Transcript 2.Điểm cố định của họ đồ thị

Phần trình bày:
ĐIỂM CỐ ĐỊNH
CỦA HỌ ĐỒ THỊ



I.Định nghĩa:
1.Họ đồ thị :
o Tập hợp các đồ thị hàm số y=f(x,m)
(với x là biến , m  R là tham số),
được gọi là một họ đồ thị.
o Ví dụ:
mx  1
Tập hợp các đồ thị của hàm số: y 
x2
m  R là một họ đồ thị.
2.Điểm cố định của họ đồ thị:
o Những điểm đứng yên khi m thay đổi
được gọi là điểm cố định của họ đường
(Cm). Đó là những điểm mà mọi đường
(Cm ) đều đi qua với mọi giá trị của m.
o Ví dụ: Đồ thị hàm số y=mx+m-1(Cm)
luôn đi qua điểm cố định A(-1,-1) với
mọi m thì A được gọi là điểm cố định
của họ đồ thị (Cm)
II. Tìm điểm cố định của họ
đường thẳng hoặc đường cong:
Bài toán:
Cho họ đường cong (Cm) có phương
trình y = f(x,m), trong đó m là tham
số, hãy tìm những điểm cố định khi
m thay đổi?
TÌM HIỂU BÀI TOÁN
o Với một giá trị của tham số m ta được một đồ
thị của (Cm) tương ứng. Như vậy khi m thay đổi
thì đồ thị (Cm) cũng thay đổi theo 2 trường hợp:
− Hoặc mọi điểm của (Cm) đều di động.
− Hoặc có một vài điểm của (Cm ) đứng yên khi
m thay đổi.
o Vậy với A ( x0 , y0 ) là điểm cố định của đồ
thị (Cm) thì y0  f ( x0 , m) thỏa mãn  m. Điều
này có nghĩa là phương trình y0  f ( x0 , m)
nghiệm đúng theo tham số m.
2. Phương pháp giải:
o Gọi A(x,y) là điểm cố định của họ đồ thị. Khi đó
y=f(x,m) có nghiệm đúng  m hay g(m,(x,y))=0 có
nghiệm đúng  m.
oĐưa phương trình y = f (x,m) về dạng phương trình
theo ẩn m dạng Am  B  0 hoặc Am2  Bm  C  0
o
Cho các hệ số bằng 0, ta được hệ phương trình:
A  0

B  0
hoặc
A  0

B  0
C  0

o
Giải hệ phương trình:
A  0

B  0
A  0
hoặc 
B  0
C  0

*
− Nếu hệ phương trình (*) vô nghiệm thì
(Cm) không có điểm cố định.
− Nếu hệ phương trình (*) có nghiệm
( x , y0 ) thì điểm có tọa độ (x0 ,y0 ) là
0
điểm cố định của (Cm) .
3. Ví dụ:
•
Ví dụ 1:
Tìm điểm cố định của một họ đường
3
2
cong y  x  mx  1  m(Cm )
o Cách 1: Gọi A(x,y) là điểm cố định
Giải:
của (Cm) khi và chỉ khi :
3
2
y  x  mx 1  m nghiệm đúng  m
2
3
hay ( x 1)m  x  y 1  0 nghiệm đúng
 m
  x 1

 x 1  0
y  0

 3



x

y

1

0
 x  1


  y  2
2
Vậy (Cm) có 2 điểm cố địnhA1 (1, 0)
và A2 (1, 2)
oCách 2:
Gọi A(x,y) là điểm cố định của họ đồ thị (Cm).
y  x3  mx2 1  m (1)
Đạo hàm 2 vế theo m ta được:
0  x  1  x  1
3
Thay vào (1)
 x 1  y  0
 x  1   y  2


Vậy (Cm) có 2 điểm cố định A1 (1,0) và A2 (1, 2)
oCách 3:
Gọi A(x,y) là điểm cố định của họ đồ thị (Cm).
Do f(m,(x,y)) đúng với mọi m nên:
Chọn m=-1 và m=0
2
Khi đó ta được hệ:  x3  x 2  y
 x 1  0
 3
 3
 x 1  y
x 1  y
  x 1
 
y  0


  x  1


  y  2
Vậy (Cm) có 2 điểm cố định A1 (1, 0) và A2 (1, 2)
4.Bài tập:
Bài 1
Tìm điểm cố định của một họ đường
cong
(m  1) x  m  2
(Cm )
y
xm2
Bài 2
Tìm điểm cố định của một
họ đường cong (Cm)
3
2
2
y  x  (m  1) x  (2m  3m  2) x  2m(2m 1)
Giải:
Biến đổi (Cm) về dạng
y  x  (m  1) x  (2m  3m  2) x  2m(2m 1)
3
2
2
2
2
 x  mx  x  2m x  3mx  2x  4m  2m  y  0
Tọa độ điểm cố định là nghiệm của hệ
phương trình:
3
2
2
2 x  4  0

x  2

 ( x  1)( x  2)  0  
y  0
 x3  x 2  2 x  y  0

Vậy có một điểm cố định là A(2;0)
Bài 3
Cho (Cm): y  (m  3) x3  3(m  3) x2  (6m  1) x  m 1
a.Chứng minh: (Cm) có 3 điểm cố định, và 3
điểm đó thẳng hàng.
b.Viết phương trình đường thẳng đi qua 3
điểm đó
 Trần Thị Lài
 Nguyễn Thị Lệ
 Trần Thị Tú Ngọc
 Trần Đình Phương