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Métodos de
resolución de
sistemas de
ecuaciones
lineales
Trabajo realizado por:
Carmen Escalona 4ºESO B
Existen dos tipos de sistemas de ecuaciones:
1) Sistemas de ecuaciones lineales: son un conjunto de ecuaciones
que pueden escribirse de la forma ax+by=c y que hay que
resolver simultáneamente. La solución del sistema es el valor o
los valores que han de tomar las incógnitas para que se cumplan
todas las igualdades del sistema. Ejemplo: 2x+y=7
x+y=4
2)Sistemas de ecuaciones no lineales: en ocasiones algunas de las
ecuaciones del sistema no pueden escribirse de la forma
ax+by=c. Esto ocurre cuando hay productos o cocientes entre las
incógnitas o cuando aparecen incógnitas elevadas a un número
distinto de 1. Ejemplo: 2x·y=6
x2-y=8
En este trabajo hablaremos solo de los sistemas lineales de ecuaciones
y sus métodos de resolución.
Los sistemas lineales de ecuaciones se clasifican según su número de
soluciones en :
• SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO: el sistema cuenta con una
única solución, hay tan solo un valor de x y otro de y que cumplen
todas las igualdades del sistema.
• SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO: el sistema tiene infinitas
soluciones. Ocurre cuando al simplificar una de las ecuaciones del
sistema esta resulta ser igual a la otra ecuación, es decir, el sistema
es, en realidad, una sola ecuación con dos incógnitas.
• SISTEMA INCOMPATIBLE: el sistema no tiene solución porque las
distintas igualdades que lo forman aportan información contradictoria
Métodos de resolución de sistemas
lineales de ecuaciones
Método de sustitución: consiste en despejar en una de las ecuaciones
una incógnita (la que resulta más sencilla), después sustituir su
expresión en la otra ecuación del sistema y resolver la igualdad
resultante. Haz clic una vez para ver un ejemplo.
x-y=3
x=3+y
x+2y=9
x+2y=9
x+2y=9
(3+y)+2y=9
3+y+2y=9
3y=6
x-y=3
x-2=3
SOLUCIÓN:
x=5
x=5
y=2
y=2
Clic para continuar
Método de igualación: consiste en despejar la misma incógnita en todas
las ecuaciones, igualar las expresiones obtenidas y resolver la ecuación
resultante. Haz clic una vez para ver un ejemplo.
x+y=8
x=8-y
x+3y=12
x=12-3y
x+3y=12
8-y=12-3y
x+3·(2)=12
2y=4
x+6=12
y=2
x=6
SOLUCIÓN:
x=6
y=2
Clic para continuar
Método de reducción: consiste en igualar mediante multiplicaciones
los coeficientes de una de las incógnitas en ambas ecuaciones.
Después se suman o restan las dos ecuaciones de modo que
desaparezca una de las incógnitas y se resuelve la ecuación con una
incógnita resultante. Por último se calcula el valor de la otra
incógnita sustituyendo en una de las ecuaciones del sistema. Haz clic
una vez para ver un ejemplo.
2x-7y=-2
2x-7y=-2
2x-7y=-2
2x-7y=-2
x+3y=12(·2)
2x+6y=24
2x+6y=24
2x+6y=24
-13y=-26
2x+6·(2)=24
y=2
2x+12=24
2x=12
x=6
SOLUCIÓN:
x=6
y=2
Clic para continuar
Método gráfico: consiste en despejar y en todas las ecuaciones. Después
elaborar una tabla de valores en la que se da valores a x para obtener
así valores de y. Seguidamente representar los puntos obtenidos en un
sistema de ejes, el resultado serán dos rectas (o más dependiendo del
número de ecuaciones del sistema) que representan todas las soluciones
de cada ecuación. Al dibujar las dos rectas puede ocurrir que:
-sean paralelas: entonces el sistema es incompatible y no tiene solución.
-coincidan (sean las dos rectas la misma recta): el sistema es
compatible indeterminado, tiene infinitas soluciones.
-se corten en un punto: entonces el sistema es compatible determinado.
