Transcript File đính kèm - trường thpt quang trung đà nẵng

VÉC TƠ
1.CÁC ĐỊNH NGHĨA
1. VÉC TƠ LÀ GÌ
A
B
Đoạn thẳng AB có
hướng từ A sang B
Máy bay, hoả tiên, ô
tô di chuyển theo
chiều nào
ĐỊNH NGHĨA
Véc tơ là một đoạn thẳng có hướng, nghĩa là trong
hai điểm mút của đoạn thẳng , nên chỉ rõ điểm nào
là điểm đầu điểm nào là điểm cuối
Kí hiệu

- AB :Cho véc tơ có điểm đầu là A, điểm cuối
là B.
- a ; b ; x ; y : Cho véc tơ xác định không đặt
điểm hai đầu
Véc tơ không:
Là véc tơ có điểm đầu và điểm cuối trung
nhau
Ví dụ: Cho 3 điểm A, B, C phân biệt
A
Có bao nhiêu
véc tơ có điểm
đầu và điểm
cuối lấy trong
các điểm đã
cho
B
C
2. Hai véc tơ cùng phương, cùng hướng


Cho một véc tơ AB (khác véc tơ không) :
Đường thẳng AB gọi là giá của véctơ AB .
Cho một véc tơ không : AA
Mọi đường thẳng qua A đều là giá
Các véctơ
nào có giá
song song
hoặc trùng
nhau?
D
B
A
C
E
M
F
Q
A
P
N
Hai véc tơ được gọi là cùng phương nếu giá của
chúng song song hoặc trùng nhau
 Nếu hai véc tơ cùng phương thì hoặc chúng cùng
hướng hoặc chúng ngược hướng
Chú ý
Ta quy ước rằng véctơ - không cùng phương và
cùng hướng với mọi véctơ
Nhận xét
Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng
 AB cùng phương AC


3. Hai véctơ bằng nhau
Độ dài véctơ : Là khoảng cách giữa điểm đầu và
điểm cuối . Độ dài véctơ a được kí hiệu là a
Vậy AB = AB = BA ; PQ= PQ = QP
Theo định nghĩa ở
trên thì véctơ – không
có độ dài bằng bao
nhiêu?
Cho hình thoi ABCD
Có nhận xét gì về độ dài các véctơ :
D
AB, AD, CB
A
Có nhận xét gì về
các véctơ :
AB , DC
AD , BC
C
B
Định nghĩa:
Hai véc tơ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng
hướng và cùng độ dài
Hai véctơ a và b bằng nhau ta viết: a  b

Chú ý
Các véc tơ – không o đều bằng nhau
Khi cho trước một avà một điểm O ta luôn tìm
được một điểm A duy nhất sao cho
OA a
Cho lục giác đều ABCDEF
tâm o
A
B
O
F
Các véctơ bằng véctơ :
AF
C
a) OB , EO , DC
E
D
b) BO , CD , EO
c) BO, CD , OE
d ) BO , OE , DC
CHÚC MỪNG
11
ĐÚNG RỒI
8
Củng cố:
1.
2.
3.
4.
5.
Mỗi mệnh đề sau đúng hay sai:
Véctơ là một đoạn thẳng
Véctơ – không ngược hướng với mọi véctơ bất kì
Hai véctơ bằng nhau thì cùng phương
Có vô số véctơ bằng nhau
Cho trước véctơ a và một điểm gốc 0, có vô số
điểm A thoả mãn
OA  a
Kiến thức cần nắm:
 Nhận
biết được định nghĩa véctơ; véctơ cùng
phương; cùng hướng; độ dài của véctơ;véctơ không; véctơ bằng nhau.
 Biết xác định : điểm gốc ( hay điểm đầu ), điểm
ngọn (hay điểm cuối); giá; độ dài của véctơ ;
véctơ bằng nhau; véctơ - không.
 Biết định điểm M sao cho AM  u với điểm A
và
ucho trước
Bài tập về nhà: 1,2,3,4,5,6,7 SGK
Tổng của
hai véctơ
A’
M’
A
C
A
(III)
M
(I)
B
(II)
2. Tổng của hai véctơ
1.
Định nghĩa tổng của
hai véctơ:

Cho hai véctơ a và b .Lấy một điểm A
rồi xác định các điểm B và C sao cho :

AB  a , BC  b

Khi đó véctơ 
AC được gọi là tổng của hai
véctơ a và b . Kí hiệu :

AC  a  b
Phép lấy tổng của hai véctơ được gọi là
phép cộng véctơ

B
b
C



b
a
a
A
a b
1. Hãy vẽ tam giác ABC, rôì xác định
các véctơ tổng sau:
AB  CB ; AC  BC ; CA  CB
B
C
AC  BC
AB  CB
A
CA  CB
2. Cho hình bình hành ABCD với tâm O.

