Transcript PPS - Zavod za matematiku

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU
FAKULTET KEMIJSKOG INŽENJERSTVA I TEHNOLOGIJE
ZAVOD ZA MATEMATIKU
SEMINARSKI RAD
NATJECATELJSKI
LOTKA – VOLTERRA MODEL
Za kolegij: Matematičke metode u inženjerstvu
Studij: Ekoinženjerstvo
VODITELJI:
Dr. sc. Ivica Gusić, red. prof.
Dr. sc. Miroslav Jerković, docent
Zagreb, rujan, 2012.
STUDENTI:
Bojan Džebrić
Mirzet Velagić
Berislav Vulin
Natjecateljski Lotka – Volterra model
Alfred J. Lotka (1880. – 1949.)
Vito Volterra (1860. – 1940.)
Obojica u isto vrijeme, ali nezavisno postavili model grabežljivca i plijena.
Natjecateljski Lotka – Volterra model
Jednodimenzionalni sustav
Dvodimenzionalni sustav
Natjecateljski Lotka – Volterra model
Parametri:









koeficijent natjecanja, α
α12 – utjecaj vrste 2 na populaciju vrste 1
α21 – utjecaj vrste 1 na populaciju vrste 2
kapacitet nosivosti, K
K1 - kapacitet nosivosti vrste 1
K2 - kapacitet nosivosti vrste 2
stopa rasta, r
r1 - stopa rasta vrste 1
r2 - stopa rasta vrste 2
Izokline
To su pravci koje dobijemo kada su brzine promjene populacija
jednake 0.
Kad je dN1/dt = 0:
K1
1
N2 

N1
 
Kad je dN2/dt = 0:
N2  21 N1  K2
Izokline
Izoklina 1. vrste:
Izoklina 2. vrste:
Fiksne točke


trivijalne (N1, N2) = (0, 0); (N1, N2) = (K1, 0)
netrivijalne su presjeci izoklina, koje se dobiju rješavanjem sustava
jednadžbi:
K1 – N1 – α12N2 = 0
K2 – N2 – α21N1 = 0

rješenjem sustava dobije se jednadžba:
K1  12 K 2 K 2   21 K1
( N1 , N 2 )  (
,
)
1  12 21 1  12 21
Scenarij 1: vrsta 1 nadvladava vrstu 2
Utjecaj rasta α
Vektorsko polje
Vrsta2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Vrsta1
Scenarij 1: vrsta 1 nadvladava vrstu 2
Utjecaj rasta/pada stope
rasta vrste 1 ili vrste 2
Utjecaj rasta/pada kapaciteta
nosivosti vrste 1 ili vrste 2
Vrsta2
Vrsta2
1.0
1.0
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
Vrsta1
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Vrsta1
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Scenarij 2: vrsta 2 nadvladava vrstu 1
Utjecaj rasta α
Vektorsko polje
Vrsta2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Vrsta1
Scenarij 2: vrsta 2 nadvladava vrstu 1
Utjecaj rasta/pada kapaciteta
nosivosti vrste 1 ili vrste 2
Utjecaj rasta/pada stope
rasta vrste 1 ili vrste 2
Vrsta2
Vrsta2
1.0
1.0
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Vrsta1
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Vrsta1
Scenarij 3: eventualno prevladava vrsta 1 ili vrsta 2
Vektorsko polje
Utjecaj rasta α
Vrsta2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Vrsta1
Scenarij 3: eventualno prevladava vrsta 1 ili vrsta 2
Fiksna točka
Scenarij 3: eventualno prevladava vrsta 1 ili vrsta 2
Utjecaj rasta/pada stope
rasta vrste 1 ili vrste 2
Utjecaj rasta/pada kapaciteta
nosivosti vrste 1 ili vrste 2
Vrsta2
Vrsta2
1.0
1.0
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Vrsta1
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Vrsta1
Scenarij 4: koegzistencija obiju vrsta
Utjecaj rasta α
Vektorsko polje
Vrsta2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
Vrsta1
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Scenarij 4: koegzistencija obiju vrsta
Fiksna točka
Scenarij 4: koegzistencija obiju vrsta
Utjecaj rasta/pada kapaciteta
nosivosti vrste 1 ili vrste 2
Utjecaj rasta/pada stope
rasta vrste 1 ili vrste 2
Vrsta2
Vrsta2
1.0
1.0
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
Vrsta1
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Vrsta1
Zaključak
1) Vrsta 1 natjecateljski isključuje vrstu 2:
Do ovakvog scenarija dolazi ako je kapacitet nosivosti vrste 1 viši u odnosu na
kapacitet nosivosti vrste 2 i ako je viši koeficijent natjecanja α21
2 ) Vrsta 2 natjecateljski isključuje vrstu 1:
Do ovakvog scenarija dolazi ako je kapacitet nosivosti vrste 2 viši u odnosu na
kapacitet nosivosti vrste 1 i ako je viši koeficijent natjecanja α12
3) Eventualno može prevladavati vrsta 1 ili vrsta 2 :
Do ovakvog scenarija dolazi ako je stopa rasta vrste 2 viša u odnosu na stopu
rasta vrste 1 i ako je viši koeficijent natjecanja α21
4) Koegzistencija:
Do ovakvog scenarija dolazi ako je stopa rasta vrste 1 viša u odnosu na stopu
rasta vrste 2 i ako je viši kapacitet nosivosti vrste 2 od kapaciteta nosivosti
vrste 1
Zaključak


Lotka – Volterra model međuvrsnog natjecanja je matematički
model pomoću kojeg se pokušavaju predvidjeti interakcije između
dviju natjecateljskih vrsta u prirodi.
Međutim zbog svoje jednostavnosti daje samo približan prikaz
mogućih interakcija, stoga je za bolje predviđanje natjecateljskih
interakcija između dviju vrsta potrebno uvesti više parametara.
Hvala na pažnji!