El punto en el que se cortan es la solución del sistema, si por ejemplo
las rectas se cortan en el punto (4,8) la solución del sistema es x=4;
y=8. Haz clic una vez para ver un ejemplo.
x+y=6
x-y=2
Despejar y
y=6-x
y=x-2
Tabla de valores
y=6-x
y=x-2
Representar puntos
x
0
2
y
6
4
x
0
3
y
-2
1
El punto en que se cortan las
dos rectas es la solución del
sistema por tanto:
SOLUCIÓN:
x=4
y=2
Clic para continuar
Cada método de resolución es más o menos conveniente según el sistema
ante el que nos encontremos.
-Si en el sistema hay una incógnita despejada o es fácil despejarla
emplearemos SUSTITUCIÓN.
-Si la misma incógnita está despejada o es fácil de despejar en ambas
ecuaciones emplearemos IGUALACIÓN.
-Se aplica REDUCCIÓN cuando no es fácil utilizar los dos métodos
anteriores.
-El MÉTODO GRÁFICO resulta más largo y complicado que los otros
métodos,
sin
embargo
es
el
único
que
representa
la
solución
gráficamente, en un sistema de ejes.
A continuación veremos cómo resolver problemas siguiendo los diferentes
métodos mencionados.
PROBLEMA: En un examen que consta de 20 preguntas te dan dos
puntos por cada acierto y te restan 0,5 puntos por cada error. Es
obligatorio contestar a todas las preguntas para aprobar y obtener
al menos 20 puntos en total. ¿Cuántas preguntas hay que contestar
correctamente como mínimo para aprobar?
Sea cual sea el método que empleemos lo primero que hemos de hacer al resolver un problema
es identificar las incógnitas y plantear el sistema de ecuaciones:
x= nº preguntas correctas
x+y=20
y= nº preguntas falladas
2x-0,5y=20
Puesto que es obligatorio responder todas las
preguntas las preguntas falladas y las acertadas han
de sumar 20.
El nº de preguntas acertadas multiplicado por 2 ptos que vale cada
pregunta menos el nº de preguntas falladas multiplicado por 0,5 que
vale cada una han de sumar al menos 20 para aprobar.
RESOLUCIÓN POR SUSTITUCIÓN
RESOLUCIÓN POR REDUCCIÓN
RESOLUCIÓN POR IGUALACIÓN RESOLUCIÓN POR MÉTODO
GRÁFICO
Pincha en los recuadros para ver los distintos métodos de resolución para el problema
Pincha
aquí para
ver otros
problemas
•SUSTITUCIÓN
PROBLEMA: En un examen que consta de 20 preguntas te dan
dos puntos por cada acierto y te restan 0,5 puntos por cada
error. Es obligatorio contestar a todas las preguntas para aprobar
y obtener al menos 20 puntos en total. ¿Cuántas preguntas hay
que contestar correctamente como mínimo para aprobar?
x+y=20
x=20-y
2x-0,5y=20
2x-0,5y=20
x+8=20
2x-0,5y=20
x=12
2·(20-y)-0,5y=20
40-2y-0,5y=20
-2,5y=-20
SOLUCIÓN: como mínimo hay que
contestar 12 preguntas bien para
aprobar
Volver atrás
y=8
•IGUALACIÓN
PROBLEMA: En un examen que consta de 20 preguntas te dan dos
puntos por cada acierto y te restan 0,5 puntos por cada error. Es
obligatorio contestar a todas las preguntas para aprobar y obtener al
menos 20 puntos en total. ¿Cuántas preguntas hay que contestar
correctamente como mínimo para aprobar?
x+y=20
x=20-y
x=20-y
2x-0,5y=20
2x=20+0,5y
x=20+0,5y
2
20-y=20+0,5y
2
40-2y=20+0,5y
x+8=20
x=12
-2,5y=-20
SOLUCIÓN: como mínimo hay que
contestar 12 preguntas bien para
aprobar
Volver atrás
y=8
•REDUCCIÓN
PROBLEMA: En un examen que consta de 20 preguntas te dan dos
puntos por cada acierto y te restan 0,5 puntos por cada error. Es
obligatorio contestar a todas las preguntas para aprobar y obtener al
menos 20 puntos en total. ¿Cuántas preguntas hay que contestar
correctamente como mínimo para aprobar?