Hãy viết véctơ AB dưới dạng tổng của hai véctơ
mà các điểm đầu mút của chúng được lấy trong
5 điểm A, B, C, D, O.
B
C
O
A
D
3. Các tính chất của phép cộng véctơ
a)
b)
c)
Tính chất giao hoán : a  b  b  a
Tính chất kết hợp : (a  b)  c  a  (b  c)
Tính chất của véctơ - không : a  o  o  a  a
B
A
b
C
a ab
bc c
b(a a b) a
c
b
a  (b  c)
E
D
2. Các qui tắc cần nhớ
Quy tắc hình bình hành:



Nếu ABCD là hình bình hành thì: AB  AD  AC
Quy tắc ba điểm :



Với ba điểm bất kì M, N, P: MN  NP MP
D
A
M
C
P
NB
a) Hãy giải thích tại sao có qui tắc hình bình
hành ?
b) Hãy giải thích tại sao ta có:
ab  a  b
c) CMR: với bốn điểm bất kì A, B, C, D:
AC  BD  AD  BC
d) Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a .
Tính độ dài của véctơ tổng
AB  AC
Củng cố
1)
Mỗi mệnh đề sau đúng hay sai :
AB  AC  BC
BA  AC  CB
MP  NM  NP
2)
3)
AA  BB  AB
Khi nào
ab  a  b
?
MN  PQ  RN  NP  QR
= ?
Kiến thức cần nắm
Biết cách xác định tổng của hai véctơ, qui
tắc ba điểm, qui tắc hình bình hành và các
tính chất cua phép cộng véctơ : giao hoán,
kết hợp, tính chất của véctơ - không.

Biết được a  b  a  b

 Bài
tập về nhà: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Hiệu của
hai véctơ
3. HIỆU CỦA HAI VÉCTƠ
Véctơ đối :
Nếu tổng của hai véctơ a và b là vectơ không, thì ta nói a là véctơ đối của b , hoặc
là véctơ đối của a
1.
b
Véctơ đối của véctơ a được kí hiệu là  a
Nhận xét :
Véctơ đối của véctơ a là véctơ ngược hướng với
véctơ a và có cùng độ dài với véctơ a
Véctơ đối của véctơ
o
là véctơ
o
Cho đoạn thẳng AB. Véc tơ đối của
là véctơ gì ?
AB
Giả sử ABCD là hình bình hành tâm O:
a) AB  ? ; CD  ? ; AD  ? ; CB  ?
b) Hãy chỉ ra các cặp véctơ đối nhau có điểm
đầu là O điểm cuối là các đỉnh của hình bình
hành.
A
D
O
B
C
2. Hiệu của hai véctơ:
Định nghĩa :
Hiệu : Hiệu của hai véctơ a và b , kí hiệu a  b
là tổng của hai véctơ a và vectơ đối của véctơ b,
tức là :
a  b  a  (b)
Phép trừ véctơ: Phép lấy hiệu của hai véctơ được gọi
là phép trừ véctơ
?? Cho véctơ a và véctơ b. Hãy xác định a  b
A
a
a b
a
b
O
b
B
QUY TẮC VỀ HIỆU VÉCTƠ
Nếu MN là một véctơ đã cho , thì với điểm O
bất kì, ta luôn luôn có:
MN  ON  OM
?? M là trung điểm đoạn thẳng AB . Cm :
MA  MB  0
?? Cho 4 điểm bất kì A, B, C, D. Hãy chứng minh
đẳng thức sau bằng nhiều cách
AB  CD  AD  CB
Kiến thức cần nhớ
-
Biết cách xác định hiệu của hai véctơ
Vận dụng được quy tắc trừ
OB  OC  CB
vào việc chứng minh các đẳng thức véctơ
Bài tập về nhà: 1 -> 9 sgk
TÍCH CỦA MỘT
VÉCTƠ VỚI
MỘT SỐ
4. TÍCH CỦA MỘT VÉCTƠ
VỚI MỘT SỐ
1.
Định nghĩa
Có nhận xét
gì về các cặp
véctơ sau
a va b
c va d
a
b
d
c
Định nghĩa :
Tích của véctơ a với số thực k là một véctơ, kí
hiệu là k a được xác định như sau :
1) Nếu k  0 thì véctơ k a cùng hướng với
véctơ a
Nếu k < 0 thì véctơ a ngược hướng với
véctơ k a
2) Độ dài véctơ k a bằng k a
Phép lấy tích của véctơ với một số gọi là phép
nhân một véctơ với một số ( hoặc phép nhân
một só với một véctơ )
Nhận xét : 1 a =
? ; (-1) a = ?
Ví dụ : Cho tam giác ABC với M, N lần lượt
là trung điểm của AB và AC.
a) BC  ?
b) MN  ?
c) BC  ?
d) MN  ?
e) AB  ?
f) AN  ?
MN
BC
NM
CB
MB
CA
A
M
B
N
C
2.Các tính chất của phép nhân véctơ
với một số
Với mọi véctơ a , bvà một số thực k, m
ta có :
a) k(m a) = (km) a
b) (k + m) a = k a+ m a
c) k( a± b) = k a± k b
d) k a= 0 k = 0 hoặc a = 0
Vẽ tam giác ABC với giả thiết
AB  a và BC  b
a) xác định điểm A’ sao cho A' B  3 a
và điểm C’ sao cho BC'  3b.
b) có nhận xét gì về hai véctơ AC và A'C ' ?
c) hãy kết thúc việc chứng minh tính chất
3 bằng qui tắc ba điểm
Nhận
A' B xét
3 agì
?
về ACvà A'C '
BC'  3b
3a
A
3a  3b  3(a  b)
ab
a
B
A’
b
C
3b
C’
Vẽ tam giác ABC với giả thiết
AB  a và BC  b
a) xác định điểm A’ sao cho A' B  3 a và điểm
C’ sao cho BC'  3b
.
b) có nhận xét gì về hai véctơ ACvà A'C '?
c) Hãy kết thúc việc chứng minh tính chất 3
bằng qui tắc 3 điểm
CHÚ Ý :
1) (k )a   (k a)   k a

