Transcript TD wyklad 10

Wykład 10
Entalpia w ujęciu masy kontrolnej; przykłady:
adiabatyczne dławienie gazu dla przepływu ustalonego
odwracalne izobaryczne rozprężanie gazu
nieodwracalne napełnianie gazem pustego zbiornika
I zasada termodynamiki; masa kontrolna i entalpia
I zasada termodynamiki dla układów otwartych
Układ otwarty w ujęciu masy kontrolnej
Układ otwarty w ujęciu objętości kontrolnej:
prawo zachowania masy
prawo zachowania energii
1
Adiabatyczne dławienie gazu dla przepływu ustalonego
zawór
p1, V1, U1
p2, V2, U2
adiabatyczny przepływ przez zawór,
proces dławienia gazu p2 < p1
Opór stawiany przez zawór powoduje spadek ciśnienia
Układ (system); pewna ilość gazu (ujęcie masy kontrolnej).
Dla naszego przypadku rozpatrujemy układ w następujących dwóch stanach:
stan początkowy –
gaz przed zaworem i zaraz po
układ
stan końcowy –
gaz za zaworem i zaraz przed
układ
2
Konfiguracja równoważna; wydzielamy pewną masę (masę kontrolną),
a pozostały gaz zastępujemy tłoczkami
tłoczki
U   W
tłoczki
proces adiabatyczny
W  p 2V2  p1V1
U2  p2V2  U1  p1V1
H  U  pV
entalpia
h  u  pv  u  p 
entalpia właściwa (jednostkowa masa) H (J), h (J/kg)
Entalpia
„Przepchnięcie” danej porcji gazu przez zawór odbywa się na koszt
energii wewnętrznej tej porcji gazu. W procesie tym zachowana jest
wielkość:
H  U  pV; h  u  pv
którą nazywamy entalpią (entalpią właściwą). Wielkość pV to praca
przepływu (flow work) lub praca pV.
3
Interpretacja entalpii:
Licząc całkowitą energię obiektu o objętości V należy uwzględnić, że jego
„wytworzenie” wymagało dostarczenia energii na „odepchnięcie”
otoczenia. Jeśli ciśnienie p wywierane przez otoczenie na obiekt wynosi p,
to praca wykonana na wytworzenie miejsca dla obiektu wyniosła pV. Tak
więc całkowita energia obiektu to jego energia wewnętrzna plus ekstra
energia pV, którą „odzyskalibyśmy” gdyby obiekt zniknął (skurczył się do
zera). Tę całkowitą energię obiektu nazywamy entalpią.
Wniosek
W procesie adiabatycznego dławienia entalpia gazu przed i
za zaworem dławiącym jest zachowana. Wykonanie pracy
przepływu odbywa się na koszt energii wewnętrznej gazu.
4
Odwracalne izobaryczne rozprężanie gazu
pomimo „rozprężania” ciśnienie nie spada,
bo gaz równocześnie podgrzewamy!
U  Q  W
V2
Q  U  W  U 2  U1   pdV  U 2  U1  pV2  pV1
V1
Q  U 2  pV2  U1  pV1
Q  H 2  H1
W przemianie izobarycznej dostarczane ciepło powoduje wzrost entalpii
gazu; choć ciśnienie jest stałe ale rośnie objętość; zatem rośnie zarówno
energia wewnętrzna gazu (rośnie temperatura) jak i człon pV.
5
Jeśli w przemianie izobarycznej rozprężamy gaz, ciśnienie będzie stałe, gdyż
dostarczamy ciepła Q. Ciepło Q powoduje wzrost temperatury (ΔU) zatem:
Q  nCp T
gdyż podgrzewanie i rozprężanie gazu zachodzi przy stałym ciśnieniu.
n to liczba moli gazu
Mamy zatem:
H  nCp T;
cp 
h
T p
podobnie jak dla przemiany izochorycznej:
U  nCv T;
u
cv 
T V
Warto zauważyć, że ponieważ U i H są funkcjami stanu więc zależności te są
prawdziwe dla każdej przemiany, pomimo, iż wyprowadzone zostały dla
konkretnych przemian; izobarycznej i izochorycznej.
6
Nieodwracalne napełnianie gazem pustego zbiornika
p0
atmosfera
p0, T0
próżnia
próżnia
układ; gaz,
który wypełni
zbiornik
zawór
V0
Problem niestacjonarny (nieodwracalny): napełnienie pustego zbiornika
gazem z atmosfery. Zbiornik jest izolowany termicznie; nie ma wymiany
ciepła z atmosferą. Jaka jest końcowa temperatura gazu w zbiorniku?
U   W
W  p0V0
gdzie W jest pracą wykonaną przez układ.
gdyż pracę p0V0 wykonało otoczenie (atmosfera) na
układzie.
7
układ w stanie i
układ w stanie f
p0, T0
p0, Tf
próżnia
układ; gaz,
który wypełni
zbiornik
V0
Vf
gaz w zbiorniku
nie ma wyrazu
„pV”
U  p0V0
U   W
W  p0V0
układ; gaz w
zbiorniku
p0
a zatem:
Uf  Ui  p0V0
Uf  Ui  p0V0
H i  Hf
Równanie stanu gazu doskonałego nie wystarczy. Aby znaleźć temperaturę
końcową gazu Tf wykorzystamy:
H  nCpT;
U  nCVT
Uf  nCvTf ; Ui  p0V0  Hi  nCpT0; CvTf  CpT0;
Tf  T0
8
I zasada termodynamiki; masa kontrolna i entalpia
Dla pewnej masy (kontrolnej) czynnika:
dU  Q  W; dU  Q  pdV
Korzystając z definicji entalpii, po zróżniczkowaniu:
H  U  pV; dH  dU  pdV  Vdp
dH  dU  pdV  Vdp  Q  W  pdV  Vdp
i podstawieniu :
Ponieważ dla przemiany odwracalnej:
Ostatecznie mamy:
dH  Q  Vdp ,
W  pdV
brak pracy nieobjętościowej
skąd, dla procesów dla których ciśnienia początkowe i końcowe są równe
oraz uwzględniając, że entalpia jest funkcją stanu mamy:
dH  dQ;
Q  H
entalpia, jako zawartość ciepła
czyli ilość ciepła dostarczonego do układu jest równa zmianie entalpii.
9
I zasada termodynamiki dla układów otwartych
U2,
p 2 , V2
Wt
U1,
p1, V1
objętość
kontrolna
grzejnik
Wzrost energii wewnętrznej układu jest
równy ilości energii wniesionej do
układu przez czynnik wpływający i
ciepło dodane minus energia usunięta z
układu przez czynnik wypływający i
praca wykonana przez układ.
Uok  U1  U2  Q  W
Jeśli kształt objętości kontrolnej (control volume) wybierzemy tak, żeby
wpływ i wypływ były prostopadłe do jej powierzchni wówczas
wprowadzenie pewnej masy do systemu wymaga wykonania pracy
przepływu p1V1 gdzie p1 jest ciśnieniem na wejściu, a V1 jest objętością
wprowadzonej masy. Analogicznie wyprowadzenie masy z układu wymaga
wykonania przez układ pracy przepływu p2V2. Po uwzględnieniu pracy
technicznej (shaft work) Wt, całkowita praca wykonana przez układ będzie
zatem:
W  p2V2  p1V1  Wt
10
Po podstawieniu otrzymamy:
dUok  U1  p1V1  U2  p2V2  Q  Wt
a po uwzględnieniu definicji entalpii
(H = U + pV):
Uok  H1  H2  Q  Wt .
Należy zdawać sobie sprawę, że otrzymane wyrażenia są prawdziwe tylko
wtedy, gdy energie kinetyczne wpływającej i wypływającej porcji czynnika
są zaniedbywalne albo równe. (Nieprawda dla silników odrzutowych.)
·H
·
H
1
·
δQ/dt=Q
= H1/Δt
grzejnik
2
= H2/Δt
δWt/dt=
·
W
UWAGA!! natężenie przepływu wielkości X
Podczas pracy w stanie
ustalonym ΔUok = 0 i, po
podzieleniu przez Δt,
otrzymamy wyrażenie na moc
użyteczną generowaną przez
rozpatrywane urządzenie:

 H
 H
 Q
W
t
1
2
·
lim δX/Δt = δX/dt = X
11
Układ otwarty w ujęciu masy kontrolnej
silnik odrzutowy
układ w chwili ti
układ w chwili tf
Układ otwarty w ujęciu objętości kontrolnej;
prawo zachowania masy
objętość kontrolna,
układ
masa Δmi
(input, inlet)
w czasie Δt
silnik odrzutowy
masa Δme (exit)
w czasie Δt
12
Układ otwarty w ujęciu objętości kontrolnej;
prawo zachowania masy
.
mout
.
min
objętość kontrolna C.V.
dmcv
 in  m
 out
m
dt
m
t  0  t
  lim
m
Dla stanu ustalonego:
dmcv
 0;
dt
 in  m
 out  m

m
masowe natężenie przepływu
 i dm/dt !!!
Uwaga na różnicę pomiędzy m
13
Układy otwarte w ujęciu objętości kontrolnej;
prawo zachowania energii
Pierwsza zasada termodynamiki jako równanie kinetyczne:
dE . .
 Q W
dt
gdzie:
. Q
Q
Q
 li m
dt t  0 t
.
W
W
W
 li m
dt t  0 t
By otrzymać I zasadę termodynamiki w ujęciu objętości kontrolnej
musimy śledzić zmiany energii w czasie w objętości kontrolnej C.V.:
dEcv

dt
(ciepło dodane do C.V. – praca wykonana + wpływ energii do
C.V. – wypływ energii z C.V.) na sekundę
Pracę W wykonywaną przez układ dzielimy na pracę przepływu Wflow
(flow work) i pracę techniczną Wts, Wtp (shaft work).
14
Praca przepływu będzie różnicą prac wykonanych przez gaz w punkcie
wyjścia i wejścia:
dWflow  pe vedme  pi vidmi
Energia wpływająca do C.V. i wypływająca z C.V. związana jest z
przepływem masy przez C.V.
Gaz o masie dm, wchodzący lub wychodzący z układu, ma energię:
2


c

E  e  dm  u 
 gz   dm.


2


Podsumowując, I zasada termodynamiki dla układów otwartych
przyjmie postać:
2
.
.
.
.

dEcv
c

  Q   W t   Wf low   m u 
 gz 


dt
2


gdzie suma zawiera odpowiedni znak dla wpływu do i wypływu z C.V.
15
Wprowadzając entalpię do wyrażenia na pracę przepływu i energię
całkowitą otrzymamy:
2
2
2
 .
 .

c
c
c
m pv  m u 
 gz   m u  pv 
 gz   m h 
 gz 






2
2
2






.
.
I zasada termodynamiki w sformułowaniu objętości kontrolnej przyjmie
wówczas postać:
2
2
.
.
. 
. 


dEcv
c
c
e
i



 Q W t  m i h i 
 gzi  me he 
 gze 




dt
2
2





 in  m
 out  m
 ) i dzieląc przez m
Dla stanu ustalonego (d/dt = 0, m
oraz zaniedbując wyraz gz otrzymamy:
ce2
ci2
q  w t  he 
 hi 
2
2
.
.
16