x+y=20
·(2)
2x-0,5y=20
2x+2y=40
2x-0,5y=20
-
2x+2y=40
2x-0,5y=20
2,5y=20
x+8=20
x=12
SOLUCIÓN: como mínimo hay que
contestar 12 preguntas bien para
aprobar
Volver atrás
y=8
•M.GRÁFICO
PROBLEMA: En un examen que consta de 20 preguntas te dan dos
puntos por cada acierto y te restan 0,5 puntos por cada error. Es
obligatorio contestar a todas las preguntas para aprobar y obtener al
menos 20 puntos en total. ¿Cuántas preguntas hay que contestar
correctamente como mínimo para aprobar?
x+y=20
2x-0,5y=20
y=20-x
y=20-2x
-0,5
y=20-x
y=20-2x
-0,5
x
10
8
y
10
12
x
6
8
y
-16
-8
SOLUCIÓN: como mínimo hay que
contestar 12 preguntas bien para
aprobar
Volver atrás
A continuación aparecen varios problemas, intenta solucionarlos
empleando los distintos métodos ( si los resuelves bien la solución
debe ser siempre la misma independientemente
del método
utilizado). Para comprobar al solución pincha en el recuadro
“SOLUCIÓN”.
PROBLEMA: Un grupo de amigos alquila un local para una fiesta por
700€. Si fueran dos amigos más cada uno pagaría 40€. ¿Cuántos
amigos son y cuánto dinero tienen que aportar?
SOLUCIÓN
PROBLEMA: Un carpintero recibe el encargo de hacer el marco de un
cuadro utilizando un listón de 2m sin que sobre ni falte madera. Si
el cuadro es rectangular y su superficie es de 24dm2 ¿de qué
longitud han de ser los trozos que corte del listón?
SOLUCIÓN
Clic para ver más problemas
PROBLEMA: Los billetes de 50€ y 20€ que lleva Luis en el bolsillo
suman 380€. Si cambiamos los billetes de 20€ por los de 50€ y al
revés suman 320€. ¿Cuántos billetes lleva de cada tipo?
SOLUCIÓN
PROBLEMA: A un congreso acuden 60 personas. Si se van tres
hombres y vienen tres mujeres el número de mujeres sería un tercio
del de hombres. ¿Cuántos hombres y mujeres hay?
SOLUCIÓN
SOLUCIÓN
PROBLEMA: Un grupo de amigos alquila un local para una fiesta por
700€. Si fueran dos amigos más cada uno pagaría 40€. ¿Cuántos
amigos son y cuánto dinero tienen que aportar?
El sistema que habría que plantear para resolver el problema es :
x= nº estudiantes
xy=700
y=€ que aporta cada uno
y=700
x+2
Solución: cada uno aporta 140€ y son 5 amigos
VOLVER
SOLUCIÓN
PROBLEMA: Un carpintero recibe el encargo de hacer el marco de un
cuadro utilizando un listón de 2m sin que sobre ni falte madera. Si el
cuadro es rectangular y su superficie es de 24dm2 ¿de qué longitud han
de ser los trozos que corte del listón?
Es importante acordarse de pasar todos los datos a las mismas
unidades. El sistema que habría que plantear para resolver el problema
es :
x
xy=2400
2x+2y=200
y
Solución: dos trozos miden 60cm y dos trozos miden 40 cm
VOLVER
SOLUCIÓN
PROBLEMA:Los billetes de 50€ y 20€ que lleva Luis en el bolsillo
suman 380€. Si cambiamos los billetes de 20€ por los de 50€ y al
revés suman 320€. ¿Cuántos billetes lleva de cada tipo?
El sistema que habría que plantear para resolver el problema es :
x= nº billetes de 20€
y= nº billetes de 50€
20x+50y=380
50x+20y=320
Solución: lleva 4 billetes de 20€ y 6 de 50€
VOLVER
SOLUCIÓN
PROBLEMA: A un congreso acuden 60 personas. Si se van 3
hombres y vienen tres mujeres el número de mujeres sería un tercio
del de hombres. ¿Cuántos hombre y mujeres hay?
El sistema que habría que plantear para resolver el problema es :
x= nº mujeres
x+y=60
y=nº hombres
x+3=y-3
3
Solución: hay 48 hombres y 12 mujeres en el congreso
VOLVER