Jak mierzyć asymetrię zjawiska?

Wykład 5

Miary jednej cechy



Miary poziomu

 

Miary dyspersji (zmienności, zróżnicowania, rozproszenia) Miary asymetrii (skośności)

Szereg symetryczny

● to szereg, w którym liczba jednostek rozłożona jest równomiernie po obu stronach wartości dominującej x ● w szeregu takim miary tendencji centralnej, a więc średnia arytmetyczna, mediana i dominanta mają jednakową wartość, czyli:

x



M



D e

Wykres rozkładu normalnego

 

Kształt tego rozkładu może być różny w zależności od 2-óch parametrów: od średniej i wariancji S 2

(względnie odchylenia standardowego S).

Zawsze jednak jest to

krzywa symetryczna

względem swojej wartości średniej

z charakterystycznym kształtem „dzwonu”

oraz o mniejszym lub większym spłaszczeniu zależnie od odchylenia standardowego .

● Krzywa N1 ma ustaloną wartość średnią i odchylenie standardowe s.

● Krzywa N2 różni się od niej tym, że przy tej samej wartości średniej ma mniejsze odchylenie standardowe (krzywa staje się bardziej wysmukła).

●Krzywa N3 różni się od N1 tym, że przy tym samym odchyleniu standardowym ma większą wartość średnią, czyli jest przesunięta w prawo.

N 2 N 1 N 3

Dla zbiorów w większości symetrycznych lub umiarkowanie symetrycznych rozkłady empiryczne przyjmują kształt „dzwonu”

 wszystkie wartości w zbiorze są rozproszone („rozrzucone”) wokół średniej  w celu określenia „rozpiętości” wokół średniej możemy użyć w bardzo precyzyjny sposób odchylenia standardowego.

Dla zbiorów danych o rozkładach mających kształt „dzwonu”

empiryczna reguła

określa jak blisko dane wartości są do średniej  1. W przybliżeniu

68%

liczebności populacji znajduje się w przedziale zmienności równym wartości 1-go odchylenia standardowego od średniej  2. Prawie

95%

zmienności równym wartości 2-óch odchyleń standardowych od średniej.

liczebności populacji znajduje się w przedziale  3. Prawie

99.7%

liczebności populacji znajduje się w przedziale zmienności równym wartości 3-ch odchyleń standardowych od średniej.

Empiryczna zasada

68% 95% 99,7%

Szeregi asymetryczne

 Rozkład prawostronny  Rozkład lewostronny

x



D x



D

Miary asymetrii

(skośności) 

wskaźnik asymetrii (skośności):

W s



x



D

   wartość wskaźnika asymetrii większa od zera informuje o dodatnim (prawostronnym)

kierunku asymetrii

rozkładu W s równy zero oznacza rozkład symetryczny W s mniejsze od zera wskazuje asymetrię ujemną (lewostronną)

Miary asymetrii

(skośności) 

współczynnik asymetrii (skośności)

A s



x



D S

informuje jaka część odchylenia standardowego stanowi różnica między średnią arytmetyczną a dominantą     znak współczynnika określa kierunek a moduł siłę asymetrii A s zawarty w granicach  1 

A s

wskazuje na umiarkowaną asymetrię  1 w przypadku asymetrii prawostronnej A s dodatnie, w przypadku asymetrii lewostronnej A ujemne.

s przyjmuje wartości przyjmuje wartości

Miary asymetrii

(skośności)  Jeżeli dany szereg wymaga użycia miar pozycyjnych (np. otwarte przedziały klasowe, nierówne rozpiętości przedziałów), do opisania asymetrii rozkładu należy użyć

pozycyjnej miary asymetrii

opartej na kwartylach:

A s

 (

Q

3 

Q

2 )

Q

3  (

Q

2 

Q

1 

Q

1 )  lub

A s



Q

3  2

Q

2 

Q

1 2

Q

określa kierunek i siłę asymetrii jednostek znajdujących się w 2-iej i 3-ej ćwiartce obszaru zmienności

Miary asymetrii

(skośności) 

Momenty

definiuje się jako średnie arytmetyczne odchyleń wartości cechy (zmiennej) od liczby

a

podniesione do potęgi

r

:  (

x i



a

)

r n i



n i

gdzie: - wykładnik potęgi

r

określa rząd momentu, a więc gdy r = 1 mówimy o momencie rzędu pierwszego, gdy r = 2 o momencie rzędu drugiego itd., - liczba

a

określa rodzaje momentów, gdy a = 0 mówimy o momentach

a



X

Miary asymetrii

(skośności) 

Momenty zwykłe

r r

  1 : 2 : (oznaczamy symbolem

m

):

m

1

m

2    

x i n i n i

 

x i

2

n i n i

 

X X

2

r

 3 :

m

3   

x i

3

n i n i



X

3

itd

.

Miary asymetrii

(skośności) 

Momenty centralne

r r r

   2 1 : 3 : :

e

1

e

2

e

3  (oznaczamy symbolem

e

):   (

x i

 

n i X

)

n i

 0   (

x i

 

n i X

 ) 2

n i

(

x i

 

n i X

 ) 3

S n i

2 (

X

 )

itd

.

r

 4 :

e

4   (

x i

 

n i X

) 4

n i



kurtoza

Miary asymetrii

(skośności)    Do określenia asymetrii rozkładu stosuje się

moment centralny trzeci e 3

, informujący o kierunku skośności.

- jeśli rozkład jest symetryczny to e 3 = 0, - w przypadku asymetrii prawostronnej e 3 > 0; - w przypadku asymetrii lewostronnej e 3 < 0. Siłę zjawiska przedstawia moment centralny trzeci wyrażony w jednostkach odchylenia standardowego:  

e

3 3

S

3 (

X

Jako

miarę względną kurtozy

) stosuje się współczynnik:  4 

e

4

S

4 (

X

)