2)
m
ma
a
n
n
. Ví dụ
2
2a
a
3
3
Bài toán 1 :
Chứng minh: điểm I là trung điểm của AB khi và
chỉ khi với điểm M bất kì , ta có :
MA MB  2MI
Giải:
Vậy
MA MI  IA
MB  MI  IB
A
MA MB  2MI  IA  IB

 2MI  0
MA MB  2MI
M
I
B
Baì toán 2 :
Cho tam giác ABC với trọng tâm G. Chứng minh
với điểm M bất kì , ta có :
1)
2)
GA  GB  GC  0
MA MB  MC  3MG
A
?
GB  GC  2GI
?
GA  2GI 
G
C
I
B
3. Điều kiện để hai véctơ cùng phương
a

?
b
Có nhận xét gì
?c
vềbphương
a ?, b
của:
c
a, c
vàxphương
? y
của:
y ?v
u ,v, x , y
u  ?v
a
b
c
u
v
y
x
Véctơ
phương
chỉ
?? Trong
phát
biểu này
có và
điều
a (tạiasao
b cùng
 phải
o ) khi
khi có số k sao cho b  k a
kiện
a o
Điều kiện để ba điểm thẳng hàng
A, B, C thẳng hàng  k  R , AB  k AC
Bài toán 3 : Cho tam giác ABC có trực tâm H ,
trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O , I là
trung điểm BC.
1) Chứng minh :
2) Chứng minh :
AH  2OI
OH  OA OB  OC
3) Chứng minh 3 điểm O, G, H thẳng hàng
CM : : H,
1)
3)2)Chứng
Cm
minh
G,
O:thẳng
OA
 OB
AH
OChàng
2OH
OI
A
OA  OB
?
GọiA’OC
là điểm
H
G
B
OB OC  ?
Đường thẳng qua
đối xứng của
baAđiểm
H,
G,
qua O. Tứ
O được
giácgọi là
O
ơ
HCA’Bthẳng
là hình
đường
G là trọng
gì?
Cm
le tam giác,
tâm
C thì :
I
A’
OA  OB  OC  ?
Vậy :
OH  ? OG
Kết luận : ?
4. Biểu thị một véctơ theo hai véctơ
không cùng phương
?
Định lí:
Cho hai
vectơ
không
cùng
phương a và b .
Nếu
cho hai
vectơ
không
Khi đócùng
mọi vectơ
phương x
và có
thì biểu thị
ađều
b thể
được một
cách
duyvới
nhất
qua
hai véctơ
phải
chăng
mọi
véctơ
x a
và bluôn
, nghĩa
là tồn
có duy
nhấtcặp
cặpsố
số m và n
luôn
tại một
sao cho
thực m, n để
x  ma  nb
x  ma  nb
x
Nếu
xx
cùng Nếu
không
phương
a
thì : cùng
a
x  ? a  ?b
phương
Hoặc và b
cùng OX  ?
phương b
thì
x  ? a  ?b
Cm : m, n duy nhất
A’
a
X
A
O
B’
b
B
Kiến thức cần nắm
xác định được véctơ b= k akhi cho trước số
k và véctơ a .
 diễn giải được bằng véctơ: Ba điểm thẳng
hàng, trung điểm của một đoạn thẳng, trọng
tâm của một tam giác, hai đểm trùng nhau và
sử dụng các điểm đó để giải một số bài toán
hình học
 Cho hai vectơ không cùng phương avà b,
xlà một véctơ tuỳ ý. Biết tìm hai số h và k sao
cho : x  ha  k b

