Wykład 5 Molowe ciepło właściwe gazu doskonałego przy stałej objętości, C V Zależność stosunku C V /R dla gazu doskonałego od temperatury, interpretacja kwantowa Molowe ciepło właściwe gazu doskonałego przy stałym ciśnieniu, C p Stosunek C p do C V dla gazu doskonałego Przemiana adiabatyczna

1

Molowe ciepło właściwe gazu doskonałego przy stałej objętości n moli gazu doskonałego w zbiorniku o stałej objętości jest ogrzewane od temperatury T do T + ΔT. Dostarczamy ciepło Q. Układ nie wykonuje pracy.

Q



nC V



T gdzie C V to molowe ciepło właściwe.

Z pierwszej zasady termodynamiki:



U



Q



W , a ponieważ W = 0, mamy:



U



Q



nC V



T .

Dla gazu jednoatomowego: U



3 2 NkT



3 2 nN A kT



3 2 nRT

Halliday, Resnick, Walker, Podstawy fizyki, Copyright © Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2003

C V



U 2



T



3 2 R



12 , 5 mol J



K gaz jednoatomowy

2

Dla dowolnego gazu doskonałego, z zależności:



U



nC V



T , otrzymujemy: co pozwala wykorzystać otrzymane wcześniej wyrażenia na energię wewnętrzną różnych gazów przy różnych założeniach. Wartości liczbowe tych wyrażeń można porównać z doświadczeniem.

Cząsteczka jednoatomowa dwuatomowa wieloatomowa gaz doskonały rzeczywisty, He Ar doskonały rzeczywisty, N 2 O 2 doskonały rzeczywisty, NH 4 CO 2 C V [J/(mol .

K)] (3/2)R = 12,5 12,5 12,6 (5/2)R = 20,8 20,7 20,8 3R = 24,9 29,0 29,7

3

Zmiana energii wewnętrznej: gazu doskonałego zamkniętego w pojemniku, zależy tylko od zmiany temperatury, nie zależy natomiast od typu procesu, w wyniku którego nastąpiła zmiana temperatury. Dla trzech procesów 1, 2, 3 pokazanych na rysunku, przeprowadzających gaz doskonały ze stanu początkowego i leżącego na izotermie T do stanów końcowych f leżących na izotermie T + ΔT, zmiana energii wewnętrznej ma tę samą wartość podobnie jak w każdym innym procesie, który powoduje taką samą zmianę temperatury. Nie jest istotne, że wartości ciepła Q, pracy W są różne, że różne są także objętości i ciśnienia dla stanów f, ważna jest tylko zmiana temperatury.

Copyright 2005 John Wiley and Sons, Inc

4

Zależność stosunku C V /R od temperatury dla gazu doskonałego, interpretacja kwantowa

Halliday, Resnick, Walker, Podstawy fizyki, Copyright © Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2003

Wykres zależności stosunku C V /R od temperatury dla wodoru. Wartość tego stosunku zmienia się od wartości charakteryzującej ruch postępowy do wartości zawierającej wkład do energii wewnętrznej od ruchu obrotowego i, dla wyższych temperatur, także dla ruchu oscylacyjnego. Dla niskich temperatur średnia energia oscylatora jest mniejsza od kT. Zrozumienie zależności tego typu od temperatury nie jest możliwe na gruncie teorii klasycznej i wymaga teorii kwantowej.

