P 表示兩個連貫腳步中後腳
跟之間的距


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
離。對於男人，下列公式表示
n 與 P 之間的大略關係：
“
n：每分鐘的步數
P：一步跨出去的長度（公尺）
64
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M159：賽車速度

下圖顯示一輛賽車在跑第二圈時，沿著一個平坦、3km 長軌道的速度變化。
“
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臺灣PISA 2009 精簡報告
 在閱讀素養方面，臺灣學生平均數為495
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分
，與2006 年的496 分相近，而韓國和芬蘭是
OECD 閱讀表現最好的國家，平均數分別是
539 和536，而夥伴經濟體的上海平均數為
556，表現極為突出。
 在數學素養方面，臺灣學生平均數為543，
比2006年退步6 分，與第四名的韓國並未達
統計上的顯著差異。
 在科學素養方面，臺灣學生平均數為520，
比2006 年退步12 分，名次的下滑也同樣值66
得注意。
2010年度教育热点：PISA测试上海第一震惊世界

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2009年第四次国际学生评估项目(PISA)测试
中，上海152所学校5115名学生的平均成绩为556
分，在阅读、数学和科学素养三方面的成绩均排
名全球第一。其次为韩国(539分)、芬兰(536分)和
中国香港(533分)，美国学生排名第26位。PISA测
试意在测试世界各地公立学校中15岁学生解决阅
读、数学、物理和化学问题的能力。该测试重点
是看学生全面参与社会的知识和技能，对学生阅
读、数学和科学能力的考察并不限于书本知识，
还包括成年人生活中所需的知识和技能。参与测
试评估的国家包括经合组织的34个成员国，以及
该组织之外的(加誌：21个)其他国家和地区。

http://www.sina.com.cn 2010年12月30日 14:59 新浪教育[ 微博 ]67
新浪教育
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PISA 2009 的參與國家或地區

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OECD 成員 夥伴國家／地區
澳洲、奧地利、比利時、加拿大、智利、捷克、丹麥
、芬蘭、法國、德國、希臘、匈牙利、冰島、愛爾蘭
、義大利、以色列、日本、韓國、盧森堡、墨西哥、
荷蘭、紐西蘭、挪威、波蘭、葡萄牙、斯洛伐克、西
班牙、瑞典、瑞士、土耳其、英國、美國
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PISA 2009 的參與國家或地區

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夥伴國家／地區
臺灣、上海、香港、澳門、新加坡、泰國、印尼、阿爾巴尼亞、
亞塞拜然、保加利亞、克羅埃西亞、哈薩克、吉爾吉斯、拉脫維
亞、列支敦斯登、立陶宛、羅馬尼亞、俄羅斯聯邦、塞爾維亞、
約旦、卡達、阿根廷、巴西、哥倫比亞、巴拿馬、秘魯、突尼西
亞、烏拉圭、愛沙尼亞、杜拜、千里達及托巴哥、斯洛維尼亞、
蒙特內哥羅
69
获选理由
经济合作与发展组织(OECD)公布
2011 Spring NTUE Dr.ijChang
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了国际学生评估项目(PISA)调查，
在全球47万名中学生的角逐中，上
海中学生以全部三项测试第一的成
绩让世界惊异。
“这让我们又有了当年苏联抢先将
人造卫星送入太空时美国人的震撼
感。”美国《纽约时报》对此发出了
如此高评价。
70
70
Sputnik 震撼彈
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2011/01/25 美國總統歐巴馬國情咨文
 震憾來自中國、印度、南韓
 美國背負一兆多億赤字
 建設、教育、貿易、軍事
 Sputnik (1957/10/04蘇俄發射第一顆人造衛
星)
 1961/04/12蘇俄第一位太空人升空
 美國總統甘迺迪剛上任提出十年太空發展計畫
 1969/07/20美國太空人阿姆斯壯登上月球 71
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數學教育的基礎
2011 Spring NTUE Dr.ijChang2010 Fall
NTUE(Dr,ijchang)
NTUE Dr.ijChang
72

引自邱于真(2010)< NTU學生學習成果導向宣導小組ppt>

台灣大學教務處教學發展中心
2011 Spring NTUE Dr.ijChang2010 Fall
2010 Fall NTUE Dr.ijChang
NTUE Dr.ijChang

73
觸動心靈：台灣經緯度
台灣在赤道以北，
 緯度北緯廿二點二度至廿四點七度之間，
 經度東經一百一十九點五度至一百廿一點五度之間；

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2010 Fall NTUE Dr.ijChang
NTUE Dr.ijChang
Question:在北半球的台灣，劃一直線，經過球心，會
到達南半球的哪一個地方?
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2011 Spring NTUE Dr.ijChang2010 Fall
2010 Fall NTUE Dr.ijChang
NTUE Dr.ijChang
節錄自：http://mag.udn.com/mag/campus/storypage.jsp?f_ART_ID=21240