TRỤC TOẠ ĐỘ
VÀ HỆ TRỤC
TOẠ ĐỘ
5. TRỤC TOẠ ĐỘ VÀ HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ
1. TRỤC TOẠ ĐỘ
Trục toạ độ ( còn gọi là trục, hay trục số) là một
đường thẳng trên đó có xác định một điểm O và
một véctơ i có độ dài bằng 1. Kí hiệu là (O; i )
O
i
I
O : gốc toạ độ;
i: véctơ đơn vị
 Trên trục lấy điểm I sao cho OI  i, tia OI kí
hiệu là Ox, tia đối của Ox là Ox’.
 Trục (O; i ) còn được gọi là trục x’Ox hay Ox

Toạ độ của véctơ và của điểm trên trục
u điểm trên trục (O; i);a R để u  ai
a : toạ độ của véctơ uđối với trục (O; i)
- M thuộc trục (O; i ); m R để OM  m i
m : toạ độ điểm M đối với trục (O; i )
-
Trên trục Ox cho 2 điểm A, B lần
lượt có hoành độ a, b . Tìm toạ độ các
véctơ
và
AB . Tìm
BA toạ độ trung
điểm của đoạn AB?
O
A
B
Độ dài tỉ đối của véctơ trên trục
A, B nằm trên trục Ox thì độ dài véctơ AB được
kí hiệu là AB và được gọi là độ dài tỉ đối của véctơ
ABtrên trục Ox.
Như vậy :
AB  AB .i
Kết quả :
AB  CD  AB  CD
AB  BC  AC  AB  BC  AC
-1
0
C
O
1
2
3
A
4
5
6
7
8
B
AB  ?
AC  ?
2. Hệ trục toạ độ:
Hệ trục toạ độ vuông góc: Gồm hai trục toạ độ
y
Ox và Oy vuông góc với nhau.
 Vectơ đơn vị trên Ox là i.
 Vectơ đơn vị trên Oy là j.
1
x
x’
 Điểm O : gốc toạ độ.
j i
O
1
 Ox : trục hoành
y’
 Oy : trục tung
Hệ trục toạ độ vuông góc được gọi đơn giản là hệ
trục toạ độ, kí hiệu Oxy hay (O; i ; j ).
CHÚ Ý: Trong mặt phẳng cho một hệ trục toạ
độ , mặt phẳng đó là mặt phẳng tọa độ .

?
?
a i j
?
?
b i j
?
?
c i j
?
?
d  i j
y
a
1
j
O
c
i
b
x
1
d
3. Toạ độ của véctơ đối với hệ trục toạ độ
ĐỊNH NGHĨA
Đối với hệ trục toạ độ (O; i; j ), nếu
a  x i  y j thì cặp số (x; y) được gọi là toạ
độ của véctơ a.
Kí hiệu a ( x; y ). Số thứ nhất x gọi là
hoành độ, số thứ hai y gọi là tung tung độ
của véctơ a
Cho biết
toạ
Hãy
cho
độ của hai
biết toạ
vectơ
avà u
. độ
Từ đó
Có
của
kết Luận gì
các
về hai vectơ
véctơ
bằng
nhau và
toạ
độ
của
,
,
a b c, d
chúng ?
y
a
1
j
O
c
i
b
x
1
ud
NHẬN XÉT
Hai véctơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng cùng
toạ độ,nghĩa là:
 x  x'
a( x; y)  b( x'; y' )  
 y  y'
Hãy viết toạ
độ của các
véctơ sau
1
i