5

Dla klasycznego jednowymiarowego oscylatora harmonicznego mamy: m d 2 x dt 2

 

kx ; x



x 0 cos



t ; v



x 0



sin



t ;

 

E k i n



E pot mv



2 kx 2 2 2

 

1 2 m



2 x 2 0 sin 2



t ; 1 2 m



2 x 2 0 cos 2



t ; E E k i n pot

 

1 4 1 4 m



2 x m



2 x 2 0 2 0 cos E 2 kin x



k m



sin E pot 2 x



1 2 Energia całkowita klasycznego oscylatora harmonicznego jest ciągła; wszystkie wartości są dozwolone: E calk



1 2 m



2 x 2 0 Z zasady ekwipartycji energii, średnia energia całkowita jednego oscylatora jednowymiarowego (jeden stopień swobody), w zbiorze wielu oscylatorów wymieniających energię, w równowadze termodynamicznej: E



2



E kin



2



1 2 kT



kT ze względu na konieczność uwzględnienia energii potencjalnej

6

Copyright © 1963, California Institute of Technology, Polish translation by permission of Addison-Wesley Publishing Company, Inc., Reading, Mass, USA Jaka będzie średnia energia oscylatora w dużym zbiorze N oscylatorów, z których każdy drga z częstością ω a prawdopodobieństwa obsadzenia kolejnych stanów będą opisane prawem Boltzmanna?

Dla jednowymiarowego kwantowego oscylatora harmonicznego energia całkowita jest skwantowana, a dozwolone wartości energii całkowitej oscylatora wynoszą: E cal k ., n



n

  

Prawdopodobieństwo zajęcia poziomu o energii E wynosi: P

 

e



E k T prawo Boltzmanna E



E cal k N cal k



N 0

 

N

 

0 1 0

 

x x

 

2 x 2 x 2

 

x 3 3 x



3



...



...



gdzie: x



e

  

kT ; N



N 0



N 1



N 2



...

7

E



E cal k N cal k



N 0

 

N

 

0 1 0

 

x x

 

2 x 2 x 2

 

x 3 3 x



3 ...

 

...



Szereg geometryczny. Suma wyrazów nieskończonego szeregu geometrycznego jest równa: Mianownik, szereg geometryczny o ilorazie x i pierwszym wyrazie 1.

Licznik, nieskończona suma szeregów geometrycznych, jak pokazano po prawej.

Wynik po obliczeniu sum szeregów:



1



x x



2 1 1



x



x 1



x



1 1 x



1 n

  

a n



0 0 x n



1 a



0 x x



x 2



x 3



x 4



...



x 1 x 0



x 2



x 3



x 4



...



x 2 1 x 0 0

 

0 0



x 3



x 4



...



x 3 1 x



0



x 4



...



x 4 1



x

8

E



E calk N calk



N 0 N

   

0 1 0

 

x



x



2 x 2 x 2

 

x 3 3 x



3 ...

 

...

 

e

   

kT



1 Dla wysokich temperatur, stosując rozwinięcie eksponenty (e x = 1 + x/1! +x 2 /2! + …), biorąc dwa pierwsze wyrazy otrzymujemy: E



1

    

kT



1



kT Dla temperatury zmierzającej do zera, w granicy, otrzymujemy: E

  

exp



kT



1



0 W ten sposób otrzymujemy „wymrażanie” w niższych temperaturach drgań i obrotów o wyższych częstościach; nie dają one wkładu do ciepła właściwego.

9

Molowe ciepło właściwe gazu doskonałego przy stałym ciśnieniu W zbiorniku znajduje się n moli gazu doskonałego. Gaz jest ogrzewany od temperatury T do T + ΔT. Do układu dostarczamy ciepło Q. Jednocześnie układ wykonuje pracę podnosząc obciążony tłok. Q



nC p



T gdzie C p to molowe ciepło właściwe.

Z pierwszej zasady termodynamiki:



U



Q



W , mamy:



V C V



C p



R



T



U



nC V



T , C p



C V



R C p musi być większe od C V . Część ciepła dostarczonego do układu jest wykorzystana na wykonanie pracy przez układ

10

Copyright 2005 John Wiley and Sons, Inc

Stosunek ciepła właściwego (lub molowego) przy stałym ciśnieniu do ciepła właściwego (molowego) przy stałej objętości jest ważnym parametrem, oznaczonym γ i nazywanym „cp do cv”.

