Transcript Kinetyczna teoria gazów

KINETYCZNA TEORIA GAZÓW
Termodynamika klasyczna opisuje tylko wielkości makroskopowe
takie jak: ciśnienie, objętość, temperatura.
•Ciśnienie wywierane przez gaz jest skutkiem zderzeń cząsteczek ze
ściankami zbiornika.
•Zdolność gazu do wypełnienia całej objętości zbiornika jest
konsekwencją swobody ruchu cząsteczek.
•Temperatura i energia wewnętrzna zależą od energii kinetycznej
tych cząsteczek
Kinetyczna teoria gazów analizuje problem z cząsteczkowego punktu
widzenia.
Równanie stanu gazu doskonałego
Doświadczenie pokazuje, że wszystkie gazy rzeczywiste przy
dostatecznie małej gęstości można opisać jednym równaniem:
pV  nRT
p – ciśnienie
n – liczba moli gazu w próbce
T – temperatura bezwzględna gazu
R – stała gazowa; R = 8.31 J/(mol.K)
pV  NkT
k – stała Boltzmanna; k = 1.38.10-23
N – liczba cząsteczek
Praca wykonana przez gaz doskonały w stałej temperaturze
ROZPRĘŻANIE IZOTERMICZNE
W
Vk
 pdV
Vp
pV  nRT
1
1
p  nRT  const 
V
V
Praca wykonana przez gaz doskonały w procesie rozprężania
izotermicznego:
W
Vk
 pdV
Vp
nRT
p
V
Vk
Vk
nRT
dV
Vk
W
dV  nRT 
 nRTln V V p
V
V
Vp
Vp
a
ln a  ln b  ln 
b
Vk
W  nRT ln
Vp
W przypadku procesu rozprężania: Vk > Vp
zatem: Vk / Vp > 1 co daje ln(Vk / Vp) > 0
Vk
W  nRT ln
0
Vp
Praca wykonana przez gaz doskonały w stałej objętości
PRZEMIANA IZOCHORYCZNA
W
Vk
 pdV
Vp
Jeżeli objętość gazu jest stała to:
W=0
Praca wykonana przez gaz doskonały przy stałym ciśnieniu
PRZEMIANA IZOBARYCZNA
Jeżeli ciśnienie gazu jest stałe to:
W = p(Vk-Vp) = pDV
Ciśnienie, temperatura i prędkość średnia kwadratowa
- n moli gazu doskonałego w zbiorniku o objętości V=L3
- Ściany zbiornika maja stałą temperaturę T
L
L
L
W jaki sposób ciśnienie p wywierane przez gaz na ścianki zbiornika
zależy od prędkości jego cząsteczek?
1) Pomijamy zderzenia cząsteczek między sobą.
2) Zderzenia cząsteczek ze ścianami naczynia są SPRĘŻYSTE – po
zderzeniu z zacienioną ścianką naczynia zmienia się tylko
składowa prędkości w kierunku osi x, co sprawia, że zmienia się
tylko składowa pędu cząsteczki w kierunku osi x:
Dpx  mvx    mvx   2mvx
co z kolei sprawia, że pęd jakiego doznaje ściana wynosi +2mvx
Dpx  mvx    mvx   2mvx
Cząsteczka regularnie zderza się z zacieniowaną ścianką.
Czas jaki mija pomiędzy kolejnymi zderzeniami D t równy jest
czasowi potrzebnemu na przebycie przez cząsteczkę drogi od jednej
ściany do drugiej (L) i z powrotem (L) z prędkością vx:
2L
vx 
Dt
2L
 Dt 
vx
Średnia szybkość z jaką cząstka przekazuje pęd ściance naczynia:
Dpx 2m vx m v


Dt 2L vx
L
2
x
Dp x 2m vx m vx2


Dt
2 L vx
L
Z drugiej zasady dynamiki Newtona:
 m2

kg
 s2
m
 kg 2 

m
s 








 F

dv m dv dp
a
 F  ma  m


m
dt
dt
dt
zmiana pędu w czasie to po prostu siła działająca na ściankę.
Sumując po wszystkich cząsteczkach otrzymamy wartość siły
wypadkowej Fx, a dzieląc ją przez powierzchnię ścianki L2
otrzymamy ciśnienie p wywierane na tą ściankę:
Fx
p 2
L
Dp x 2m vx m vx2


Dt
2 L vx
L
Fx m v L  m v L    m v
p 2 
L
L2
m 2
2
2
 3  vx1  vx2    vxN
L 
2
x1
2
x2

gdzie N oznacza liczbę cząsteczek.
2
xN

 m2

kg
 s2
m
 kg 2 

m
s 



L

N  nNA
Ponieważ:
v
Gdzie v 
2
x śr
2
x1
 v  v
2
x2
2
xN
  nN v 
A
2
x śr
jest średnim kwadratem składowych prędkości w
kierunku x.
 