3
j
0 ,32j3i ii0,i,14
j jj
4. Biểu thức toạ độ của các phép toán véctơ
Cho a  ( x; y ) và b  ( x' ; y ' ) . Khi đó
Cho hai vectơ a (-3;2) và b(4;5)
1) a  b  ( x  x'; y  y ' )
a)Hãy
biểu
thị
các
véctơ
a,
2) k a
với
 (kx; ky )
k  Rb
3) Vectơ
phương
quab
haicùng
vectơ
i, với
j véctơ a  okhi và
chỉ khi có số k sao cho x’ = kx , y’ = ky
b) Tìm toạ độ các véctơ
a4aab b
ucd4
Mỗi cặp
véctơ sau có
cùng phương
không
(4;(20;;8305))) và vnfb ((3;011;,;7520;)1))
um
e (a203
5. Toạ độ của điểm
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, toạ độ của véctơ
OM được gọi là toạ độ của điểm M .
Cặp số (x;y) là toạ độ điểm M  OM  ( x; y )
Khi đó ta viết M(x;y) hoặc M = (x;y)
Số x : hoành độ điểm M
Số y : tung độ điểm M
y
Nhận xét : Gọi H, K lần lượt là hình
M(x;y)
K
chiếu của M (x;y)
lên Ox, Oy thì :
x= ? , y = ?
x  OH ; y  OK
x
O
H
y
a) Toạ
độ
Hãy
Hãy tìm
của mỗi
điểmtoạ
E có
tìm
điểm O, A,
toạ
độcủa
(-3; 4)
độ
B, C, D
và điểm F có
bằng
bao
véctơ
toạ độ (-2; nhiêu?
4)
?
AB
E
i
4
C
A -2
-3
F
j
O
i
x
B
-4
D
Tổng quát
Với hai điểm
M ( xM ; yM ) và N ( xN ; yN )
thì
MN  ( xN  xM ; yN  yM )

CHÚ Ý
Hãy giải thích vì sao có
Nếu thuận tiện, ta thường dùng kí hiệu( xM ; yM )
kết quả trên ?
cho toạ độ điểm M
6. Toạ độ trung điểm của đoạn thẳng và
toạ độ trọng tâm tam giác
Nếu P là trung điểm của đoạn thẳng MN thì
Trong mặt
hai
xM phẳng
xN toạ độ ycho

yN
M
xđiểm
P  M ( xM ; yM ;) yvà
P N ( xN ; y N )
2 điểm MN 2
Gọi P là trung
a)Hãy biểu thị OP theo OM và ON
b) Từ
hãy
toạM’
độđối
điểm
P
Tìmđó
toạ
độtìm
điểm
xứng
theo
toạ độqua
củađiểm
M vàA(1;1)
N
M(7;-3)
?
Trong mặt phẳng Oxy , cho tam
giác ABC với trọng tâm G
a) Hãy viết hệ thức giữa các
véctơ OA , OB , OC và OG
b) Từ đó suy ra toạ độ của G theo
toạ độ A, B, C.
Nếu G là trọng tâm tam giác ABC
xA  xB  xc
y A  yB  yc
xG 
; yG 
3
3
Ví dụ : Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho các điểm
A(2;0) ; B(0;4); C(1;3).
a) Chứng minh A, B, C là ba điểm của một tam
giác.
b) Tìm toạ độ trọng tâm của tam giác ABC.
Kiến thức cần nắm
Xác định được toạ độ của điểm, của véc tơ
trên trục
 Trên trục tính được độ dài tỉ đối của các
véctơ khi biết toạ độ của hai điểm đầu mút.
 Trong mặt phẳng toạ độ: xác định được
toạ độ một điểm;tính được toạ độ của véctơ
khi bết toạ độ của hai đầu mút; sử dụng
được các biểu thức toạ độ của các phép toán
véctơ; xác định được toạ độ trung điểm của
một đoạn thẳng và toạ độ trọng tâm của
tam giác

Bài học kết thúc
Cảm ơn các thầy cô và các em học sinh
Trường THPT QUANG TRUNG
TP. ĐÀ NẴNG