Ze związku: , po podzieleniu przez C V , otrzymamy:

 

C p C v



1



R C V ; C V R

 

1



1 ; C V R T

 

T



1



U



T , U C V RT

   

1



U dla jednego mola gazu. Dla n moli, mamy: nRT



NkT

   

1



U gdzie N to całkowita liczba cząsteczek w rozważanej próbce gazu, a U jest jej całkowitą energią wewnętrzną. Dla pojedynczej cząsteczki: , skąd znając liczbę aktywnych 1 stopni swobody można wyliczyć γ, czyli cp do cv, lub odwrotnie…

11

Przemiana adiabatyczna gazu doskonałego Copyright 2005 John Wiley and Sons, Inc Jeśli mamy do czynienia z procesem, w którym nie zachodzi wymiana ciepła (proces jest bardzo szybki, lub układ jest bardzo dobrze izolowany) to proces taki nazywamy przemianą adiabatyczną.

Na wykresie p-V adiabata musi przecinać izotermy; podczas rozprężania gazu dopływ ciepła utrzymuje stałą temperaturę (w przemianie izotermicznej) i podwyższa ciśnienie (dla tej samej objętości, w porównaniu z przemianą adiabatyczną).

12

Przemiana adiabatyczna gazu doskonałego Copyright 2005 John Wiley and Sons, Inc Po ujęciu części śrutu tłok przesuwa się do góry wykonując pracę pdV. Ponieważ nie ma dopływu ciepła, z I zasady termodynamiki odbywa się to kosztem energii wewnętrznej: dU

 

pdV Ponieważ: dU



nC V dT i, z równania stanu gazu doskonałego: Zbierając razem: nRdT



d ( pV )



pdV



Vdp



pdV



nC V pdV



Vdp nR



C p C



V C V



pdV



Vdp

    

1



pdV



pdV



Vdp ;

 

pdV



Vdp ; -



dV V



dp p

13

   

1



pdV



pdV



Vdp ;

 

pdV



Vdp ; -



dV V



dp p -



ln V



ln p



C ; ln



C; pV

 

const Z równania gazu doskonałego: p



nRT .

V Po podstawieniu: a także: nRT V



V



p



nRT p

   

const ; TV



1



const ; T



p 1

  

const



const i, dla przemiany adiabatycznej: pV

 

const ; TV



1



const ; T -



p

 

1



const

14

Zadanie 1 Dętka rowerowa jest napełniona powietrzem do ciśnienia 4,4 atm za pomocą pompki pobierającej powietrze pod ciśnieniem atmosferycznym (1 atm), w temperaturze 20°C (293 K). Jaką temperaturę w skali Celsjusza ma powietrze opuszczające pompkę, jeżeli γ = 1,40? Pomiń straty ciepła na ogrzanie ścianek pompki.

Odp. 173°C Zadanie 2 Dwa gazy, A i B, zajmujące takie same początkowe objętości V 0 takie same początkowe ciśnienie P 0 równe 5/3 (gaz jednoatomowy), a γ B zostały gwałtownie sprężone -7/5 (gaz dwuatomowy)?

i mające adiabatycznie, każdy do połowy swojej początkowej objętości. Jakie będą stosunki ich ciśnień końcowych do ciśnienia początkowego, jeżeli γ A jest Odp. P A = P 0 ×3,17, P B = P 0 ×2,64

15

Sprawdzian Copyright 2005 John Wiley and Sons, Inc Uszereguj zaznaczone na wykresie przemiany według ilości ciepła przekazywanego do gazu. Zacznij od wielkości największej

16

Przemiana 1 2 3 4 Podsumowanie dla czterech wybranych przemian stała wielkość p T pV γ , TV γ-1 , T γ p 1-γ V nazwa przemiany izobaryczna izotermiczna adiabatyczna izochoryczna równania Q = nC p ΔT W = pΔV ΔU = 0, Q = W = nRT ln(V konc /V pocz ) Q = 0, ΔU = W Q = ΔU = nC V ΔT; W = 0

17

Copyright 2005 John Wiley and Sons, Inc