nmN A 2
p
vx
3
L
śr
Ponieważ mNA=M, (gdzie M jest masą molową gazu), oraz L3=V,
mamy:
 
nM 2
p
vx
V
śr
W 3D:
dla dowolnej cząstki mamy:
v  v v v
2
2
x
2
y
2
z
Ponieważ liczba cząsteczek w zbiorniku jest olbrzymia, a wszystkie
poruszają się w przypadkowych kierunkach, średnie wartości
kwadratów składowych prędkości są sobie równe, a więc:
v 
2
x śr
 
1 2
 v
3
śr
 
nM 2
p
v
3V
śr
 
2
Pierwiastek kwadratowy z wyrażenia v śr jest pewną średnią
prędkością nazywaną prędkością średnią kwadratową cząsteczek
i oznaczoną symbolem vśr.kw..
Aby policzyć vśr.kw. podnosimy wszystkie prędkości do kwadratu,
obliczamy ich średnią, a na koniec bierzemy pierwiastek
kwadratowy obliczonej wartości.
v 
2
śr
p
 vśr .kw.
 
nM 2
v
3V
śr
 
nM 2
p
v
3V
śr
2
śr .kw.
nMv

3V
2
śr .kw.
nMv
p
3V
Równanie to mówi nam, że ciśnienie gazu (wielkość
makroskopowa) zależy od prędkości cząsteczek (wielkości
mikroskopowej).
Sytuacja odwrotna:
ze znajomości ciśnienia p obliczmy vśr.kw..
Korzystając z równania stanu gazu doskonałego: pV=nRT,
otrzymamy:
nMvśr2 .kw.
p
3V
2
śr .kw.
nRT nMv

V
3V
3RT
vśr .kw. 
M
Z vśr.kw. ściśle związana jest prędkość dźwięku w gazie.
W fali dźwiękowej zaburzenie przekazywane jest od cząsteczki do
cząsteczki dzięki ich zderzeniom. Fala nie może więc rozchodzić się
szybciej niż „przeciętna” prędkość cząsteczek. Jest za to mniejsza,
gdyż nie wszystkie cząsteczki poruszają się w tym samym kierunku
co fala.
vśr.kw. [m/s]
prędkość dźwięku [m/s]
Wodór
1920
1350
Azot
517
350
Energia kinetyczna ruchu postępowego
W dowolnej chwili energia kinetyczna ruchu postępowego
cząsteczki jest równa:
1 2
Ek  mv
2
Średnia energia kinetyczna ruchu postępowego cząsteczki w pewnym
przedziale czasu wynosi:
 
1
1 2
Ek śr .   m v   m v 2
2
 śr 2
3RT
vśr .kw. 
M
Ek śr .
1 3RT
 m
2
M
śr
1 2
 m vśr .kw.
2
Ek śr .
1 3RT
 m
2
M
M
 NA
m
Ek śr .
3RT

2N A
R
k
NA
Ek śr .
3
 kT
2
Ek śr .
3
 kT
2
W danej temperaturze T wszystkie cząsteczki gazu doskonałego –
niezależnie od swojej masy – mają taką samą energię kinetyczna
ruchu postępowego, równą 3/2 kT.
Mierząc temperaturę gazu, wyznaczamy jednocześnie średnią energię
kinetyczną ruchu postępowego cząsteczek.
Średnia droga swobodna
Parametrem charakteryzującym
przypadkowy ruch cząsteczek jest
średnia droga swobodna l.
Określa ona jaką drogę pokonuje
średnio cząsteczka między swoimi
kolejnymi zderzeniami.
Większa gęstość => mniejsze l
Większe cząsteczki => mniejsze l
1
l
2d 2 N V
Rozkład prędkości cząsteczek
Rozkład Maxwella-Boltzmanna (1852 r.)
3
2
Mv 2

2
2 RT
 M 
Pv   4 
 ve
 2RT 
P(v) – funkcja rozkładu prawdopodobieństwa: dla dowolnej
prędkości v iloczyn P(v)dv (wielkość bezwymiarowa) wskazuje, jaki
ułamek cząsteczek ma prędkość z przedziału o szerokości dv i środku
w punkcie v.
Całkowite pole pod krzywą określa całkowitą liczbę cząsteczek.
Całkowite prawdopodobieństwo (pole pod krzywą):

 Pv dv  1
0
Ułamek cząsteczek o prędkości od v1 do v2:
v2
n vv12   P v dv
v1
Prędkość średnia:

8RT
vśr   vPv dv 
M
0
Średni kwadrat prędkości:
v 
2
śr

3RT
  v Pv dv 
M
0
2
Prędkość średnia kwadratowa:
v 
2
śr
 vśr .kw.
3RT
vśr .kw. 
M
Prędkość najbardziej prawdopodobna dP/dv=0:
2 RT
vp 
M
2 RT
vp 
M
8RT
vśr 
M
3RT
vśr .kw. 
M
Molowe ciepło właściwe gazu doskonałego
Jak przypadkowy ruch atomów lub cząstek tworzących gaz przekłada
się na energię gazu?
ENERGIA WEWNĘTRZNA
Jednoatomowy gaz doskonały: hel, neon lub argon.
Średnia energia kinetyczna ruchu postępowego pojedynczego atomu
zależy tylko od temperatury gazu:
Ek śr
3
 kT
2
Energia wewnętrzna gazu doskonałego jest równa sumie nergi
kinetycznych związanych z ruchem postępowym tworzących go
atomów.
Próbka n moli zawiera nNA atomów. Energia wewnętrzna Ew próbki
jest więc równa:
Ew  nN A Ek śr
3
 nN A  kT
2
R
k
NA
3
Ew  nRT
2
Energia wewnętrzna Ew gazu doskonałego zależy TYLKO od
temperatury gazu; nie zależy ona od żadnej innej wielkości
opisującej jego stan.
MOLOWE CIEPŁO WŁAŚCIWE GAZU DOSKONAŁEGO
PRZY STAŁEJ OBJĘTOŚCI – CV
dostarczone ciepło => temperatura
Q  nCV DT
CV – molowe ciepło właściwe gazu przy stałej objętości
DEw  Q  W
DEw  nCV DT  W
W=0 ponieważ DV=0
DEw
CV 
nDT
Pamiętając, że energia wewnętrzna Ew gazu jednoatomowego jest
równa:
3
Ew  nRT
2
a zmiana energii wewnętrznej:
3
DEw  nRDT
2
DEw 3
 J 
CV 
 R  12.5 
nDT 2
 m ol K 
Ostatecznie zmiana energii wewnętrznej gazu zwiazana ze zmianą
jego temperatury wynosi:
DEw  nCV DT
Zmiana energii wewnętrznej gazu doskonałego zamkniętego w
zbiorniku zależy TYLKO od zmiany temperatury gazu, nie
zależy natomiast od typu procesu, w wyniku którego nastąpiła
zmiana temperatury.
MOLOWE CIEPŁO WŁAŚCIWE GAZU DOSKONAŁEGO
PRZY STAŁYM CIŚNIENIU – Cp
dostarczone ciepło => temperatura
Q  nCp DT
CP – molowe ciepło właściwe gazu przy stałej objętości (CP>CV)
DEw  Q  W
DEw  nCV DT
W  pDV  nRDT
CV  C p  R
C p  CV  R
STOPNIE SWOBODY A MOLOWE CIEPŁO WŁAŚCIWE
Możliwe ruchy:
-Ruch postępowy
-Ruch obrotowy
-Ruch drgający (cząsteczka wieloatomowa)
ZASADA EKWIPARTYCZJI ENERGII
(równego podziału energii)
Każdy rodzaj cząsteczek charakteryzuje pewna liczba STOPNI
SWOBODY f, które dają cząsteczce niezależne sposoby
przechowywania energii. Na każdy stopień swobody przypada średnio – energia równa 1/2kT na cząsteczkę (lub 1/2RT w
przeliczeniu na mol)
f
E w  nRT
2
Rozprężanie adiabatyczne gazu doskonałego
Proces przeprowadzany bardzo szybko (jak w
przypadku fali dźwiękowej) lub w dobrze
izolowanym zbiorniku.
Równanie przemiany adiabatycznej (zmienne p oraz V):

pV  const
gdzie

Cp
CV
Adiabata opisana jest równaniem:
const
p

V
Równanie przemiany adiabatycznej (zmienne T oraz V):
nRT 
V  const
V
Ponieważ n oraz R są stałymi:
TV
 1
 const
Dla gazu podlegającego przemianie od stanu początkowego P do
stanu końcowego K można napisać:
 1
TpVp
 1
 TkVk
 1
T pV p
Vk  V p
 1
 TkVk
 Tk  T p
Ponieważ ciśnienie w butelce jest
większe od ciśnienia
atmosferycznego, po jego
otwarciu gaz rozpręża się, co
oznacza, że wykonuje on pracę
przeciwko ciśnieniu
atmosferycznemu. Ponieważ
dzieje się to bardzo szybko,
przemianę można uznać za
adiabatyczną, a więc praca
wykonywana jest kosztem energii
wewnętrznej. Ponieważ maleje
energia wewnętrzna, obniża się
również temperatura gazu, co
sprawia, że para wodna w gazie
ulega kondensacji, tworząc
maleńkie kropelki, widoczne w
postaci mgiełki.
ENTROPIA I DRUGA ZASADA
TERMODYNAMIKI
c.d.n.