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「美麗之島」: Formosa的真相
節錄自：http://www.nownews.com/2007/11/15/515-1768980.htm
2011 Spring NTUE Dr.ijChang2010 Fall
2010 Fall NTUE Dr.ijChang
NTUE Dr.ijChang

雞生蛋?蛋生雞? 不懂就問!不會就學!
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玩魔數：1x1x1x1 = ?
1乘1，乘以十次，答案會變多

答案很簡單，當然是「1」啦。
2011 Spring NTUE Dr.ijChang2010 Fall
2010 Fall NTUE Dr.ijChang
NTUE Dr.ijChang
少呢？
77
玩魔數： ：
1.1x1.1x1.1x1.1 = ?
變多少呢？

答案很簡單?!
猜猜看:
正確答案多少呢？
2011 Spring NTUE Dr.ijChang2010 Fall
2010 Fall NTUE Dr.ijChang
NTUE Dr.ijChang
1.1乘1.1，乘以十次，答案會
78
1.1乘1.1，乘以十次

要不要用計算機算一下？答案約
2.59
1.21
1.331
1.4641
1.61051
1.771561
1.9487171
2.1435866
2.3579476
2.5937423
2011 Spring NTUE Dr.ijChang2010 Fall
2010 Fall NTUE Dr.ijChang
NTUE Dr.ijChang
1.1x1.1=
1.1x1.1x1.1 =
1.1x1.1x1.1x1.1 =
1.1x1.1x1.1x1.1x1.1 =
1.1x1.1x1.1x1.1x1.1 x1.1 =
1.1x1.1x1.1x1.1 x1.1x1.1x1.1 =
1.1x1.1x1.1x1.1 x1.1x1.1x1.1x1.1 =
1.1x1.1x1.1x1.1 x1.1x1.1x1.1x1.1x1.1 =
1.1x1.1x1.1x1.1 x 1.1x1.1x1.1x1.1x1.1 x1.1 =
79
玩魔數：
0.9x0.9x0.9x0.9 = ?
變多少呢？

答案很簡單?!
正確答案多少呢？
猜猜看:
2011 Spring NTUE Dr.ijChang2010 Fall
2010 Fall NTUE Dr.ijChang
NTUE Dr.ijChang
0.9乘0.9，乘以十次，答案會
80
0.9乘0.9，乘以十次

要不要用計算機算一下？答案約
0.35
0.81
0.729
0.6561
0.59049
0.531441
0.4782969
0.4304672
0.3874204
0.3486783
2011 Spring NTUE Dr.ijChang2010 Fall
2010 Fall NTUE Dr.ijChang
NTUE Dr.ijChang
0.9x0.9 =
 0.9x0.9x0.9 =
 0.9x0.9x0.9x0.9 =
 0.9x0.9x0.9x0.9x0.9 =
 0.9x0.9x0.9x0.9x0.9x0.9 =
 0.9x0.9x0.9x0.9x0.9x0.9x0.9=
 0.9x0.9x0.9x0.9 x0.9x0.9x0.9x0.9=
 0.9x0.9x0.9x0.9x0.9x0.9x0.9x0.9x0.9 =
 0.9x0.9x0.9x0.9 x0.9x0.9x0.9x0.9x0.9x0.9=

81
Ｑ: 您想到甚麼?

0.9乘0.9，乘以十次，
答案約0.35
2011 Spring NTUE Dr.ijChang2010 Fall
2010 Fall NTUE Dr.ijChang
NTUE Dr.ijChang
1.1乘1.1，乘以十次
，答案約2.59

82
理念（理想與信念）
人本數學

學得有意義
2011 Spring NTUE Dr.ijChang2010 Fall
2010 Fall NTUE Dr.ijChang
NTUE Dr.ijChang
教得有感覺
83

態度
情境脈絡
2011 Spring NTUE Dr.ijChang2010 Fall
2010 Fall NTUE Dr.ijChang
NTUE Dr.ijChang
信念理想
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省思
學生
知識
學科
教學
評量
珍古德 (JANE GOODALL)
關懷？
瞭解！
唯有瞭解，才能關懷；
唯有行動，生命就可變得不一樣；
唯有參與，才能瞭解。
Only if we can understand ， can we care.
Only if we care ， will we help.
Only if we help， shall we be saved.
2011 Spring NTUE Dr.ijChang2010 Fall
Ing-Jye Chang
NTUE Dr.ijChang
唯有關懷，才會行動；
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證嚴法師開示：
Just do it ！
做就對了！
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＋
用 心
＋
耐 心
>>>
信 心
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Ing-Jye Chang
NTUE Dr.ijChang
有 心
EDUCATION
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NTUE Dr.ijChang
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謝意與敬意
2011 Spring NTUE Dr.ijChang2010 Fall
2010 Fall NTUE Dr.ijChang
NTUE Dr.ijChang
大家一起為台灣數學教育打拼
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